에탈 위치 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''에탈 위치'''(étale位置, {{llang|en|étale site}})는 [[스킴 (수학)|스킴]]과 [[스킴 사상]]의 [[범주 (수학)|범주]]에, [[치역]]들의 [[합집합]]이 [[공역]]인 [[에탈 사상]]의 족을 덮개로 삼은 [[그로텐디크 위상]]을 부여하여 얻은 [[위치 (수학)|위치]]이다.

== 정의 ==
같은 공역을 갖는 [[에탈 사상]]들의 집합 <math>\{\iota_i\colon U_i\to X\}_{i\in I}</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''에탈 덮개'''({{llang|en|étale cover}})라고 한다.
* [[연속 함수]]로서, <math>\iota_i</math>들의 [[치역]]들의 [[합집합]]은 <math>X</math> 전체이다. 즉, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>\iota_i(y)=x</math>인 <math>i\in I</math> 및 <math>y\in U_i</math>가 존재한다.
에탈 덮개는 스킴의 범주 <math>\operatorname{Sch}</math> 위의 [[그로텐디크 준위상]]을 이룬다. 이로 정의되는 [[그로텐디크 위상]]을 '''에탈 위상'''({{llang|en|étale topology}})이라고 한다. <math>\operatorname{Sch}</math>에 에탈 위상을 부여하여 얻은 [[위치 (수학)|위치]]를 '''에탈 위치'''라고 하며, <math>\operatorname{\acute Et}</math>라고 하자.

[[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math> 위의 '''큰 에탈 위치'''({{llang|en|big étale site}}) <math>\operatorname{\acute Et}/X</math>는 범주로서 스킴 범주의 [[조각 범주]] <math>\operatorname{Sch}/X</math>이며, 그 위의 [[그로텐디크 위상]]은 역시 에탈 덮개에 의하여 주어진다.

[[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math> 위의 '''작은 에탈 위치'''({{llang|en|small étale site}})<math>X_{\operatorname{\acute et}}</math>는 범주로서 <math>\operatorname{Sch}/X</math> 가운데 [[에탈 사상]]으로만 구성된 [[충만한 부분 범주]]이다. 이 위의 그로텐디크 위상은 역시 에탈 덮개로 주어진다.

== 성질 ==
=== 아핀 스킴의 에탈 덮개 ===
[[아핀 스킴]] <math>\operatorname{Spec}R</math>의 임의의 에탈 덮개 <math>(f_i\colon Y_i\to \operatorname{Spec}R)_{i\in I}</math>에 대하여, 이를 세분하는 에탈 덮개
:<math>(f_{i,j} \colon \operatorname{Spec}S_{i,j} \to Y_i \to R)_{i\in I,\;j\in J_i}</math>
가 존재한다. 즉, 아핀 스킴의 에탈 위상을 다루려면 에탈 환 준동형 <math>\phi_{i,j}\colon R \to S_{i,j}</math>만을 고려하면 된다.

=== 에탈 층 ===
범주 <math>\mathcal C</math> 값을 갖는 <math>X</math> 위의 '''에탈 준층'''({{llang|en|étale presheaf}})은 작은 에탈 위치 위의 [[함자 (수학)|함자]] <math>X_{\operatorname{\acute et}}^{\operatorname{op}}\to\mathcal C</math>이다. '''에탈 [[층 (수학)|층]]'''({{llang|en|étale sheaf}})은 층 공리를 만족시키는 에탈 준층이다. <math>\mathcal C</math> 값을 갖는, <math>X</math> 위의 에탈 층들의 범주를 <math>\operatorname{Sh}(X_{\operatorname{\acute et}},\mathcal C)</math>라고 쓰자.

