에너지 조건 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반 상대성 이론]]에서 '''에너지 조건'''(energy條件, {{llang|en|energy condition}})은 물리적으로 "현실적인" [[시공간]]의 [[리치 곡률]]이 만족시켜야 한다고 가정할 수 있는 여러 조건 가운데 하나이다.<ref name="HawkingEllis">{{서적 인용 | 성=Hawking | 이름=Stephen |저자링크=스티븐 호킹 |이름2=George Francis Rayner|성2=Ellis | 제목 = The large scale structure of space-time | 위치= Cambridge | 출판사=Cambridge University Press | 날짜=1973 |isbn = 0-521-09906-4 | 언어=en}}</ref>{{rp|§4.3}}<ref name="Carroll">{{서적 인용|성=Carroll|이름=Sean M.|제목=Spacetime and geometry: an introduction to general relativity|url=http://preposterousuniverse.com/spacetimeandgeometry/|출판사=Addison-Wesley|isbn=0805387323|날짜=2003|언어=en|확인날짜=2014-04-06|보존url=https://web.archive.org/web/20140505075543/http://www.preposterousuniverse.com/spacetimeandgeometry/|보존날짜=2014-05-05|url-status=dead}}</ref>{{rp|174–177}}<ref name="VB">{{서적 인용|arxiv=gr-qc/0001099|장=Energy conditions and their cosmological implications|이름=Matt|성=Visser|이름2=Carlos|성2=Barcelo |doi=10.1142/9789812792129_0014|bibcode=2000ppeu.conf...98V|쪽=[https://archive.org/details/cosmo99proceedin0000inte/page/n117 98]–112|제목= COSMO-99: proceedings of the Third International Workshop on Particle Physics and the Early Universe, ICTP, Trieste, Italy, 27 September – 2 October 1999|url=https://archive.org/details/cosmo99proceedin0000inte|출판사=World Scientific|isbn=978-981-02-4456-9|날짜=2000-09|editor1-first=U.|editor1-last=Cotti|editor2-first=R.|editor2-last=Jeannerot|editor3-first=G.|editor3-last=Senjanovi|editor4-first=A.|editor4-last=Smirnov|언어=en}}
</ref><ref name="Curiel">{{서적 인용|장=A primer on energy conditions|이름=Erik|성=Curiel|arxiv=1405.0403|bibcode=2014arXiv1405.0403C|제목=Towards a theory of spacetime theories|editor1-first=Dennis|editor1-last=Lehmkuhl|editor2-first=Gregor|editor2-last=Schiemann|editor3-first=Erhard|editor3-last=Scholz|출판사=Birkhäuser|총서=Einstein Studies|issn=2381-5833|권=13|isbn=978-1-4939-3209-2|날짜=2017|doi=10.1007/978-1-4939-3210-8|언어=en}}</ref> [[아인슈타인 방정식]]에 따라 시공간의 리치 곡률은 그 위에 존재하는 물질의 [[에너지-운동량 텐서]]로 주어지므로, 이는 물리적으로 "현실적인" 물질에 대한 조건으로도 볼 수 있다.

