에르미트 항등식 문서 원본 보기

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'''에르미트 항등식'''이란 [[샤를 에르미트]]가 만든 [[항등식]]으로 임의의 실수 <math>x</math>와 양의 정수 <math>n</math>에 대하여 항상 성립하는 항등식이다. 이는 다음과 같다.

<math>\sum_{k=0}^{n-1}\left [ x+\frac{k}{n} \right ]=[x]+\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+ \frac{n-1}{n} \right ]=[nx]</math>

(단, <math>[x]</math>는 [[가우스 기호]]이다. 이는 <math>x</math>를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

== 증명 ==
[증명 1-대수(해석)적 증명법] 

<math>f(x)=[x]+\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+ \frac{n-1}{n} \right ]-[nx]</math>라고 가정하자.

그러므로, <math>f(x)=0</math>임을 증명하면 된다.

<math>x=x+\frac{1}{n}</math>를 대입해 주면,

<math>f\left(x+\frac{1}{n}\right)=\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+1 \right ]-[nx+1]
=\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x \right ]+1-[nx]-1
=f(x)</math>

가 된다.

즉, <math>f(x)</math>은 주기가 <math>\frac{1}{n}</math>인 주기함수가 된다.

(추가로 <math>f(x)=f(x+p)</math>일 때 <math>f(x)</math>는 주기가 <math>p</math>인 함수이다.)

그러므로 <math>0\leq x <\frac{1}{n}</math>인 <math>x</math>에 대하여 <math>f(x)=0</math>임을 증명하면 되는 것이다.

<math>0\leq x < \frac{1}{n}
, [x]=0</math>

<math>0\leq x+\frac{1}{n} < \frac{2}{n}
, \left[x+\frac{1}{n} \right ]=0</math>

.

.

.

<math>0\leq x+ \frac{n-1}{n} < 1
, \left[x+\frac{n-1}{n}\right]=0</math>

<math>0\leq nx < 1
, [nx]=0</math>

위의 식을 다 더하면 <math>f(x)=0</math>.

따라서 에르미트 항등식은 성립한다.

[증명2-정수적 증명(바닥함수의 정의 이용)]

<math>x=m+\alpha</math>라고 가정하자. (단, <math>m</math>은 [[정수]], <math>0\leq\alpha<1</math>이다.)

<math>[x]=[m+\alpha]=m,[x+1]=[m+\alpha]+1=m+1 
</math>임을 알 수 있다.

이때, <math>[x]=\left[x+\frac{1}{n}\right]=\left[x+\frac{2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{i-1}{n}\right]=m
</math>,

<math>\left[x+\frac{i}{n}\right]=\left[x+\frac{i+1}{n}\right]=\left[x+\frac{i+2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{n-1}{n}\right]=m+1
</math>이 성립한다고 가정하면,

<math>\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=n[x]+n-i
</math>가 성립한다. (<math>i
</math>는 [[자연수]])

또한, 두 부등식 <math>\alpha+\frac{i-1}{n}<1
</math>, <math>\alpha+\frac{i}{n}\geq1
</math>을 연립하여 정리하면,

<math>n-i\leq n\alpha <n-i+1
</math>이 되고 양변에 <math>n[x]
</math>를 더해 주면,

<math>n[x]+n-i\leq n[x]+n\alpha < n[x]+n-i+1
</math>이 되고, <math>x=m+\alpha
</math> 이므로,

<math>n[x]+n-i\leq nx< n[x]+n-i+1
</math>이다.

따라서 <math>[nx]=n[x]+n-i=\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]
</math>이므로,

<math>\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=[x]+\left[x+\frac{1}{n}\right]+\left[x+\frac{2}{n}\right]+\cdots+\left[x+\frac{n-1}{n}\right] =[nx]
</math>

이로써 에르미트 항등식이 성립함을 알 수 있다.

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[[분류:항등식]]