에르미트 다항식 문서 원본 보기

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{{구별|에르미트 항등식}}
[[파일:Hermite poly.svg|섬네일|오른쪽|390px|확률론 에르미트 다항식 <math>H_n(x)</math>의 그래프 (<math>n=1,\ldots,6</math>)]]
[[파일:Hermite poly phys.svg|섬네일|오른쪽|390px|물리학 에르미트 다항식 <math>\tilde H_n(x)</math>의 그래프 (<math>n=1,\ldots,6</math>)]]
[[수학]]에서 '''에르미트 다항식'''(Hermite多項式, {{llang|en|Hermite polynomial}})은 직교 관계를 만족시키는 일련의 [[다항식]]들이다.

== 정의 ==
에르미트 다항식은 [[확률론]]과 [[물리학]]에서 쓰이는 정의가 조금씩 다르다. (확률론에서의) '''에르미트 다항식''' <math>H_n(x)</math>은 다음과 같다.
:<math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}=\left(x-\frac{d}{dx}\right)^n1=\exp\left(-\frac12\frac{d^2}{dx^2}\right)x^n</math>
물리학에서 쓰이는 '''에르미트 다항식''' <math>\tilde H_n(x)</math>은 다음과 같다.
:<math>\tilde H_n(x)=2^{n/2}H_n(\sqrt2x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}=\left(2x-\frac{d}{dx} \right)^n1</math>
이 문서에서는 확률론에서의 에르미트 다항식 정의를 사용한다.

확률론의 에르미트 다항식들은 [[아펠 다항식열]]을 이룬다. 즉, 다음과 같은 수열을 정의하자.
:<math>\exp(-t^2/2)=\sum_{n=0}^\infty h_nt^n/n!</math>
:<math>h_n=\begin{cases}(-1)^{n/2}(n-1)!!&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}</math>
여기서
:<math>n!! = \prod_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor} (n-2k) = n (n-2) (n-4) \cdots </math>
는 [[이중 계승]]이다.
그렇다면, 에르미트 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>H_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nkh_kx^{n-k}</math>
이는 [[아펠 다항식열]]의 [[음계산법]]으로 간편하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 음변수 <math>\mathsf h</math>에 대하여 선형 범함수
:<math>L\colon\mathsf h^n\to h_n</math>
를 정의하면, 에르미트 다항식은 다음과 같다.
:<math>H_n(x)=L\left((x+\mathsf h)^n\right)</math>
:<math>\tilde H_n(x)=L\left((2x+\sqrt2\mathsf h)^n\right)</math>
즉, 구체적으로 <math>L</math>은 다음과 같다.
:<math>L\colon\mathbb Q[x+\mathsf h]\mapsto \mathbb Q[x]</math>
:<math>L=\operatorname{eval}_{x+\mathsf h\mapsto x}\exp\left(-\frac{d^2}{d(x+\mathsf h)^2}\right)</math>

<math>L</math>의 역범함수는 마찬가지로 다음과 같다.
:<math>L^{-1}\colon \mathbb Q[x]\mapsto\mathbb Q[x+\mathsf h]</math>
:<math>L^{-1}=\operatorname{eval}_{x\mapsto x+\mathsf h}\exp\left(\frac12\frac{d^2}{dx^2}\right)</math>

== 성질 ==
=== 직교성 ===
(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.
:<math>\int_{-\infty}^\infty H_m(x)H_n(x)\exp(-x^2/2)\,dx=\sqrt{2\pi}n!\delta_{mn}</math>
여기서 <math>\delta_{mn}</math>은 [[크로네커 델타]]이다. 또한, 이들은 [[힐베르트 공간]] <math>L^2(\mathbb R,\exp(-x^2/2))</math>의 완비기저를 이룬다. 여기서 <math>L^2(\mathbb R,\exp(-x^2/2))</math>은 다음과 같은 내적이 주어진 함수공간이다.
:<math>\langle f|g\rangle=\int_{-\infty}^\infty\bar f(x)g(x)\exp(-x^2/2)\,dx</math>

=== 에르미트 미분 방정식 ===
(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 '''에르미트 미분 방정식'''({{llang|en|Hermite differential equation}})의 해를 이룬다.
:<math>\frac d{dx}\left(\exp(-x^2/2)\frac d{dx}H\right)=\lambda\exp(-x^2/2)H</math>
여기서 <math>\lambda</math>는 임의의 상수이다. 즉, <math>H</math>는 미분 연산자
:<math>\exp(x^2/2)\frac d{dx}\exp(-x^2/2)\frac d{dx}</math>
의 [[고유함수]]이다.

