엡실론-델타 논법 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''엡실론-델타 논법'''(έψιλον-δέλτα論法, {{Llang|en|epsilon-delta argument}})은 [[함수의 극한]]을 수학적으로 명확하게 정의하는 방법이다.

== 개요 ==
=== 직관적인 방식으로 정의한 극한의 한계 ===
{{math|''x''}}가 {{math|''c''}}로 갈 때 [[함수]] {{math|''f(x)''}}의 [[극한]]이 {{math|''L''}}임을 아래처럼 표현한다.

: <math>\lim_{x\to c}f(x)=L</math>

이는 직관적으로 말하면, {{math|''x''}}가 {{math|''c''}}에 한없이 가까워질 때 {{math|''f(x)''}}도 {{math|''L''}}에 한없이 가까워진다는 의미이다. 그런데 '한없이 가까워진다'라는 서술은 수학적으로 엄밀한 서술이 아니다.

[[파일:Dirichlet-function.svg|섬네일|그림 1. 앞의 서술처럼 극한을 정의하게 되면 위와 같은 그래프는 0으로 갈 때 극한의 정의가 불분명해진다.]]
예를 들어 [[구간]] <math>[-1, 1]</math> 위에서 <math>\mathbf 1_\Q(x) = \begin{cases}
1 & x \in \Q \\
0 & x \notin \Q
\end{cases}</math>로 정의된 [[디리클레 함수]]는 그림 1의 [[함수의 그래프|그래프]]와 같은 모양을 가진다. 그런데 극한을 {{math|''x''}}가 0으로 갈 때의 극한을 "{{math|''x''}}가 0에 한없이 가까워질 때의 함숫값"으로 정의한다면 그래프에서 볼 수 있듯이 함숫값 {{math|''f(x)''}}는 {{math|''x''}}가 0에 가까워짐에 따라 0과 1을 동시에 끊임없이 반복해서 가지므로, 극한이 존재한다고 봐야할지, 아니면 0과 1 모두 극한값이라고 봐야할지, 아니면 극한이 존재하지 않는다고 봐야할지 불분명해진다. 따라서 극한을 서술하기 위해서는 다른 엄밀한 방법으로 정의해야 하는데, 이때 사용되는 것이 바로 엡실론-델타 논법이다.

=== 엡실론 델타 논법의 아이디어 ===
엡실론-델타 논법을 설명하기 위해 다음의 예시를 보자.
[[파일:Epsilon-delta limit.svg|섬네일|그림 2. {{math|''x''}}가 {{math|''a''}}로 갈 때 함수 {{math|''f(x)''}}의 극한값이 {{math|''b''}}인 예시]]
그림 2의 그래프처럼 정의된 함수 {{math|''f''}}에 대해 <math>\lim_{x\to a}f(x)</math>를 생각해 보자. 직관적으로 보면, {{math|''x''}}가 {{math|''a''}}로 갈 때 함숫값 {{math|''f(x)''}}는 {{math|''b''}}에 가까워지므로 극한값은 {{math|''b''}}라고 할 수 있을 것이다. 이 말인즉슨 {{math|''x''}}가 {{math|''a''}}에 충분히 가까워질수록 함숫값 {{math|''f(x)''}}도 {{math|''b''}}에 원하는 만큼 가까워질 수 있다는 의미이다. 반대로 말하면, 함숫값 {{math|''f(x)''}}가 {{math|''b''}}에 원하는 만큼 가까워지게 하려면 {{math|''x''}}가 {{math|''a''}}에 충분히 가까운 거리 안에 있도록 해주면 된다. 즉, 임의의 작은 [[양수 (수학)|양]]의 [[실수]] {{math|''ε''}}이 주어져서 {{math|''f(x)''}}가 {{math|''b''}}와 {{math|''ε''}}보다는 가깝게 하고 싶다면, {{math|''x''}}가 {{math|''a''}}와 어떤 충분히 작은 양의 실수 {{math|''δ''}}만큼의 거리 내에 있도록 해주면 된다. 이는 임의의 {{math|''ε''}}에 대해 ''{{math|{{!}}f(x)-b{{!}}<ε||}}''가 되도록 하려면, 충분히 작은 실수 {{math|''δ''}}를 잡아서 {{math|''x''}}가 ''{{math|0<{{!}}x-a{{!}}<δ||}}''를 만족하게 하면 된다는 뜻이다.

