에일렌베르크-스틴로드 공리 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''에일렌베르크-스틴로드 공리'''({{llang|en|Eilenberg–Steenrod axioms}})는 [[상대 호몰로지]]가 만족하는 다섯 개의 공리다.

== 역사 ==
[[사무엘 에일렌베르크]]와 [[노먼 스틴로드]]가 1945년에 발표하였다.<ref>{{저널 인용|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
|제목=Axiomatic Approach to Homology Theory|성=Eilenberg|이름=Samuel|공저자=[[노먼 스틴로드|Norman E. Steenrod]]|doi=10.1073/pnas.31.4.117|날짜=1945-04-01|권=31|호=4|쪽=117–120|언어=en}}
재출판 {{서적 인용|제목=Algebraic Topology: A Student's Guide
|url=https://archive.org/details/algebraictopolog0000adam
|성=Eilenberg|이름=Samuel|공저자=Norman E. Steenrod
|장=An axiomatic approach to homology theory
|출판사=Cambridge University Press
|연도=1972|isbn=9780521080767
|기타=London Mathematical Society Lecture Note Series 4
|doi=10.1017/CBO9780511662584.003|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
[[상대 호몰로지]]는 부분공간이 갖추어진 위상 공간의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Top^2}</math>에서 [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>로 가는 일련의 [[함자 (수학)|함자]] <math>H_n</math>과 이들 함자 사이의 [[자연 변환]] <math>\partial_n\colon H_n\to H_{n-1}</math>로 구성된다.

이 데이터가 '''보통 호몰로지 이론'''({{llang|en|ordinary homology theory}})을 이루려면, 다음과 같은 다섯 개의 공리를 만족해야 한다. 만약 차원 공리를 제외한 나머지 공리들을 만족시지만 차원 공리는 성립하지 않는다면, 이를 '''특수 호몰로지 이론'''({{llang|en|extraordinary homology theory}})이라고 한다.
# ([[호모토피]] 불변성) <math>g,h\colon(X,A)\to(Y,B)</math>가 서로 [[호모토픽]]하다면, <math>H_\bullet(f)=H_\bullet(g)</math>이다. 즉, 이 함자는 부분집합이 갖추어진 위상 공간과 그 호모토피들의 범주 <math>\operatorname{hTop^2}</math>에 정의된다.
# (절단 정리) <math>\operatorname{cl}(U)\subset\operatorname{int}(A)</math>라면 <math>H_\bullet(X,A)=H_\bullet(X\setminus U,A\setminus U)</math>이다.
# (차원 공리) <math>P</math>가 점 하나만을 포함한 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 <math>n\ne0</math>인 경우 <math>H_n(P,\varnothing)=0</math>이다.
# (가법성) <math>X=\bigsqcup_\alpha X_\alpha</math>가 집합들의 [[서로소 합집합]]이라고 하자. 그렇다면 <math>H_\bullet(X,\varnothing)=\bigoplus_\alpha H_\bullet(X_\alpha,\varnothing)</math>이다.
# (완전성) 다음과 같은 [[완전열]]이 존재한다.
::<math>\cdots\to H_n(A,\varnothing)\to H_n(X,\varnothing)\to H_n(X,A)\to H_{n-1}(A,\varnothing)\to H_{n-1}(X,\varnothing)\to H_{n-1}(X,A)\to\cdots</math>.
이와 유사하게 '''보통 코호몰로지 이론''' 및 '''특수 코호몰로지 이론'''도 정의할 수 있다.

== 예 ==
흔히 다루는 [[특이 호몰로지]], [[체흐 코호몰로지]], [[드람 코호몰로지]] 등은 보통 (코)호몰로지 이론이다. [[K이론]]은 특수 코호몰로지 이론의 한 예다.

== 같이 보기 ==
* [[지그재그 보조정리]]
== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:호몰로지 이론]]
[[분류:공리]]