=== 점화식 ===
(확률론에서의) 에르미트 다항식은 [[아펠 다항식열]]이므로, [[점화식]]을 갖는다. 구체적으로, 선형 범함수
:<math>L^{-1}\colon H_n(x)\mapsto (x+\mathsf h)^n</math>
:<math>L^{-1}=\operatorname{eval}_{x\mapsto x+\mathsf h}\exp\left(\frac12\frac{d^2}{dx^2}\right)</math>
를 생각하자. 그렇다면 에르미트 다항식이 만족시키는 점화식은 다음과 같다.
:<math>H_{n+1}(x)=\left(x-\frac d{d(d/dx)}\ln\exp\left((d/dx)^2/2\right)\right)H_n(x)=\left(x-\frac d{dx}\right)H_n(x)=xH_n(x)-nH_{n-1}(x)</math>
즉
:<math>H_{n+1}(x)=xH_n(x)-nH_{n-1}(x)</math>
:<math>\tilde H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)</math>
이다.

=== 생성 함수 ===
에르미트 다항식열의 [[생성함수 (수학)|지수 생성 함수]]는 다음과 같다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty H_n(x)t^n/n!=\exp(xt-t^2/2)</math>
:<math>\sum_{n=0}^\infty \tilde H_n(x)t^n/n!=\exp(2xt-t^2)</math>
이는 에르미트 다항식의 계수의 지수 생성 함수
:<math>\sum_{n=0}^\infty h_nt^n/n!=L(t\mathsf h)=\exp(-t^2/2)</math>
로부터 유도할 수 있다. [[음계산법]]을 사용하면,
:<math>\sum_{n=0}^\infty H_n(x)t^n/n!=L\sum_{n=0}^\infty\exp\left(t(x+\mathsf h)\right)=\exp(xt)L\exp(t\mathsf h)=\exp(xt-t^2/2)</math>
이다.

=== 미분과 적분 ===
(확률론에서의) 에르미트 다항식의 미분은 다음과 같다.
:<math>\frac d{dx}H_n(x)=nH_{n-1}(x)</math>
:<math>\frac d{dx}\tilde H_n(x)=2n\tilde H_{n-1}(x)</math>

에르미트 다항식은 [[아펠 다항식열]]을 이루므로, 이는 [[음계산법]]으로 다음과 같이 간단히 적을 수 있다.
:<math>\frac d{dx}H_n(x)=\frac d{dx}L\left((x+\mathsf h)^n\right)=L\left(\frac d{dx}(x+\mathsf h)^n\right)=L\left(n(x+\mathsf h)^{n-1}\right)=nH_{n-1}(x)</math>

=== 갈루아 군 ===
<math>2n\ne0,2</math>인 경우, <math>H_{2n}(x)\in\mathbb Z[x]</math>는 [[기약원]]이다. <math>2n+1\ne1,3,3^2,\dots</math>인 경우, <math>x^{-1}H_{2n+1}(x)\in\mathbb Z[x]</math>는 [[기약원]]이다.

다음과 같은 다항식열 <math>K_n(x),K_n'(x)\in\mathbb Z[x]</math>을 정의하자.
:<math>H_{2n}(x)=K_n(x^2)</math>
:<math>H_{2n+1}(x)=xK_n'(x^2)</math>
이들 다항식의 <math>\mathbb Q</math> 위의 [[분해체]]의 [[갈루아 군]]은 항상 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이다.<ref name="Schur-affketlose">{{저널 인용|성=Schur|이름=Issai|저자링크=이사이 슈어|제목=Affektlose Gleichungen in der Theorie der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome|언어=de|저널=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik|권=165|쪽=52–58|날짜=1931|issn=0075-4102|doi=10.1515/crll.1931.165.52|mr=1581272|zbl=0002.11501|jfm=57.0125.05|eudml=149767}}</ref><ref name="Schulz">{{저널 인용|성=Schulz|이름=Werner|제목=Über die Galoissche Gruppe der Hermiteschen Polynome|언어=de|저널=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik|권=177|쪽=248–252|날짜=1937|issn=0075-4102|doi=10.1515/crll.1937.177.248|mr=1581559|zbl=0017.05202|jfm=63.0045.02|eudml=150017}}</ref><ref name="Lang">{{서적 인용|성=Lang|이름=Serge|저자링크=서지 랭|제목=Algebra|언어=en|판=개정 3|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=211|출판사=Springer|위치=[[뉴욕]]|날짜=2002|issn=0072-5285|isbn=978-1-4612-6551-1|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|zbl=0984.00001|mr=1878556|id={{구글 도서 식별자|Fge-BwqhqIYC}}}}</ref>{{rp|274, Example 8(b)}}
:<math>\operatorname{Gal}(K_n)\cong\operatorname{Sym}(n)</math>
:<math>\operatorname{Gal}(K_n')\cong\operatorname{Sym}(n)</math>