위의 서술은 {{math|''x''}}가 {{math|''a''}}로 갈 때 함수 {{math|''f(x)''}}의 극한이 {{math|''b''}}라는 것을 엄밀한 서술 없이 직관적인 방식으로 이해했을 때 자연스럽게 유도되는 성질이었다. 반대로 [[함수의 극한]]을 위의 성질을 만족하도록 하는 방식으로 엄밀하게 정의할 수 있다. 즉 아래처럼 정의할 수 있다.

• ''{{math|x}}가 {{math|a}}로 갈 때 함수 {{math|f(x)}}의 극한값이 {{math|b}}라는 것은, 임의의 양의 실수 {{math|ε}}이 주어졌을 때 조건을 만족하는 어떤 양의 실수 {{math|δ}}를 항상 찾을 수 있다는 것이다. 이때의 조건이란 {{math|0<{{!}}x-a{{!}}<δ||}}인 모든 {{math|x}}가 {{math|{{!}}f(x)-b{{!}}<ε||}}를 만족하는 것이다.''

이러한 방식으로 극한을 정의하는 것을 '''엡실론-델타 논법'''이라고 한다.

참고로 {{math|''x''}}가 {{math|''a''}}에 가까워지는 상황을 고려하고 있으므로 극한값은 {{math|''f(x)''}}가 {{math|''x''{{=}}''a''}}에서 어떤 값을 가지는지와는 무관하다. 이 사실은 {{math|{{!}}x-a{{!}}<δ||}}인 모든 {{math|''x''}}에 대해서가 아니라 {{math|0<{{!}}x-a{{!}}<δ||}}인 모든 {{math|''x''}}에 대해서만 조건을 만족하면 된다는 앞의 서술에 잘 나타난다.(즉, {{math|''x''{{=}}''a''}}일 때는 어떤 조건을 만족할 필요가 없다.) 앞의 엡실론-델타 논법에서 조건을 {{math|{{!}}x-a{{!}}<δ||}}인 모든 {{math|''x''}}에 대해서 만족하는 것으로 바꾸면, 이는 [[연속 실함수]]에 대한 엡실론-델타 논법을 이용한 정의가 된다.

== 정의 ==
=== 실함수의 경우 ===
[[파일:Límite 01.svg|섬네일|<math>x</math>가 <math>c</math>와 <math>\delta</math>만큼 가까울 때, <math>f(x)</math>는 <math>L</math>과 <math>\epsilon</math> 이내 만큼 가깝다.]]
[[실수]]의 [[부분 집합]] <math>E\subseteq\mathbb R</math>에 정의된 [[실숫값 함수|실함수]] <math>f:E\to\mathbb{R}</math>가 <math>E</math>의 [[극한점]] <math>a\in E'</math>에서 가지는 [[함수의 극한|극한]]
:<math>\lim_{E\ni x\to a}f(x)=L</math>
을 '''엡실론-델타 논법'''을 통해 다음과 같이 정의를 할 수 있다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 어떤 <math>\delta>0</math>가 존재하여, 임의의 <math>x\in E</math>에 대하여, <math>0<|x-a|<\delta</math>는 <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>을 함의한다.
이를 [[수학 기호|기호]]로 표기하면 다음과 같다.
* <math>\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in E\colon\;0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-L|<\epsilon</math>
즉, 임의의 오차 범위를 시험하였을 때, 독립 변수가 일정 값과 어떤 작은 거리 이내인 값에 대한 함숫값과 극한값이 그 오차 범위 이내인 것을 보장한다는 뜻이다.

=== 거리 공간의 경우 ===
[[거리 공간]] <math>(X,d_X)</math>에서 거리 공간 <math>(Y,d_Y)</math>로 가는 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 <math>X</math>의 [[극한점]] <math>a\in X'</math>에서 가지는 극한
:<math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math>
의 '''엡실론-델타 논법'''을 통한 정의는 다음과 같다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 어떤 <math>\delta>0</math>가 존재하여, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>d_X(x,a)<\delta</math>는 <math>d_Y(f(x),L)<\epsilon</math>을 함의한다.
이를 [[수학 기호|기호]]로 표기하면 다음과 같다.