== 정의 ==
&minus;+++ [[계량 부호수]]를 사용하자. [[시공간]] <math>(M,g)</math> 위에 에너지-운동량 텐서 <math>T_{\mu\nu}</math>가 주어졌다고 하자. 또한, 시공간은 시간 방향(time orientation)이 주어져 있다고 하자. 따라서, 모든 벡터를 미래 방향 시간꼴 벡터 · 과거 방향 시간꼴 벡터 · 미래 방향 영벡터 · 과거 방향 영벡터 · 공간꼴 벡터로 분류할 수 있다. 또한, 에너지-운동량 텐서의 [[대각합]] <math>T=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}</math>을 정의하자. 그렇다면, 흔히 사용되는 5가지의 에너지 조건은 다음과 같다.<ref name="Carroll"/>{{rp|175}}
* '''영벡터 에너지 조건'''(零vector energy條件, {{llang|en|null energy condition}}, 약자 NEC)에 따르면, 모든 미래 방향 [[영벡터]]장 <math>u^\mu</math>는 다음 조건을 만족시킨다.
*:<math>u^\mu u^\nu T_{\mu\nu}\ge0</math>
:즉, [[빛의 속력]]으로 움직이는 (무질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다.
* '''약한 에너지 조건'''(弱-energy條件, {{llang|en|weak energy condition}}, 약자 WEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 <math>v^\mu</math>는 다음 조건을 만족시킨다.
*:<math>v^\mu v^\nu T_{\mu\nu}\ge0</math>
:즉, [[빛의 속력]]보다 느리게 움직이는 (유질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다.
* '''영벡터 우세 에너지 조건'''(零vector優勢energy條件, {{llang|en|null dominant energy condition}}, 약자 NDEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, 또한 ② 모든 미래 방향 영벡터장 <math>u^\mu</math>에 대하여, <math>-T^{\mu\nu}u_\mu</math>는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이다. 즉, 두 번째 조건에 따르면, 빛의 속도로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다. 이 조건은 우세 에너지 조건과 유사하나, 음의 [[우주 상수]]를 허용한다.<ref name="Carroll"/>{{rp|175}}
* '''우세 에너지 조건'''(優勢energy條件, {{llang|en|dominant energy condition}}, 약자 DEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, 또한 ② 모든 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장 <math>v^\mu</math>에 대하여, <math>-T^{\mu\nu}v_\mu</math>는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이다. 즉, 조건 ②에 따르면, 빛의 속력 이하로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다. 조건 ②에 따르면, 등방 물질의 경우 압력이 항상 에너지 밀도보다 작아야 한다. 이는 물질에서 [[음속]]이 빛의 속력보다 더 작아야 하는 조건이다.<ref name="HawkingEllis"/>{{rp|91}}
* '''강한 에너지 조건'''(強-energy條件, {{llang|en|strong energy condition}}, 약자 SEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 <math>v^\mu</math>는 다음 조건을 만족시킨다.
*:<math>v^\mu v^\nu(T_{\mu\nu}-Tg_{\mu\nu}/2)\ge0</math>

즉, 강한 에너지 조건을 제외한 에너지 조건들은 다음과 같다.
{| class=wikitable style="text-align:center"
! !! 영벡터 에너지 조건 !! 약한 에너지 조건 !! 영벡터 우세 에너지 조건 !! 우세 에너지 조건
|-
! 영벡터 <math>u^\mu</math>에 대하여, <math>u^\mu u^\nu T_{\mu\nu}\ge0</math>
| O || O || O || O
|-
! 시간꼴 벡터 <math>v^\mu</math>에 대하여, <math>v^\mu v^\nu T_{\mu\nu}\ge0</math>
| X || O || O || O
|-
! 미래 영벡터 <math>u^\mu</math>에 대하여, <math>-u^\mu T_{\mu\nu}</math>는 미래 시간꼴 또는 영벡터
| X || X || O || O
|-
! 미래 시간꼴 벡터 <math>v^\mu</math>에 대하여, <math>-v^\mu T_{\mu\nu}</math>는 미래 시간꼴 또는 영벡터
| X || X || X || O
|}

=== 평균 에너지 조건 ===
위 에너지 조건들은 각 점마다 성립 여부를 결정할 수 있다. 그러나 이 조건들을 약화시켜, 주어진 [[세계선]]의 적분에 관한 에너지 조건들을 정의할 수 있다. 이들을 '''평균 에너지 조건'''(平均energy條件, {{llang|en|averaged energy conditions}})이라고 한다.<ref name="Curiel"/>{{rp|§2.2}} (평균이 아닌 에너지 조건들은 [[양자 역학]] 효과에 의하여 미세하게 위배될 수 있지만, 평균 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 성립할 가능성이 더 높다고 여겨진다.)

시공간 <math>(M,g)</math>에서, [[매끄러운 함수|매끄러운]] 곡선 <math>\gamma\colon\mathbb R\to M</math> 가운데, 임의의 <math>t\in\mathbb R</math>에 대하여 속력 <math>\dot\gamma(t)\in\mathrm T_xM</math>이 미래 방향 시간꼴인 곡선들의 집합을 <math>\mathcal C^\infty_{\text{fut,time}}(\mathbb R,M)</math>로 표기하자. 마찬가지로, 속력이 항상 미래 방향 영벡터인 곡선들의 집합을 <math>\mathcal C^\infty_{\text{fut,null}}(\mathbb R,M)</math>로 표기하자.

