에피사이클로이드 문서 원본 보기

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{{각주 부족|날짜=2023-12-15}}
[[기하학]]에서 '''에피사이클로이드'''({{llang|en|epicycloid}})는 주어진 원에 외접하는 임의의 한 원이 주어진 원의 곡면을 따라 회전할 때, 외접원 위의 임의의 한 점이 그리는 자취이다. 

주어진 원을 기초원, 외접하는 원을 구름원이라고 한다. 

== 성질 ==
만약 작은 원의 반지름을 r, 그리고 큰 원의 반지름을 R(=kr)이라고 했을 때, 에피사이클로이드 곡선을 매개방정식으로 표현하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>x (\theta) = (R + r) \cos \theta - r \cos \left( \frac{R + r}{r} \theta \right)</math>
:<math>y (\theta) = (R + r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R + r}{r} \theta \right),</math>
또는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>x (\theta) = r (k + 1) \cos \theta - r \cos \left( (k + 1) \theta \right) \,</math>
:<math>y (\theta) = r (k + 1) \sin \theta - r \sin \left( (k + 1) \theta \right). \,</math>
이는 복소평면을 이용하면 더 간단한 형태로 변형될 수 있다. 좌표평면에서 (x,y)를 <math>x + yi</math> 의 꼴로 나타낼 때

위의 매개변수 방정식을 대입한 후 오일러 공식 <math>e^{ix} = cos x + i sin x</math> 을 이용하면 

<math>z(\theta) = (R+r) \cos \theta - r \cos(\theta + \frac{R}{r} \theta) + i((R+r) \sin \theta - r \sin(\theta + \frac{R}{r} \theta))</math>

<math>z(\theta) = r((\frac{R}{r}+1)(\cos \theta + i \sin \theta ) - e^{i (\frac{R}{r}+1) \theta }</math>


여기서

<math>\theta \in [0, 2 \pi]</math>

구름원의 반지름 <math>r</math>

기초원의 반지름 <math>R</math>


<math>R = kr</math> 일 때

''k''가 [[정수]]이면, 곡선은 닫힌 곡선이 되며, ''k'' 개의 뾰족점을 가진다.

''k''가 [[유리수]]인 경우, ''k'' = ''p''/''q'' 꼴로 단순화시킬수 있다면, ''p'' 개의 뾰족점을 가진다.

''k''가 [[무리수]]이면, 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 ''R'' + 2''r''인 원 사이의 공간의 조밀 집합을 형성한다.

<gallery caption="에피사이클로이드의 예">
파일:Epicycloid-1.svg| ''k'' = 1
파일:Epicycloid-2.svg| ''k'' = 2
파일:Epicycloid-3.svg| ''k'' = 3
파일:Epicycloid-4.svg| ''k'' = 4
파일:Epicycloid-2-1.svg| ''k'' = 2.1 = 21/10
파일:Epicycloid-3-8.svg| ''k'' = 3.8 = 19/5
파일:Epicycloid-5-5.svg| ''k'' = 5.5 = 11/2
파일:Epicycloid-7-2.svg| ''k'' = 7.2 = 36/5
</gallery>

== 길이와 넓이 ==
초기 점이 기초원 위에 있다고 가정하자.

<math>k (k = \frac{R}{r})</math>가 양수일 때 에피사이클로이드의 면적은 다음과 같다.

<math>A = \int_{0}^{2\pi} y(\theta) \frac{dx}{d \theta} d \theta
</math> 


에피사이클로이드 곡선의 매개변수 방정식 

:<math>x (\theta) = (R + r) \cos \theta - r \cos \left( \frac{R + r}{r} \theta \right)</math>
:<math>y (\theta) = (R + r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R + r}{r} \theta \right),</math>

를 대입하여 계산하면 

<math>A = (k+1)(K+2) \pi r ^2
</math>로 정리할 수 있다.


에피사이클로이드의 길이는 다음과 같다.

<math>l = \int\limits_{0}^{2 \pi} \sqrt{(\frac{dx}{d \theta})^2 + \frac{dy}{d \theta})^2} d \theta</math>

이 식에 에피사이클로이드 곡선의 매개변수방정식을 대입하여 계산하면 

<math>l = 8(k+1) r
</math>

== 증명 ==
[[파일:Epicycloid geometry.svg|섬네일]]
구름원 위의 임의의 점 P의 자취를 구하고자 한다.

<math>\alpha</math> 를 접선 점에서 이동하는 점 P까지의 각도, <math>\theta</math>를 시작점에서 접선 점까지의 각도라고 하자.

큰 원을 기준으로 작은 원이 움직일 때, 미끄러짐이 없으므로, 다음과 같은 관계를 가진다.

<math>l_R = l_r</math>


각도의 정의 (호의 길이와 반지름의 비율)에 따라 <math>l_R = \theta R</math>, <math>l_r = \alpha r</math> 가 성립한다.

따라서 <math>\theta R = \alpha r</math>이라는 관계식이 성립하며, 이를 정리하면 <math>\alpha = \frac{R}{r} \theta</math>의 형태로 기술될 수 있다.


도형에서, 구름원 위의 점 p의 위치를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:<math>x (\theta) = (R + r) \cos \theta - r \cos \left( \frac{R + r}{r} \theta \right)</math>
:<math>y (\theta) = (R + r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R + r}{r} \theta \right),</math>

== 같이 보기 ==
* [[사이클로이드]]
* [[하이포사이클로이드]]
* [[에피트로코이드]]
* [[하이포트로코이드]]
* [[스피로그래프]]
* [[대원과 주전원]]
* [[유성 기어]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| author=J. Dennis Lawrence| title=A catalog of special plane curves| url=https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr| publisher=Dover Publications| year=1972| isbn=0-486-60288-5| pages=[https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/n182 161],168–170,175}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수 곡선]]