에레스만 접속 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''에레스만 접속'''(Ehresmann接續, {{llang|en|Ehresmann connection}})은 임의의 [[올다발]]에서, 올의 원소를 주어진 곡선을 따라 "평행하게" 이동하는 방법을 제시하는 구조이다. 구체적으로, 올다발의 [[접다발]]에서, 밑공간과 평행한 방향으로 구성되는 부분 벡터 다발이다. 이를 통해 평행 운송과 [[홀로노미]] 및 [[곡률]]을 정의할 수 있지만, 단면에 대한 [[공변 미분]] 연산자를 정의할 수 없다. [[벡터 다발]]의 [[코쥘 접속]]이나, [[주다발]]의 [[주접속]]의 공통된 일반화이다.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[매끄러운 올다발]]
:<math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>
이 주어졌다고 하고, <math>E</math> 및 <math>E</math>의 각 올이 [[매끄러운 다양체]]를 이룬다고 하자. 그렇다면 [[수직 벡터 다발]] <math>\mathrm VE\subseteq\mathrm TE</math>를 정의할 수 있다.

이에 따라, [[짧은 완전열]]
:<math>0\to\mathrm VE\hookrightarrow\mathrm TE\;\overset{\pi^*\mathrm T\pi}\twoheadrightarrow\;\pi^*\mathrm TM\to0</math>
이 존재한다. (여기서 <math>\pi^*\mathrm T\pi\colon(e,u)\mapsto(e,\mathrm T\pi(u))</math>이다.) 이는 (벡터 다발의 범주이므로) 물론 [[분할 완전열]]이지만, 이러한 분할은 (추가 데이터 없이) 표준적으로 주어지지 않는다. 에레스만 접속은 위 분할을 표준적으로 제시하는 데이터이다.

<math>E</math> 위의 '''(에레스만) 접속'''(Ehresmann接續, {{llang|en|(Ehresmann) connection}}) <math>\iota\colon H\hookrightarrow\mathrm TE</math>는 다음 조건을 만족시키는 <math>\mathrm TE\twoheadrightarrow E</math>의 매끄러운 부분 [[벡터 다발]]이다.
:<math>\mathrm TE=H\oplus\mathrm VE</math>
이는 1차 [[제트 다발]] <math>\mathrm J^1E\twoheadrightarrow E</math>의 매끄러운 [[단면 (올다발)|단면]]과 같다. 직관적으로, 에레스만 접속은 <math>E</math>의 [[접공간]] <math>\mathrm T_eE</math>를 밑공간 <math>M</math>과 수직인 방향 <math>\mathrm V_eE</math>과 수평인 방향 <math>H_e</math>으로 분해한다. 밑방향와 수직인 방향은 에레스만 접속 없이도 정의할 수 있지만, 밑공간과 수평인 방향을 정의하려면 에레스만 접속이 필요하다.

에레스만 접속 <math>H</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 [[벡터 다발]] 사영을 정의할 수 있다.
:<math>v\colon\mathrm TE\twoheadrightarrow\mathrm VE</math>
:<math>v\colon (h,u)\mapsto u\qquad\left(h\in\Gamma(H),\;u\in\Gamma(\mathrm VE)\right)</math>
:<math>0\to\mathrm VE\;\underset v\rightleftarrows\;\mathrm TE\;\overset{\pi^*\mathrm T\pi}{\underset\iota\rightleftarrows}\;\pi^*\mathrm TM\to0</math>
즉,
:<math>H=\ker v</math>
가 된다. 이 경우, <math>v</math>를 에레스만 접속 <math>H</math>의 '''접속 형식'''(接續形式, {{llang|en|connection form}})이라고 한다. <math>v</math>는 <math>E</math> 위의, <math>\mathrm VE</math> 값을 갖는 [[1차 미분 형식]]으로 간주할 수 있다.

=== 곡률 ===
[[올다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math> 위의 에레스만 접속 <math>\ker v</math>의 '''곡률 형식'''(曲率形式, {{llang|en|curvature form}})은 다음과 같은, <math>E</math> 위의 <math>\mathrm TE</math> 값의 [[2차 미분 형식]]이다.
:<math>R=\frac12[v\wedge v]\in \Omega^2(E,\mathrm TE)</math>
여기서 <math>[\wedge]</math>는 <math>\mathrm TE</math> 값의 [[미분 형식]] <math>v\in\Omega^1(E,\mathrm TE)</math>의 괄호이다.
곡률 형식이 0인 에레스만 접속을 '''평탄 에레스만 접속'''(平坦Ehresmann接續, {{llang|en|flat Ehresmann connection}})이라고 한다.

