양-밀스 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{여러그림|perrow = 2|total_width=300
| 그림1= -y-(x^2+y^2+1) plot; BPST instanton.png
| 그림2 = X-(x^2+y^2+1) plot; BPST instanton.png
| 그림3 = Curvature of BPST Instanton.png
| 그림4 = BPST on sphere.png
| 꼬리말 = <math>\R^4</math>의 <math>(x_1 ,x_2)</math>-절단면에서 [[BPST instanton|BPST 순간자]]의 <math>dx_1 \otimes\sigma_3</math>계수. 여기서 <math>\sigma_3</math>은 세 번째 [[Pauli matrix|파울리 행렬]] (왼쪽 위)이다. <math>dx_2 \otimes\sigma_3</math>계수(오른쪽 위). 이러한 계수는 이 슬라이스에 대한 <math>g=2, \rho=1, z=0</math>인 BPST 순간자 ''A''의 제한을 결정한다 해당 전계 강도는 <math>z=0</math>(왼쪽 아래)을 중심으로 한다 <math>\R^4</math>의 [[Compactification (mathematics)|콤팩트화]] <math>S^4</math>의 점 ''z''를 중심으로 BPST 순간자의 장의 강도를 시각적으로 표현한 것이다(오른쪽 아래). BPST 순간자는 반자기 쌍대성 방정식이며, 따라서 <math>\R^4</math>에 대한 양-밀스 방정식의 해이다. 이 해는 [[Karen Uhlenbeck|울렌벡]]의 제거 가능한 특이점 정리에 의해 위상수학적으로 자명하지 않은 ''<math>S^4</math>''의 반자기 쌍대 접속로 확장될 수 있다.
}}

[[이론물리학]] 또는 [[수학]], 특히 [[미분기하학]] 및 [[게이지 이론 (수학)|게이지 이론]]에서 '''양-밀스 방정식'''({{llang|en|Yang–Mills equations}})은 어떤 [[벡터 다발|선형 다발]] 또는 [[주다발]] 접속에 대한 어떤 [[편미분방정식|연립 편미분 방정식]]이다. 이들은 물리학에서 '''양-밀스 작용 함수'''의 [[오일러-라그랑주 방정식]]으로 발생한다. 그들은 또한 수학에서 중요한 용도를 찾았다.

양-밀스 방정식의 해는 '''양-밀스 접속''' 또는 '''[[순간자]]'''라고 한다. 순간자들의 [[모듈라이 공간]]은 [[도날드슨의 정리|도날드슨 정리]]를 증명하기 위해 [[사이먼 도널드슨|사이먼 도날드슨]]에 의해 사용되었다.

== 동기 부여 ==
=== 물리학 ===
게이지 이론에 대한 기초 논문에서 [[로버트 밀스(물리학자)|로버트 밀스]]와 [[양전닝]]은 물리 이론에 적용되는 ''게이지 대칭'' 및 ''게이지 불변''의 개념을 설명하기 위해, 본질적으로 수학 문헌들과 독립적으로, 주다발과 접속에 대한 연구를 했다<ref>Yang, C.N. and Mills, R.L., 1954. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance. Physical review, 96(1), p.191.</ref>(그들의 연구 중 수학적 부분은 이미 수십 년 전부터 [[엘리 카르탕]], [[천싱선]], [[앙드레 베유]] 등의 수학자들이 물리학과의 연관성에 대한 생각없이, 발전시켜 놓았었다. 하지만 당시 물리학자들에게 까지 알려져 있지는 않았던 것 같다.<ref>{{서적 인용|url=https://www.worldcat.org/oclc/701109877|제목=The shape of inner space : string theory and the geometry of the universe's hidden dimensions|성=Yau|이름=Shing-Tung|날짜=2010|출판사=Basic Books|위치=New York|isbn=978-0-465-02266-3}}</ref>) 양전닝과 로버트 밀스가 발견한 게이지 이론인 양-밀스 이론은, [[볼프강 파울리]]와 다른 학자들이 <math>\operatorname{U}(1)</math>-게이지 이론으로 표현한, [[맥스웰 방정식]]에 대한 [[제임스 클러크 맥스웰|제임스 맥스웰]]의 고전적 작업을 일반화했다.<ref>Pauli, W., 1941. Relativistic field theories of elementary particles. Reviews of Modern Physics, 13(3), p.203.</ref> 양전닝과 로버트 밀스가 한 작업의 참신함은, ''구조 군'' (또는 물리학에서는 ''게이지 군'', 자세한 내용은 [[게이지 변환군|게이지 군(수학)]] 참조)이라고 하는 [[리 군]] <math>G</math>의 임의 선택에 대한 게이지 이론을 정의하는 것이다. 이 군은  <math>\operatorname{U}(1)</math>-게이지 이론에서와는 다르게 비 아벨 군일 수 있다. <math>G=\operatorname{U}(1)</math>인 경우는 전자기학에 해당하며, 그러한 대상을 논의하는 올바른 수학적 틀은 [[주다발]] 이론이다.

