에르미트 행렬 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''에르미트 행렬'''(Hermite行列, {{lang|en|Hermitian matrix}}) 또는 '''자기 수반 행렬'''(自己隨伴行列, {{lang|en|self-adjoint matrix}})은 자기 자신과 [[켤레 전치]]가 같은 [[복소수]] [[정사각 행렬]]이다. [[실수]] [[대칭 행렬]]의 [[일반화]]이다.

== 정의 ==
[[복소수]] 행렬 <math>A</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''에르미트 행렬'''이라고 한다.
:<math>A=A^*</math>
즉,
:<math>A_{ij}=\overline{A_{ji}}</math>
여기서 <math>(-)^*</math>은 [[켤레 전치]], <math>\overline{(-)}</math>은 [[켤레 복소수]]이다.

== 성질 ==
에르미트 행렬의 대각 원소는 항상 실수이다.
{{증명}}
<math>A</math>가 에르미트 행렬이라고 하자. 그렇다면, <math>i=1,\dots,n</math>에 대하여,
:<math>A_{ii}=\overline{A_{ii}}</math>
이므로,
:<math>\operatorname{Im}A_{ii}=0</math>
이다. 즉, <math>A_{ii}\in\mathbb R</math>
{{증명 끝}} 
에르미트 행렬의 [[고윳값]]은 언제나 [[실수]]가 된다.
{{증명}}
<math>\lambda\in\mathbb C</math>가 에르미트 행렬 <math>A</math>의 고윳값이라고 하자. 그렇다면,
:<math>Av=\lambda v</math>
인 고유 벡터 <math>v\ne0</math>가 존재한다. 그렇다면,
:<math>\lambda v^*v=v^*(\lambda v)=v^*(Av)=(v^*A)v=(Av)^*v=(\lambda v)^*v=\overline\lambda v^*v</math>
:<math>v^*v=|v_1|^2+\cdots|v_n|^2\ne0</math>
이므로,
:<math>\lambda=\overline\lambda</math>
이다. 즉, <math>\lambda\in\mathbb R</math>이다.
{{증명 끝}}
에르미트 행렬의 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 벡터들은 서로 직교한다.
{{증명}}
<math>0\ne v_1,v_2\in\mathbb C^n</math>가 에르미트 행렬 <math>A</math>의 고윳값 <math>\lambda_1\ne \lambda_2</math>에 대한 고유 벡터라고 하자. 그렇다면,
:<math>\lambda_1v_1^*v_2=(\lambda_1v_1)^*v_2=(Av_1)^*v_2=(v_1^*A)v_2=v_1^*(Av_2)=v_1^*(\lambda_2v_2)=\lambda_2v_1^*v_2</math>
:<math>\lambda_1\ne\lambda_2</math>
이므로,
:<math>v_1^*v_2=0</math>
이다.
{{증명 끝}}

두 에르미트 행렬의 합 역시 에르미트 행렬이며, [[가역 행렬|가역]] 에르미트 행렬의 [[역행렬]] 역시 에르미트 행렬이다. 그러나 두 에르미트 행렬의 곱이 에르미트 행렬일 필요는 없다. 사실, 두 에르미트 행렬 <math>A</math>와 <math>B</math>의 곱 <math>AB</math>가 에르미트 행렬일 [[필요충분조건]]은 <math>AB=BA</math>이다. 특히, 에르미트 행렬 <math>A</math>의 거듭제곱 <math>A^n</math>은 에르미트 행렬이다.

== 예 ==
예를 들어, 다음과 같은 행렬은 에르미트 행렬이다.
:<math>
\begin{pmatrix}
2&2+i&4\\
2-i&3&i\\
4&-i&1\\
\end{pmatrix}
</math>

== 같이 보기 ==
* [[자기 수반 작용소]]
* [[반 에르미트행렬]]
* [[반대칭행렬]]
* [[해밀토니언 행렬]]
* [[복소 행렬]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hermitian matrix}}
* {{매스월드|id=HermitianMatrix|title=Hermitian matrix}}
{{행렬의 종류}}
{{전거 통제}}

[[분류:행렬]]