에탈 기본군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''에탈 기본군'''(étale基本群, {{llang|en|étale fundamental group}})은 [[대수다양체]]와 [[스킴 (수학)|스킴]]에 대하여 정의되는 [[기본군]]이다.

== 정의 ==
에탈 기본군은 [[대수적 위상수학]]과 [[갈루아 이론]] 사이의 다음과 같은 대응성으로부터 출발하며, 이 둘을 대수기하학적으로 일반화하여 공통적으로 다룬다.
{| class="wikitable"
|-
! 대수적 위상수학 !! 갈루아 이론 !! 대수기하학
|-
| [[피복 공간]] <math>\pi\colon Y\twoheadrightarrow X</math> || [[분해 가능 확대]] <math>Y/X</math> || [[유한 사상|유한]] [[에탈 사상]] <math>\pi\colon Y\to X</math>
|-
| [[범피복 공간]] || [[분해 가능 폐포]] || 유한 에탈 사상들의 범주 <math>\operatorname{fin\acute Et}/X</math>
|-
| [[기본군]] || [[절대 갈루아 군]] || 에탈 기본군
|}

[[연결 공간|연결]] [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math> 의 '''기하점'''({{llang|en|geometric point}}) <math>x\in X</math>는 <math>x</math>에서의 [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal O_{X,x}</math>의 [[잉여류체]]를 포함하는 [[분해 가능 폐포]] <math>K</math>이다. 즉, 다음과 같은 사상
:<math>\mathcal O_{X,x}\twoheadrightarrow\mathcal O_{X,x}/\mathfrak m(\mathcal O_{X,x})\hookrightarrow K</math>
를 합성하여, 사상 <math>x\colon \operatorname{Spec}(K)\to X</math>를 정의할 수 있다. 이는 <math>X</math> 속의, <math>K</math> 값의 좌표를 갖는 점으로 여긴다.

<math>X</math>를 [[공역]]으로 하는 [[유한 사상|유한]] [[에탈 사상]]들의 범주를 <math>\operatorname{fin\acute Et}/X</math>라고 쓰자. ([[에탈 코호몰로지]]와 달리, 여기에 [[그로텐디크 위상]]을 정의할 필요가 없다.) 그렇다면, 스킴 사상 <math>Y\to X</math> 및 <math>X</math>의 기하점 <math>x\colon \operatorname{Spec}K\to X</math>이 주어졌을 때, '''기하올'''({{llang|en|geometric fibre}}) <math>Y\times_X\operatorname{Spec}K</math>을 스킴의 범주의 [[올곱]]으로 정의할 수 있으며, 에탈 사상의 정의에 따라서 이는 어떤 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>(\operatorname{Spec}K)^{\sqcup n}</math>와 동형이다.

따라서, 밑점이 주어졌을 때, 다음과 같은 [[요네다 매장]]을 생각하자.
:<math>\operatorname{fin\acute Et}/X\to\operatorname{Set}</math>
:<math>Y\mapsto |Y \times_X x|=\hom_{\operatorname{fin\acute Et}/X}(x,Y)</math>
이는 기하학적으로 <math>\pi\colon Y\to X</math>를 그 [[원상 (수학)|원상]] “<math>\pi^{-1}(x)</math>”에 대응시킨다. 이들 집합들은 사상에 따라 사영계({{llang|en|projective system}})를 이룬다. 따라서 다음과 같은 [[역극한]]을 취할 수 있으며, 이를 <math>X</math>의 밑점 <math>x</math>에서의 '''에탈 기본군'''이라고 한다.
:<math>\pi_{1,\operatorname{\acute et}}(X,x)=\varprojlim_i\operatorname{Aut}_X(X_i)</math>
이는 [[유한군]]의 [[역극한]]이므로, [[사유한군]]을 이룬다. 또한, 이 요네다 함자에 의하여 다음과 같은 [[범주의 동치]]가 존재한다.
:<math>\operatorname{fin\acute Et}/X\simeq\pi_1(X,x)\text{-Set}</math>
여기서, 범주 <math>G\text{-Set}</math>는 <math>G</math>의 [[군의 작용|작용]]을 갖는 집합들의 범주이다.

== 예 ==
=== 체의 에탈 기본군 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 주어졌을 때, <math>\operatorname{Spec}K</math>의 밑점 <math>x</math>는 <math>K</math>의 [[분해 가능 폐포]] <math>K^{\operatorname{sep}}\subset\bar K</math>과 대응한다. (모든 [[분해 가능 폐포]]들은 서로 [[동형]]이지만, 표준적으로 동형이지 못하다.) 이 경우, 밑점 <math>K^{\operatorname{sep}}</math>에서의 에탈 기본군은 <math>K</math>의 [[절대 갈루아 군]]과 동형이다.
:<math>\pi_{1,\operatorname{\acute et}}(\operatorname{Spec}K,K^{\operatorname{sep}})\cong\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)</math>

=== 복소 대수다양체의 에탈 기본군 ===
복소 유한형 스킴 <math>X\to\operatorname{Spec}\mathbb C</math>의 에탈 기본군은 그 복소해석공간 <math>X^{\operatorname{an}}</math>의 ([[대수적 위상수학]]적) [[기본군]]의 [[사유한 완비]]이다.
:<math>\pi_{1,\operatorname{\acute et}}(X,x)\cong\hat\pi_1(X^{\operatorname{an}},x^{\operatorname{an}})</math>

== 역사 ==
[[알렉산더 그로텐디크]]가 《마리 숲 대수 기하학 세미나》({{llang|en|Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie}}, SGA) 1권<ref>{{서적 인용 | last=Grothendieck | first=Alexandre | 저자링크=알렉산더 그로텐디크 | 제목=Revêtements étales et groupe fondamental (Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1) | 날짜=1971 | arxiv=math/0206203 | publisher=Société Mathématique de France | location=Paris | isbn=978-2-85629-141-2 | 총서=Lecture Notes in Mathematics | 권=224 |언어=en}}</ref>에서 정의하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{인용| last1=Murre | first1=J. P. | title=Lectures on an introduction to Grothendieck's theory of the fundamental group | publisher=Tata Institute of Fundamental Research | location=Bombay | mr=0302650 | year=1967}}
* {{인용| last1=Tamagawa | first1=Akio | title=The Grothendieck conjecture for affine curves | doi=10.1023/A:1000114400142 | mr=1478817 | year=1997 | journal=Compositio Mathematica | volume=109 | issue=2 | pages=135–194}}

== 같이 보기 ==
* [[에탈 코호몰로지]]

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/algebraic+fundamental+group|제목=Algebraic fundamental group|웹사이트=nLab|언어=en}}

[[분류:스킴 이론]]
[[분류:대수적 위상수학]]