마찬가지로, 큰 에탈 위치 위의 (준)층을 정의할 수 있다. 작은 에탈 위치는 큰 에탈 위치의 부분 위치이므로, 모든 큰 에탈 (준)층은 작은 에탈 (준)층으로 제한할 수 있다. 모든 작은 에탈 층은 큰 에탈 층으로 나타낼 수 있지만, 그 역은 불가능하다.<ref name="Milne"/>{{rp|111, Remark III.3.2(b)}} 이 경우, [[아벨 군]] 값의 층의 제한 함자
:<math>\operatorname{Sh}(\operatorname{\acute Et}/X;\operatorname{Ab}) \to \operatorname{Sh}(X_{\operatorname{\acute et}},\operatorname{Ab};\operatorname{Ab})</math>
는 [[완전 함자]]이며, 이 함자 아래 [[단사 대상]]의 상은 [[단사 대상]]이다. 즉, 큰 에탈 위치 위의 층의 [[에탈 코호몰로지]]는 작은 에탈 위치 위에서의 [[에탈 코호몰로지]]와 같다.<ref name="Milne">{{서적 인용|제목=Étale cohomology|이름=James S.|성=Milne|출판사=Princeton University Press|url=http://press.princeton.edu/titles/1566.html|날짜=1980|isbn=978-0-69108238-7|총서=Princeton Mathematics Series|권=33|zbl=0433.14012|언어=en}}</ref>{{rp|110, Proposition III.3.1(c); 111, Remark III.3.2(a)}} 

=== 에탈 국소환 ===
[[스킴 (수학)|스킴]]은 [[국소환 달린 공간]]이므로, 구조층의 ([[자리스키 위상]]에서의) [[줄기 (수학)|줄기]]는 가환 [[국소환]]을 이룬다. 그러나 에탈 위상은 자리스키 위상보다 더 섬세하며, 따라서 줄기는 특별한 가환환인 [[순 헨젤 국소환]]을 이룬다. (마찬가지로, 자리스키 위상과 에탈 위상의 중간에 있는 [[니스네비치 위상]]에서의 줄기는 [[헨젤 국소환]]이다.)

구체적으로, [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>의 기하학적 점
:<math>\bar x\colon\operatorname{Spec}K\to X</math>
가 주어졌다고 하자 (<math>K</math>는 [[대수적으로 닫힌 체]]). 그렇다면, <math>\bar x</math>에서 구조층 <math>\mathcal O_X</math>의 '''에탈 줄기'''({{llang|en|étale stalk}}) <math>\mathcal O_{\bar x,X}</math>는 다음과 같다.
:<math>\mathcal O_{X,\bar x}=\varinjlim_{\bar x\to U\to X}\Gamma(U,\mathcal O_U)</math>
여기서 <math>\textstyle\varinjlim_{\bar x\to U\to X}</math>는 <math>\bar x</math>의 모든 에탈 근방
:<math>\begin{matrix}
\operatorname{Spec}K\\
\downarrow&\searrow\scriptstyle\bar x\\
U&\underset{\iota_U}\to&X
\end{matrix}</math> (<math>\iota_U</math>는 [[에탈 사상]])
에 대한 [[귀납적 극한]]이다.

임의의 스킴 <math>X</math> 및 기하학적 점 <math>\bar x\colon\operatorname{Spec}K\to X</math>에 대하여, 에탈 줄기 <math>\mathcal O_{X,\bar x}</math>는 자리스키 줄기 <math>\mathcal O_{X,\bar x(\operatorname{Spec}K)}</math>의 [[순 헨젤화]]와 동형이다. 여기서 <math>\bar x(\operatorname{Spec}K)\in X</math>는 [[한원소 공간]]인 <math>\operatorname{Spec}K</math>의 유일한 점의 ([[연속 함수]] <math>\bar x</math>에 대한) [[상 (수학)|상]]이다.

직관적으로, 에탈 사상은 국소 동형 사상에 해당하므로, 이는 [[헨젤 보조정리]]의 필요충분조건과 같다.

[[토포스]] 이론에서, 에탈 국소환은 국소환 달린 토포스인 에탈 토포스의 줄기로 생각할 수 있다.