* '''평균 영벡터 에너지 조건'''(平均零vector energy條件, {{llang|en|averaged null energy condition}}, 약자 ANEC)에 따르면, 모든 <math>\gamma\in\mathcal C^\infty_{\text{fut,null}}(\mathbb R,M)</math>는 다음 조건을 만족시킨다.
*:<math>\int_{\mathbb R}\dot\gamma^\mu(t)\dot\gamma^\nu(t) T_{\mu\nu}(\gamma(t))\;\mathrm dt\ge0</math>
* '''평균 약한 에너지 조건'''(平均弱-energy條件, {{llang|en|averaged weak energy condition}}, 약자 AWEC)에 따르면, 모든 <math>\gamma\in\mathcal C^\infty_{\text{fut,time}}(\mathbb R,M)</math>는 다음 조건을 만족시킨다.
*:<math>\int_{\mathbb R}\dot\gamma^\mu(t)\dot\gamma^\nu(t) T_{\mu\nu}(\gamma(t))\;\mathrm dt\ge0</math>

== 성질 ==
=== 인과 관계 ===
이들 사이의 인과 관계는 다음과 같다. 여기서 ''X'' ⇒ ''Y''는 ''X''가 ''Y''를 함의함을 뜻한다.
{| style="text-align: center"
| DEC || ⇒ || NDEC || ⇒ || WEC || ⇒ || NEC
|-
| colspan=6 rowspan=2 | || ⇑
|-
| SEC
|}
이름과 달리, 강한 에너지 조건(SEC)은 약한 에너지 조건(WEC)을 함의하지 않는다.

=== 이상 유체 ===
에너지 밀도 <math>\rho</math>, 압력 <math>p</math>를 가진 [[이상 유체]]
:<math>T^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}
\rho&0&0&0\\
0&p&0&0\\
0&0&p&0\\
0&0&0&p
\end{pmatrix}</math>
의 경우 위 조건들은 다음과 같다.<ref name="Carroll"/>{{rp|176}}
* 영벡터 에너지 조건: <math>\rho+p\ge0</math>
* 약한 에너지 조건: <math>\rho\ge0</math>, <math>\rho+p\ge0</math>
* 영벡터 우세 에너지 조건: <math>\rho\ge|p|</math> 또는 <math>\rho=-p</math>
* 우세 에너지 조건: <math>\rho\ge|p|</math>
* 강한 에너지 조건: <math>\rho+p\ge0</math>, <math>\rho+3p\ge0</math>

=== 함의 관계 ===
[[일반 상대성 이론]]에서, 시공간의 다양한 성질들을 증명하기 위해서는 대개 일종의 에너지 조건이 필요하다. 각종 주요 정리들을 증명하기 위해 필요한 에너지 조건들은 다음과 같다.<ref name="Curiel"/>{{rp|§3.1}}
* 영벡터 에너지 조건:
** [[블랙홀 열역학]]의 제2 법칙
** [[ADM 질량]]은 음수가 될 수 없음
* 약한 에너지 조건:
** 블랙홀 열역학의 제3 법칙 (블랙홀의 표면 중력을 유한한 시간 안에 0으로 만들 수 없음)
** 공간의 위상은 변할 수 없음
* 우세 에너지 조건:
** [[블랙홀]]의 위상은 항상 [[구 (기하학)|구]]

=== 위배 ===
질량을 갖는 스칼라장([[클레인-고르돈 방정식]])은 (고전적으로) 강한 에너지 조건을 위배할 수 있다.<ref name="Curiel"/>{{rp|§3.2}}

양자 역학적 효과는 심지어 영벡터 에너지 조건도 위배할 수 있다고 생각된다.<ref name="VB"/> 그러나 각종 평균화 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 비교적 안전하다고 여겨진다.

== 같이 보기 ==
* [[일반 상대성 이론의 엄밀 해]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:일반 상대성이론]]