에르미트 다양체 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''에르미트 다양체'''(Hermite多樣體, {{llang|en|Hermitian manifold}})는 일종의 [[계량 텐서]]를 가진 [[복소다양체]]이다. 복소 기하학에서 [[리만 다양체]]에 대응되는 개념이다.

[[켈러 다양체]]와 [[칼라비-야우 다양체]]는 에르미트 다양체의 특수한 경우다.

== 정의 ==
=== 에르미트 계량 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 <math>2n</math>차원 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E</math> 위의 [[개복소구조]]({{llang|en|almost complex structure}}), 즉 <math>J^2=-1</math>이 되는 [[매끄러운 단면]] <math>J\in\Gamma^\infty(\operatorname{End}_{\mathbb R}(E))</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 <math>x\in M</math>에 대하여,
:<math>J_x\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\colon E_x\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\to E_x\otimes_{\mathbb R}\mathbb C </math>
는 [[고윳값]] <math>\pm\mathrm i</math>를 가지며, 따라서 부분 [[복소수 벡터 공간]]
:<math>E_x\otimes_{\mathbb R}\mathbb C=E_x^+\oplus E_x^-</math>
:<math>(J_x\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)\restriction E_x^\pm = \pm\mathrm i</math>
을 정의할 수 있다. 또한, 표준적인 사상
:<math>(-)^\pm\colon E_x\to E_x^\pm</math>
:<math>(-)^\pm\colon v\mapsto \operatorname{proj}_{E_x^\pm}(v\otimes\mathbb C)</math>
이 존재한다.

그렇다면, <math>E</math> 위의 '''에르미트 계량'''({{lang|en|Hermitian metric}})은 다음 두 성질을 만족시키는 [[매끄러운 단면]]
:<math>h\in\Gamma^\infty((E^+)^*\otimes_{\mathbb C}(E^-)^*)</math>
이다. (여기서 <math>(-)^*</math>는 각 올에 대한 복소수 [[연속 쌍대 공간]]을 취하는 것이다.)
:<math>h_x(z^+,w^-)=\overline{h_x(z^-,w^+)}\in\mathbb C\qquad(\forall z,w\in E_x)</math>
:<math>h_x(z^+,z^-)\in\mathbb R^+\qquad(\forall z\in E_x\setminus\{0\})</math>
여기서 <math>\overline x</math>는 [[복소수]]의 [[복소켤레]]를 뜻한다.
이를 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다. 우선, <math>E^+</math>의 첨자를 <math>i,j,\dotsc</math>로, <math>E^-</math>의 첨자를 <math>\bar i,\bar j,\dotsc</math>로 표기하자. 마찬가지로, <math>z\in E_x</math>에 대하여 <math>z^+</math>의 성분을 <math>z^i</math>로, <math>z^-</math>의 성분을 <math>\bar z^{\bar i}</math>로 표기하자. 그렇다면,
:<math>h_{i\bar j}z^i\bar w^{\bar j}=\overline h_{i\bar j}z^i\bar w^{\bar j}\in\mathbb C\qquad(\forall z,w\in E_x)</math>
:<math>h_{i\bar j}z^i\bar z^{\bar j}\in\mathbb R^+\qquad(\forall z\in E_x\setminus\{0\})</math>
특히, 첫째 조건은 <math>h_{i\bar j}</math>가 [[에르미트 행렬]]을 이룬다는 것이며, 둘째 조건은 이 [[에르미트 행렬]]의 [[고윳값]]이 모두 양의 실수라는 것이다.

=== 에르미트 다양체 ===
[[개복소다양체]] (또는 [[복소다양체]]) <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 이 경우, [[접다발]] <math>\mathrm TM</math> 위에 [[개복소구조]] <math>J\in\Gamma^\infty(\operatorname{End}(\mathrm TM))</math>가 주어져 <math>\mathrm T^\pm M</math>을 정의할 수 있다.

'''에르미트 다양체''' <math>(M,h)</math>는 <math>\mathrm T^\pm M</math> 위에 에르미트 계량 <math>h\in\Gamma^\infty(\mathrm T^{+*}M\otimes_{\mathbb C}\mathrm T^{-*}M)</math>가 주어진 [[복소다양체]]이다.

== 성질 ==
=== 리만 구조 ===
모든 에르미트 다양체는 자연스러운 [[리만 계량]]을 가져, [[리만 다양체]]를 이룬다. 이 경우 리만 계량은 다음과 같다.
:<math>g^{\mathbb C}=\frac12(h+\bar h)\in\Gamma^\infty\left(\mathrm T^*\!M\otimes_{\mathbb R}\mathrm T^*\!M\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\right)</math>
이 경우, <math>g^{\mathbb C}(u,v)=\bar g^{\mathbb C}</math>이므로, 이는 <math>g\in\Gamma^\infty\left((\mathrm TM\otimes\mathrm TM)^*\right)</math>로 제약이 가능하며, 이는 [[리만 계량]]을 이룬다.

또한, <math>h</math>를 사용하여 다음과 같은 (1,1)-[[복소수 미분 형식]] <math>\omega\in\Omega^{1,1}(M)</math>를 정의할 수 있다.
:<math>\omega=\frac{\mathrm i}2(h-\bar h)</math>
:<math>\omega_{\alpha\bar\beta}=\frac{\mathrm i}2h_{\alpha\bar\beta}\mathrm dz^\alpha\wedge\mathrm d\bar z^{\bar\beta}</math>

=== 천 접속 ===
[[복소다양체]] <math>M</math> 위의 [[해석적 벡터 다발]] <math>(E,J)</math> 위의 에르미트 계량 <math>h</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>E</math> 위에는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 [[코쥘 접속]] <math>\nabla</math>가 존재한다. 이를 '''천 접속'''([陳]接續, {{lang|en|Chern connection}})이라고 한다.
* <math>\nabla J=0</math>
* <math>\nabla g=0</math>

만약 <math>E=\mathrm TM</math>일 경우 (에르미트 다양체), 이는 <math>\mathrm TM</math> 위의 [[레비치비타 접속]]과는 다르며, [[비틀림 (미분기하학)|비틀림]]을 가진다. 다만, 만약 에르미트 다양체가 [[켈러 다양체]]인 경우, 비틀림이 0이며, 천 접속과 레비치비타 접속은 일치한다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hermitian structure}}
* {{eom|title=Hermitian metric}}
* {{매스월드|id=HermitianMetric|title=Hermitian metric|이름=Todd|성=Rowland}}
* {{nlab|id=Hermitian manifold}}
* {{nlab|id=almost Hermitian structure|title=Almost Hermitian structure}}

{{전거 통제}}

[[분류:리만 기하학]]
[[분류:복소다양체]]
[[분류:다양체 상의 구조]]