=== 평행 운송 ===
{{본문|평행 운송}}
밑공간 <math>M</math> 위에 [[곡선]] <math>\gamma\colon [a,b]\to M</math>이 주어졌다고 하고, <math>M</math> 위의 매끄러운 [[올다발]] <math>E</math> 속에 에레스만 접속 <math>H</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 접속을 사용하여 올 사이의 '''[[평행 운송]]'''
:<math>P(\gamma)\colon E_{\gamma(a)} \to E_{\gamma(b)}</math>
을 정의할 수 있다.

== 예 ==
[[올다발]]에 [[벡터 다발]]이나 [[주다발]]과 같은 추가 구조가 주어질 경우, 이들 구조와 호환되는 특수한 접속들을 정의할 수 있다. 반대로, 에레스만 접속의 개념은 벡터 다발이나 주다발 위의 접속의 개념의 일반화이다.

=== 주접속 ===
{{본문|주접속}}
[[리 군]] <math>G</math>에 대하여, <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>가 <math>G</math>-[[주다발]]이라고 하자. 이 경우, [[수직 벡터 다발]] <math>VE</math>는 [[리 대수]] <math>\mathfrak g=T_1G</math>에 대한 자명한 [[벡터 다발]]과 동형이다.
:<math>\mathrm VE\cong \mathfrak g\times E</math>
따라서, <math>E</math> 위의 에레스만 접속 형식 <math>v\colon\mathrm TE\twoheadrightarrow\mathrm VE</math>는 <math>\mathfrak g</math> 값의 [[1차 미분 형식]]이 된다. 만약 <math>v</math>가 <math>G</math>의 작용과 호환된다면, 이는 주다발 <math>E</math>의 [[주접속]]을 이룬다.

=== 코쥘 접속 ===
{{본문|코쥘 접속}}
<math>E</math>가 [[벡터 다발]]이라고 하자. 이 경우, [[수직 벡터 다발]] <math>\mathrm VE</math>는 표준적으로 다발의 [[당김 (미분기하학)|당김]] <math>\pi^*E</math>와 동형이다. <math>E</math> 위의 에레스만 접속 <math>\ker v</math>가 주어졌다고 하자. <math>E</math>의 매끄러운 [[단면 (올다발)|단면]] <math>s\in\Gamma(E)</math>는 함수
:<math>s\colon M\to E</math>
로 생각할 수 있으며, 따라서 그 미분
:<math>\mathrm ds\colon\mathrm TM\to TE</math>
를 정의할 수 있다. 여기에
:<math>v\colon\mathrm TE\to\mathrm VE\cong\pi^*E</math>
를 [[함수의 합성|합성]]하자.
:<math>v\circ\mathrm ds\colon\mathrm TM\to \pi^*E</math>
만약 <math>v\colon\mathrm TM\to\mathrm TE</math>가 선형이라면 (즉, [[벡터 다발]]의 사상이라면), <math>v\circ ds</math> 역시 벡터 다발의 사상이 되며,
:<math>\nabla\colon\Gamma(E)\to\Gamma(\mathrm T^*M\otimes E)</math>
:<math>\nabla\colon s\mapsto v\circ\mathrm ds</math>
는 벡터 다발의 [[코쥘 접속]]을 이룬다. 반대로, <math>E</math> 위의 코쥘 접속 <math>\nabla</math>가 주어졌을 때,
:<math>H_e=\{\mathrm ds_{\pi(e)}(T_{\pi(e)}M)\colon s\in\Gamma(E),\;s(\pi(e))=e,\;\nabla s=0\}</math>
로 정의하면 <math>H</math>는 에레스만 접속을 이룬다.

=== 카르탕 접속 ===
{{본문|카르탕 접속}}
<math>E\twoheadrightarrow M</math>가 [[동차공간]] <math>G/H</math>를 올로 하는 [[올다발]]이라고 하고, 또 <math>G/H</math>에서 0의 [[잉여류]]에 해당하는 매끄러운 단면 <math>s\in\Gamma(E)</math>이 주어졌다고 하자.

<math>E</math> 위의 에레스만 접속 <math>\ker v</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* 국소적 자명화를 잡았을 때, 임의의 곡선 <math>\gamma\colon[0,1]\to M</math>에 대하여, 평행 운송 <math>T_{\gamma(0)}M\to T_{\gamma(1)}M</math>은 어떤 <math>g\in G</math>의 [[군의 작용|작용]]으로 주어진다.
*임의의 <math>x\in M</math>에 대하여, <math>s^*v\colon T_xM\to  V_{s(x)}E</math>는 [[벡터 공간]]의 동형이다.
그렇다면 이는 <math>M</math> 위의 <math>G/H</math>-[[올다발]] 위의 [[카르탕 접속]]의 개념과 동치이다.

