여과 (수학) 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''여과'''(濾過, {{llang|en|filtration}})는 [[전순서 집합]]으로 지표화된 일련의 [[부분 대상]]들로 구성된 구조이다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>이 주어졌다고 하자. 그 위의, [[부분 대상]]의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Sub}(X)</math>을 정의할 수 있다.

[[전순서 집합]] <math>I</math>에 대하여, <math>X</math> 위의 <math>I</math>-'''오름 여과'''({{llang|en|ascending filtration}})는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[전순서 집합]] <math>(I,\le)</math>
* 순서 보존 함수 <math> I\to\operatorname{Sub}(X)</math>, <math>i\mapsto X_i</math>.
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>\varinjlim_{i\in I}X_i=X</math>

<math>X</math> 위의 <math>I</math>-'''내림 여과'''({{llang|en|descending filtration}})는 <math>I^{\operatorname{op}}</math>-올림 여과와 같은 개념이다.

흔히 <math>I</math>의 경우 보통 [[자연수]]의 전순서 집합 <math>(\mathbb N,\le)</math>이 사용된다.

마찬가지로, [[부분 대상]]의 집합 <math>\operatorname{Sub}(X)</math> 대신 [[몫 대상]]의 집합 <Math>\operatorname{Quot}(X)</math>을 사용하면 '''쌍대 여과'''({{llang|en|cofiltration}})의 개념을 정의할 수 있다. 이는 [[반대 범주]] <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>에서의 여과와 같다.

== 예 ==
=== 가군 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math> 위의 <math>\mathbb N</math>-감소 여과
:<math>M=M_0\supseteq M_1\supseteq M_2\cdots M</math>
가 주어졌다고 하자. 이 경우, <math>M</math>에 다음과 같은 [[기저 (위상수학)|기저]]로 정의되는 자연스러운 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 부여할 수 있다.
:<math>\left\{
m+M_i\colon i\in\mathbb N,\;m\in M\right\}</math>
이러한 위상이 [[하우스도르프 공간]]이 될 [[필요 충분 조건]]은
:<math>\bigcap_{i\in\mathbb N}M_i=\{0\}</math>
인 것이다.

특히, 만약 <math>R</math>의 [[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak i</math>가 주어졌을 때, 여과
:<math>M_i=\mathfrak i^iM</math>
에 대응되는 위상은 '''<math>\mathfrak i</math>진 위상'''({{llang|en|<math>\mathfrak i</math>-adic topology}})이라고 한다. 이는 [[대수기하학]]에서 등장한다.

=== 결합 대수 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[결합 대수]] <math>A</math>가 주어졌으며, 그 위에 <math>R</math>-가군으로서의 <math>\mathbb N</math>-올림 여과
:<math>A_0\subseteq A_1\subseteq\cdots A_\infty=A</math>
가 주어졌다고 하자. (그러나 이는 <math>R</math>-[[결합 대수]]로서의 여과가 아닐 수 있다.) 또한, 이 여과가 [[결합 대수]] 구조와 다음과 같이 호환된다고 하자.
:<math>A_iA_j\subseteq A_{i+j}\qquad\forall i,j\in\mathbb N</math>
(특히, <math>1_A\in A_0</math>이어야 한다.) 그렇다면, 다음과 같은 <math>R</math>-[[등급 대수]]를 정의할 수 있다.<ref name="BGV">{{서적 인용 | last1=Berline | first1=Nicole | last2=Getzler | first2=Ezra | last3=Vergne | first3=Michèle | title=Heat kernels and Dirac operators | publisher=Springer-Verlag | 날짜=1992 | 총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | 권=298 | isbn= 978-3-540-20062-8 | zbl=0744.58001 | url = http://www.springer.com/us/book/9783540200628 | 언어=en}}</ref>{{rp|64, §2.1}}
:<math>\operatorname{gr}A=A_0\oplus\bigoplus_{i\in\mathbb N}\frac{A_{i+1}}{A_i}</math>
그 위의 곱셈은 다음과 같다.
:<math>(a+A_i)(b+A_j)=ab+A_{i+j}\qquad\forall i,j\in\mathbb N,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_{j+1}</math>
:<math>(a+A_i)b=ab+A_i\quad\forall i\in\mathbb N,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_0</math>
:<math>b(a+A_i)=ba+A_i\quad\forall i\in\mathbb N,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_0</math>
이 경우
:<math>1_{\operatorname{gr}A}=1_A</math>
이다.

