여집합 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서, [[집합]] ''A''의 '''여집합'''(餘集合, 또는 '''보집합'''(補集合), {{lang|en|complement set}}) ''A<sup>C</sup>''는, [[전체집합]] ''U''의 원소 중 ''A''의 원소가 아닌 것들의 집합이다. 집합 ''B''에 대한 ''A''의 '''차집합'''(差集合, {{lang|en|relative complement, set difference}}) ''B'' ∖ ''A''는, ''B''의 원소 중 ''A''의 원소가 아닌 것들의 집합이다.

여집합은 차집합의 특수한 예이다. 반대로 말해, 차집합은 여집합을 일반화한 개념이다.

[[파일:SetComplement.svg|섬네일|오른쪽|200px|[[벤 다이어그램]]으로 표현한 여집합 ''A<sup>C</sup>'']]

[[전체집합]] ''U''가 정의되었을 때, 그의 [[부분집합]] 집합 ''A''의 '''여집합'''은 {{수학|''A<sup>C</sup>'',}} {{수학|''A''{{'}},}} {{수학|{{윗줄|''A''}},}} {{수학|∁''<sub>U</sub>A'',}} {{수학|∁''A'',}} 또는 {{수학|''U'' ∖ ''A''}}로 표기되며, 다음과 같은 집합이다.

:<math>A^C = \{x\in U : x\notin A\}</math>

다른 말로,

:임의의 ''x'' ∈ ''U''에 대해, ''x'' ∈ ''A<sup>C</sup>''일 필요충분조건은 ''x'' ∉ ''A''.

== 여집합의 성질 ==
{{참고|드 모르간의 법칙|설명=이 내용에 대해서는}}
:<math>(A\cap B)^c = A^c \cup B^c</math>
:<math>(A\cup B)^c = A^c \cap B^c</math>
:<math>A^c \cap A = \empty</math>
:<math>A-B = A \cap B^c=A^{pure}</math>
:<math>(A^c)^c = A</math>
:<math>U^c = \empty</math>

== 연산 ==
:<math>(\empty \cup A^c) \cup A = \empty \cup (A^c \cup A) = \empty\cup U= U</math>
:<math>(A \cup A) \cap (A^c \cup A)= (A\cap A^c) \cup A = \empty \cup A=A </math>
:<math>(A-B)\cap \left( (B \cup B) \cap (B^c \cup B) \right)= A^{pure} \cap ((B\cap B^c) \cup B) =A^{pure}  \cap B=\empty </math>
:<math>(A-B)\cap (B-A) = (A \cap B^c)\cap (B \cap A^c)=A^{pure} \cap B^{pure} = \empty</math>

== 차집합 ==
[[파일:SetDifferenceB.svg|섬네일|오른쪽|200px|[[벤 다이어그램]]으로 표현한 차집합 {{개행 금지|''B'' ∖ ''A''}}]]

집합 ''B''에 대한 ''A''의 '''차집합'''은 {{수학|''B'' ∖ ''A''}} 또는 {{수학|''B'' - ''A''}}로 표기되며, 다음과 같은 집합이다.

:<math>B\setminus A = \{x\in B : x \notin A\}</math>

즉

:임의의 대상 ''x''에 대해, ''x'' ∈ ''B'' ∖ ''A''일 필요충분조건은 ''x'' ∈ ''B'' 또한 ''x'' ∉ ''A''.

여집합은 부분집합 관계인 두 집합의 차집합과 같다. ''U''에서의 ''A''의 여집합은 곧 차집합 {{수학|''U'' ∖ ''A''}}이다.

차집합 연산의 성질에 대해서는 [[집합대수]] 글 참고. 다음은 차집합의 간단한 예이다.

* {1, 2, 3} ∖ {2, 3, 4} = {1}
* {2, 3, 4} ∖ {1, 2, 3} = {4}

위 문단의 여집합 예시인

* {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {2, 3, 4, 5} = {1, 6}
* <math>\scriptstyle{\R \setminus \Q = \mathbb{I}}</math>

는 차집합의 예시이기도 하다.

== 같이 보기 ==
* [[대칭차]]

{{집합론}}
{{토막글|수학}}

[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:초등 수학]]