=== 다른 위상과의 비교 ===
다음과 같은 비교가 존재한다.
:(더 섬세함) [[fpqc 위상]] → [[fppf 위상]] → 에탈 위상 → [[니스네비치 위상]] →  [[자리스키 위상]] (더 엉성함)

== 역사 ==
[[알렉산더 그로텐디크]]가, [[유한체]]에 대한 [[대수다양체]]에 대한 일련의 추측들인 [[베유 추측]]을 증명하기 위하여 1960년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용 | last=Grothendieck | first=Alexander | 저자링크=알렉산더 그로텐디크 | title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Edinburgh, 1958) | publisher=Cambridge University Press | mr=0130879 | year=1960 | 장=The cohomology theory of abstract algebraic varieties | pages=103–118|언어=en}}</ref>

에탈 위상의 정의는 위상 공간의 범주의 다음과 같은 성질에서 기인한다. 위상 공간과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> 위에는 다음과 같은 두 [[그로텐디크 준위상]]을 생각할 수 있다.
* 보통 위상: 위상 공간 <math>X</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]는 [[연속 함수]]의 족 <math>(f_i \colon U_i \to X)_{i\in I}</math> 가운데, 각 <math>f_i</math>의 상이 [[열린집합]]이며, <math>f_i</math>는 <math>U_i</math>와 <math>f(U_i)</math> 사이의 [[위상 동형]]을 정의하며, <math>\textstyle\bigcup_{i\in I}f(U_i)=X</math>이다. 이 위치를 <math>\operatorname{Top}</math>라고 하자.
* ‘에탈 위상’: 위상 공간 <math>X</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]는 [[연속 함수]]의 족 <math>(f_i \colon U_i \to X)_{i\in I}</math> 가운데, 각 <math>f_i</math>는 에탈 함수이며, <math>\textstyle\bigcup_{i\in I}f(U_i)=X</math>이다. 이 위치를 <math>\operatorname{\acute EtTop}</math>라고 하자.
여기서 ‘에탈 함수’ <math>f\colon Y \to X</math>는 [[연속 함수]] 가운데, 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여 <math>f \restriction U</math>가 <math>U</math>와 <math>f(U)</math> 사이의 [[위상 동형]]을 정의하게 하는 [[열린 근방]] <math>U\ni y</math>가 존재하는 것이다. (이 개념은 [[층 (수학)|층]]의 에탈 공간의 정의에 등장한다.) 이 경우 모든 [[열린 덮개]]는 에탈 덮개이다. 반대로, 모든 에탈 덮개는 (에탈 함수의 정의에 따라) 모든 에탈 덮개는 열린 덮개인 세분을 갖는다. 따라서, 이 두 준위상은 같은 [[그로텐디크 위상]]을 정의한다.

[[스킴 (수학)|스킴]]의 경우, 위 두 정의를 그대로 번역할 수 있다. (첫째 정의를 번역하면 [[자리스키 위상]]을 얻으며, 덮개는 상들의 합집합이 공역 전체인 [[열린 몰입]]의 족이다. 둘째 정의를 번역하면 에탈 위상을 얻는다.) 그러나 이 경우 에탈 위상은 자리스키 위상보다 훨씬 더 섬세한 [[그로텐디크 위상]]을 이룬다. 이는 스킴의 [[자리스키 위상]]이 ([[복소다양체]]의 해석적 위상보다) 너무나 엉성하기 때문이며, 이 경우 에탈 위상이 더 해석적 위상에 가까운 [[그로텐디크 위상]]을 정의한다.

== 같이 보기 ==
* [[에탈 코호몰로지]]
* [[니스네비치 위상]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://math.stanford.edu/~conrad/Weil2seminar/Notes/L2.pdf|제목=The étale topology | 이름=Brian | 성=Conrad | 날짜=2016-10-12 | 언어=en}}
* {{nlab|id=étale site|title=Étale site}}
* {{nlab|id=étale cover|title=Étale cover}}
* {{nlab|id=étale topos|title=Étale topos}}
* {{nlab|id=little etale topos|title=Little etale topos}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/60641/in-what-sense-is-the-%C3%A9tale-topology-equivalent-to-the-euclidean-topology | 제목=In what sense is the étale topology equivalent to the Euclidean topology? | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]