== 표 ==
확률론에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다. {{OEIS|A096713}}
:<math>H_0(x)=1</math>
:<math>H_1(x)=x</math>
:<math>H_2(x)=x^2-1</math>
:<math>H_3(x)=x^3-3x</math>
:<math>H_4(x)=x^4-6x^2+3</math>
:<math>H_5(x)=x^5-10x^3+15x</math>
:<math>H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15</math>
:<math>H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x</math>
:<math>H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105</math>
:<math>H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x</math>
:<math>H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945</math>

물리학에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다.
:<math>\tilde H_0(x)=1</math>
:<math>\tilde H_1(x)=2x</math>
:<math>\tilde H_2(x)=4x^2-2</math>
:<math>\tilde H_3(x)=8x^3-12x</math>
:<math>\tilde H_4(x)=16x^4-48x^2+12</math>
:<math>\tilde H_5(x)=32x^5-160x^3+120x</math>
:<math>\tilde H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120</math>
:<math>\tilde H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x</math>
:<math>\tilde H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680</math>
:<math>\tilde H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x</math>
:<math>\tilde H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240</math>

== 역사 ==
에르미트 다항식은 [[피에르시몽 라플라스]]가 1810년 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=P. S.|성=Laplace|저자링크=피에르시몽 라플라스|제목=Mémoire sur les intégrales définies, et leur application aux probabilités, et spécialment à la recherche du milieu qu’il faut choisir entre les résultats des observations|저널=Mémoires de la classe des sciences mathematiques et physiques de l’Institut national de France|권=58|날짜=1810|쪽=279–347|url=http://cerebro.xu.edu/math/Sources/Laplace/defint.pdf|언어=fr|access-date=2015-10-27|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304220136/http://cerebro.xu.edu/math/Sources/Laplace/defint.pdf|url-status=dead}}</ref> 이후 [[파프누티 체비쇼프]]가 이들을 1859년 자세히 연구하였다.<ref>{{저널 인용|이름=P. L.|성=Chebyshev|저자링크=파프누티 체비쇼프|제목=Sur le développement des fonctions à une seule variable|저널=Bulletin de l’Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg|권=1|날짜=1859|쪽=193–200|언어=fr}}</ref> [[샤를 에르미트]]는 이 함수들에 대하여 1864년 연구하였고,<ref>{{저널 인용|이름=Charles|성=Hermite|저자링크=샤를 에르미트|저널=Comptes rendus de l’Académie des sciences|제목= Sur un nouveau développement en série des fonctions|권=58|날짜=1864|쪽=93–100|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Charles|성=Hermite|저자링크=샤를 에르미트|저널=Comptes rendus de l’Académie des sciences|제목= Sur un nouveau développement en série des fonctions|권=58|날짜=1864|쪽=266–273|doi=10.1017/CBO9780511702761.022|언어=fr}}</ref> 이에 따라 에르미트의 이름이 붙게 되었다.

== 응용 ==
에르미트 다항식은 [[양자역학]]에서 [[양자 조화 진동자]]의 에너지 고유상태의 [[파동 함수]]에 등장한다.

== 같이 보기 ==
* [[르장드르 다항식]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|first=Gábor|last=Szegő|title=Orthogonal Polynomials|publisher=American Mathematical Society|판=2판|날짜=1955|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Temme|이름=Nico|제목=Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics|출판사=Wiley|위치=New York|날짜=1996|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=HermitePolynomial|title=Hermite Polynomial}}
* {{eom|title=Hermite polynomials}}

{{전거 통제}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:다항식]]
[[분류:직교 다항식]]
[[분류:특수 초기하함수]]