여과 확률 공간 문서 원본 보기

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[[확률론]]에서 '''여과 확률 공간'''(濾過確率空間, {{llang|en|filtered probability space}})은 어떤 순서 집합에 따라 증가하는 부분 [[시그마 대수]]들의 족이 갖추어져 있는 [[확률 공간]]이다. 대략, 시간에 따라 증가하는 (감소하지 않는) ‘지식’이 갖추어진 확률 공간으로 여길 수 있다. 이 개념을 통해, 주어진 ‘지식’ 이상을 알지 못하는 [[확률 과정]]인 '''[[마팅게일]]''' 따위를 정의할 수 있다.

== 정의 ==
'''여과 확률 공간'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[하계 (수학)|하계]] <math>0\in T</math>와 [[상계 (수학)|상계]] <math>\infty\in T</math>를 갖는 [[전순서 집합]] <math>(T,\le)</math>
* [[집합]] <math>\Omega</math>
* 각 <math>t\in T</math>에 대하여, <math>\Omega</math> 위의 [[시그마 대수]] <math>\mathcal F_t\subseteq\operatorname{Pow}(\Omega)</math>
* [[확률 공간]] 구조 <math>(\Omega,\mathcal F_\infty,\Pr)</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* <math>\mathcal F\colon T \to\operatorname{Pow}(\operatorname{Pow}(\Omega))</math>는 [[증가 함수]]이다. 즉, 임의의 <Math>s,t\in T</math>에 대하여, 만약 <math>s\le t</math>라면, <math>\mathcal F_s \subseteq \mathcal F_t</math>이다.
* (오른쪽 연속성 右連續性 {{Llang|en|right-continuity}}) 임의의 <Math>t\in T</math>에 대하여, <math>\textstyle\bigcap_{t<s}\mathcal F_s = \mathcal F_t</math>
* (완비성) <math>\textstyle\bigcup_{A\in\mathcal F_\infty\colon \Pr(A) = 0} \operatorname{Pow}(A) \subseteq \mathcal F_0</math>

보통, <math>T = [0,\infty]</math> (연속 시간) 또는 <math>T = \mathbb N \sqcup\{\infty\}</math> (이산 시간)를 사용한다.

[[시그마 대수]]는 (가산 또는 비가산) 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, <math>T</math>의 [[하계 (수학)|하계]]의 존재는 크게 중요하지 않다. 만약 <math>T</math>에 하계가 존재하지 않는다면, 여기에 하계 <math>0</math>을 추가하고,
:<math>\mathcal F_0 = \bigcap_{t\in T}\mathcal F_t</math>
를 정의할 수 있다. 반면, <math>T</math>의 상계의 존재는 덜 자명하다. [[시그마 대수]]는 (가산 또는 비가산) 합집합에 대하여 닫혀 있지 않으며, 합집합으로 생성되는 시그마 대수를 취하더라도, 여기에 [[확률 측도]]가 잘 정의되는지 여부는 일반적으로 자명하지 않다. <math>T</math>의 상계에서의 시그마 대수 <math>\mathcal F_\infty</math>는 어떤 전지적(全知的) 인물의 지식을 나타낸다.

오른쪽 연속성과 완비성은 보다 전문적인 조건이며, 대부분의 정리들을 증명할 때 필요하다. 이들은 대략 다음과 같이 해석될 수 있다.
* 오른쪽 연속성: 현재의 지식은 모든 미래 지식들의 교집합이다. (반면, 현재의 지식은 과거의 지식들의 합집합이 아닐 수 있는데, 이는 정확히 현재에 새 정보를 알 수 있기 때문이다.)
* 완비성: 만약 어떤 사건이 불가능하다면(또는 확실하다면), 그 불가능성(또는 확실성)은 처음부터 알 수 있다.
일부 문헌에서는 이 조건들이 생략되며, 이 조건들을 만족시키는 여과 확률 공간을 ‘표준 여과 확률 공간’({{llang|en|standard filtered probability space}}) 또는 ‘보통 조건을 만족시키는 여과 확률 공간’({{llang|en|filtered probability space satisfying the usual conditions}})이라고 둘러 일컫게 된다.

== 연산 ==
[[전순서 집합]] <math>(T,\le)</math>을 지표 집합으로 하는, [[완비 측도 공간|완비]] [[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math> 위의 [[확률 과정]] <math>(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}</math>이 주어졌다고 하자. 또한, 표본 공간 <math>S</math>의 [[시그마 대수]]를 <math>\mathcal A\subseteq\operatorname{Pow}(S)</math>라고 하자. 그렇다면, <math>T\sqcup\{\infty\}</math> 위의, 다음과 같은 여과 확률 공간을 정의할 수 있다.
:<math>\mathcal F_\infty = \mathcal F</math>
:<math>\mathcal F_t = \sigma\left(\{X_s^{-1}(A)\colon s\le t,\;A\in\mathcal A\} \cup \{A\in\mathcal F\colon \Pr(A) = 0\}
\right)</math>
이를 <math>X_t</math>에 대응하는 '''자연 여과 확률 공간'''(自然濾過確率空間, {{llang|en|natural filtered probability space}})이라고 한다. 모든 확률 과정은 스스로의 자연 여과 확률 공간 위의 [[순응 확률 과정]]을 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[여과 (수학)]]
* [[필터 (수학)]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Klenke|이름= Achim |날짜=2008|제목= Probability theory |출판사=Springer-Verlag | doi=10.1007/978-1-84800-048-3 | isbn= 978-1-84800-047-6 |  언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=0712.0622 | 날짜=2007|제목=Filtrations | 이름=Delia | 성=Coculescu | 이름2=Ashkan | 성2=Nikeghbali | bibcode=2007arXiv0712.0622C |언어=en}}

[[분류:확률론]]