•<math>\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in E\colon\;0<d_X(x,a)<\delta\implies d_Y(f(x),L)<\epsilon</math>

== 예 ==
엡실론-뎉타 논법을 이용해 다음을 증명해보자.
:<math>\lim_{x \to 2}(4x+1)=9</math>
임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대해, <math>\delta=\epsilon/4</math>를 고려하자. 그러면 <math>0<|x-2|<\delta</math>이면 <math>|4x-8|<\epsilon</math>을 만족한다. 따라서 <math>|(4x+1)-9|<\epsilon</math>이 성립하므로 함수의 극한값은 9이다.

한편 개요 문단에서 소개한 [[디리클레 함수]] <math>f(x)=\mathbf 1_\Q(x)</math>는 모든 점에서 극한이 존재하지 않음을 엡실론-델타 논법으로 증명해보자. [[귀류법]]으로 보이기 위해 어떤 점 
<math>a\in\mathbb{R}</math>에서 극한값이 <math>L</math>라 하자.
이때 <math>\epsilon=\frac{1}{3}</math>을 고려하자. 그런데 어떤 <math>\delta>0</math> 값을 잡든지간에 상관없이 <math>0<|x-a|<\delta</math>을 만족하는 유리수 또는 무리수 <math>x</math>가 항상 존재한다. 즉 <math>f(x)</math>가 0 또는 1인 <math>x</math>가 범위 안에 항상 존재하므로 <math>|f(x)-L|<2\epsilon<1</math>을 만족할 수 없다. 모든 <math>L</math>에 대해 이를 만족하지 않으므로 <math>a</math>에서 극한은 존재하지 않는다.

== 응용 ==
함수의 극한 외의 여러 해석학적 개념을 엡실론-델타 논법을 통해 정의할 수 있다. 특히, 실수 함수에 대해서는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
! 개념 !! 엡실론-델타 정의
|-
| 점에서 연속 || <math>\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in E\colon\;|x-a|<\delta\implies|f(x)-f(a)|<\epsilon</math>
|-
| [[연속 함수]] || <math>\forall a\in E'\;\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in E\colon\;|x-a|<\delta\implies|f(x)-f(a)|<\epsilon</math>
|-
| [[균등 연속 함수]] || <math>\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x,y\in E\colon|x-y|<\delta\implies|f(x)-f(y)|<\epsilon</math>
|}

=== 거리 공간의 경우 ===
두 거리 공간 사이의 함수에 대한 여러 가지 개념의 엡실론-델타 정의는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
! 개념 !! 엡실론-델타 정의
|-
| 점에서 연속 || <math>\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in X\colon\;d_X(x,a)<\delta\implies d_Y(f(x),f(a))<\epsilon</math>
|-
| [[연속 함수]] || <math>\forall a\in E'\;\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in X\colon\;d_X(x,a)<\delta\implies d_Y(f(x),f(a))<\epsilon</math>
|-
| [[균등 연속 함수]] || <math>\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x,y\in X\colon d_X(x,y)<\delta\implies d_Y(f(x),f(y))<\epsilon</math>
|}

== 역사 ==
1817년 [[베른하르트 볼차노]]가 기본적인 개념을 세웠고, 19세기 프랑스의 수학자 [[오귀스탱 루이 코시]]가 최초 (''ε'', ''δ'') 표기를 사용해 좀 더 엄밀하게 정의하였고, 후에 [[카를 바이어슈트라스]]가 이것을 논리적으로 더욱 엄밀하게 하여 정식화하였다.

== 같이 보기 ==
* [[함수의 극한]]
* [[수열의 극한]]
* [[미적분학]]
* [[해석학 (수학)]]

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=극한의 엄밀한 정의 - 엡실론과 델타}}
* {{매스월드|id=Epsilon-DeltaDefinition|title=Epsilon-delta definition}}
* {{매스월드|id=Epsilon-DeltaProof|title=Epsilon-delta proof}}

[[분류:극한]]
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:술어 논리]]