여기서 자연스러운 [[결합 대수]] 사상
:<math>A\to\operatorname{gr}A</math>
:<math>a\mapsto a+A_{i-1}\qquad\forall a\in A_i</math>
을 '''기호 사상'''(記號寫像, {{llang|en|symbol map}})이라고 한다.<ref name="BGV"/>{{rp|64, §2.1}}

=== 벡터 공간 ===
[[선형대수학]]에서, [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math>의 오름 여과
:<math>V_0\subseteq V_1\subseteq\cdots\subseteq V</math>
에서, 만약 모든 포함 관계가 자명하지 않다면, 즉
:<math>V_0\subsetneq V_1\subsetneq\cdots</math>
이라면, 이를 '''기'''(旗, {{llang|en|flag}})라고 한다.

=== 시그마 대수 ===
<math>(T,\lesssim)</math>가 [[원순서 집합]]이라고 하자. [[시그마 대수]] <math>\Sigma</math> 위의 '''(오름) 여과'''는 [[순서 보존 함수]]
:<math>T\to\operatorname{Sub}(\Sigma)</math>
:<math>t\mapsto\Sigma_t</math>
를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립하여야 한다.
:임의의 <math>t,t'\in T</math>에 대하여, <math>\Sigma_t\subseteq\Sigma_{t'}</math>
여기서 <math>\operatorname{Sub}(\Sigma)</math>는 <math>\Sigma</math>의 부분 시그마 대수들의 ([[부분 집합]] 관계에 대한) [[부분 순서 집합]]이다.
여기서, <math>T</math>의 원소는 보통 "시간"이라고 불린다.

여과를 갖춘 시그마 대수를 '''여과 시그마 대수'''(濾過σ代數, {{llang|en|filtered sigma algebra}})라고 하며, 마찬가지로 '''여과 [[확률 공간]]'''(濾過確率空間, {{llang|en|filtered probability space}}) 따위를 정의할 수 있다.

이는 [[금융공학]]에서 가격의 움직임을 모형화하는 데 중요하게 쓰인다. 이 경우 <math>\Sigma_t</math>는 시점 <math>t</math>에 시장에 공개된 정보의 양을 나타내며, 따라서 여과를 통해 가격을 <math>\Sigma_t</math>-[[마팅게일]]로 만듦으로써 [[완전 시장]]을 모형화할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[여과 확률 공간]]
* [[필터 (수학)]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Filtered algebra}}
* {{eom|title=Filtered module}}
* {{매스월드|id=Filtration|title=Filtration}}
* {{매스월드|id=VectorSpaceFlag|title=Vector space flag}}
* {{nlab|id=filtered object|title=Filtered object}}
* {{nlab|id=associated graded object|title=Associated graded object}}
* {{nlab|id=filtered topological space|title=Filtered topological space}}
* {{nlab|id=connected filtered space|title=Connected filtered space}}
* {{nlab|id=filtered chain complex|title=Filtered chain complex}}
* {{nlab|id=filtered ring|title=Filtered ring}}
* {{웹 인용|url=https://cornellmath.wordpress.com/2007/08/28/filtrations-in-algebraic-geometry/|제목=Filtrations in algebraic geometry|날짜=2007-08-28|이름=Greg|성=Muller|웹사이트=The Everything Seminar|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]
[[분류:확률론]]
[[분류:추상대수학]]
[[분류:확률 과정]]