== 역사 ==
역사적으로 접속은 [[리만 기하학]]에서 [[무한소]]적 관점으로 다루어졌다. 이는 일정 부분 [[엘빈 브루노 크리스토펠]]의 연구로 시작되었으며, 나중에 [[그레고리오 리치쿠르바스트로]]와 [[툴리오 레비치비타]]가 크리스토펠이 사용한 의미의 접속을 이용하면 평행 운송의 개념을 만들 수 있음을 발견하면서 보다 큰 관심을 받게 되었다.<ref>{{저널 인용|last1=Levi-Civita|first1=Tullio|저자링크=툴리오 레비치비타|last2=Ricci|first2=Gregorio|저자링크2=그레고리오 리치쿠르바스트로|title=Méthodes de calcul différential absolu et leurs applications|journal=Mathematische Annalen|volume=54|호=1–2|날짜=1900|pages=125–201|doi=10.1007/BF01454201|issn=0025-5831|jfm=31.0297.01|언어=fr}}</ref>

레비치비타는 접속을 일종의 미분 작용소로, 평행 운송을 [[미분 방정식]]의 해로 보았다. 20세기에 [[엘리 카르탕]]은 미분 형식의 기술을 [[펠릭스 클라인]]의 [[에를랑겐 프로그램]]에 적용하려고 하면서 접속의 새로운 개념을 개발해냈다. 그는 자신의 [[카르탕 접속]]이 고전적인 에를랑겐 기하학에는 존재하지 않는 [[곡률]]의 개념을 제공한다는 것을 알아차렸다.<ref>{{저널 인용|last=Cartan|first=Élie|authorlink=엘리 카르탕|title=Sur les varietes a connexion projective|journal=Bulletin de la Société Mathématique|volume=52|year=1924|pages=205–241|언어=fr}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Cartan|이름=Élie|저자링크=엘리 카르탕|제목=Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann|날짜=1928|출판사=Gauthier-Villars|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|jfm=54.0755.01|언어=fr}}</ref> 뿐만 아니라 카르탕은 [[장 가스통 다르부]]의 동역학을 이용해 평행 운송을 카르탕 접속에 대해 일반화시키고, 이를 통해 접속을 [[미분형식]]의 한 종류로 보는 새로운 흐름이 나타났다.

1950년에 [[장루이 코쥘]]은 [[벡터 다발]]의 [[코쥘 접속]]의 현대적인 정의를 제시하였다.<ref>{{저널 인용| last = Koszul | first = Jean-Louis | 저자링크=장루이 코쥘 | title = Homologie et cohomologie des algebres de Lie | journal = Bulletin de la Société Mathématique | volume = 78 | year = 1950 | pages = 65–127 | zbl =  0039.02901 | 언어=fr}}</ref> 같은 해에 카르탕의 제자 [[샤를 에레스만]]({{llang|fr|Charles Ehresmann}})은 임의의 올다발 위의 에레스만 접속의 개념을 도입하였다.<ref>{{서적 인용|last=Ehresmann|first=Charles|장=Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable|제목=Colloque de Topologie, Bruxelles, du 5 au 8 juin 1950|출판사=Centre Belge de Recherches Mathematiques|날짜=1951|pages=29–55|mr=0042768|zbl =0054.07201|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1948-1951__1__153_0|언어=fr}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Geometry, topology and physics|판=2판|날짜=2003-06-04|doi=10.1201/9781420056945|이름=Mikio|성=Nakahara|url=http://www.routledge.com/books/details/9780750306065/|isbn=978-0-7503-0606-5|출판사=Taylor & Francis|언어=en}}
* {{서적 인용|장=The works of Charles Ehresmann on connections: from Cartan connections to connections on fibre bundles|이름=Charles-Michel|성=Marle|장url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00940427/|제목=Geometry and Topology of Manifolds, May 2005, Będlewo, Poland|총서=Banach Center Publications|권=76|쪽=65–86|날짜=2007|출판사=Polish Academy of Sciences|위치=[[바르샤바]]|arxiv=1401.8272|bibcode=2014arXiv1401.8272M|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Connection}}
* {{eom|title=Connections on a manifold}}
* {{eom|title=Non-linear connection}}
* {{nlab|id=connection on a bundle|title=Connection on a bundle}}
* {{nlab|id=Ehresmann connection}}

[[분류:접속 (수학)| ]]