양전닝과 로버트 밀스의 작업의 요지는 다음과 같다. 하나는 물리적 모델의 기본적 설명은 ''장''을 사용한 설명이라고 가정하고, ''국소 게이지 변환'' (주다발의 국소 자명화의 변경)에서 이러한 물리적 장은 정확히 접속 <math>A</math>(물리학에서 ''게이지 장'')이 주다발 변환에서 변환되는 방식으로 변환해야 한다. ''게이지 장 강도''는 접속 곡률 <math>F_A</math>이다. 게이지 장의 에너지는 양-밀스 작용 함수

: <math>\operatorname{YM}(A) = \int_X \|F_A\|^2 \, d\mathrm{vol}_g.</math>

에 의해(상수 값까지) 제공된다.

최소 작용의 원리는 이 물리 이론에 대한 올바른 [[운동 방정식]]이 아래에서 파생된 양-밀스 방정식인 이 범함수의 [[오일러-라그랑주 방정식|오일러-라그랑주]] 방정식에 의해 주어져야 함을 나타낸다.

: <math>d_A \star F_A = 0.</math>

=== 수학 ===
양-밀스 방정식의 물리적 의미를 완전히 무시하더라도 양-밀스 방정식 자체는 중요한 기하학적 관심사이다. 일반적으로 선형 다발 또는 주다발에 대한 자연스러운 접속의 선택은 없다. 이 다발이 [[리만 다양체]]에 대한 [[접다발]]인 특수한 경우에는 [[레비치비타 접속|레비-치비타 접속]]과 같은 자연스러운 선택이 있지만 일반적으로 가능한 선택들이 이루는 무한 차원 공간이 있다. 양-밀스 접속은 앞으로 설명하는 것처럼 일반적인 [[올다발]]에 대한 연결의 일종의 자연스러운 선택을 제공한다.

접속은 자명화 열린 덮개 <math>\{U_{\alpha} \}</math>와 다발 <math>P\to X</math>에 대해 접속의 국소 형식 <math>A_{\alpha}\in \Omega^1(U_{\alpha}, \operatorname{ad} (P))</math>으로 정의된다. 정식 접속을 선택하려는 첫 번째 시도는 이러한 형식이 사라지도록 요구하는 것일 수 있다. 그러나 자명화가 평평하지 않으면 불가능하다. 여기서 평평한 자명화란, 추이 사상 <math>g_{\alpha\beta}: U_{\alpha} \cap U_{\beta} \to G</math>들이 상수 함수라는 의미이다. 모든 다발이 평평한 것은 아니므로 이는 일반적으로 가능하지는 않다. 대신 국소 접속 형식 <math>A_{\alpha}</math>들 자신들이 상수인 경우를 고려 할 수 있다. 주 다발에서 이 조건을 표현하는 올바른 방법은 곡률 <math>F_A = dA + \frac{1}{2} [A,A]</math>이 사라진다는 조건이다. 그러나 [[천-베유 준동형|천–베유 이론]]에 의해 곡률 <math>F_A</math>이 사라지면(즉, <math>A</math>가 '''평평한 접속'''인 경우), 기저에 깔린 주다발은 자명한 [[천 특성류]]를 가져야 한다. 이는 평평한 접속의 존재에 대한 위상수학적 걸림돌이다. 모든 주다발이 평평한 접속을 가질 수 있는 것은 아니다.

이 때, 바랄 수 있는 최선은 곡률이 사라지는 대신 다발의 곡률이 ''가능한 한 작도록'' 만드는 것이다. 위에서 설명한 양-밀스 작용 범함수는 정확히 곡률의 <math>L^2</math>-노름(의 제곱)과 오일러-라그랑주 방정식은 절대 최소값 또는 국소 최소값 중 하나인 이 범함수의 [[임계점 (수학)|임계점]]을 설명한다 즉, 양-밀스 접속은 정확히 곡률을 최소화하는 연결이다. 이런 의미에서 그것들은 수학적 관점에서 다양체보다 주 또는 선형 다발에 대한 접속의 자연스러운 선택이다.

== 정의 ==
<math>X</math>를 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[방향 (다양체)|유향]] [[리만 다양체]]라 하자. 양-밀스 방정식은 선형 다발 또는, 일부 콤팩트 [[리 군]] <math>G</math>의 경우, <math>X</math> 위의 <math>G</math>-주다발에 대한 접속에 대해 표현될 수 있다. 여기서 후자의 규칙이 제시된다. <math>P</math>가 <math>X</math> 위의 <math>G</math>-주다발이라 하자. 그런 다음 <math>P</math> 위의 [[주접속|접속]]은 주 다발의 전체 공간에 대한 [[리 대수 값 미분 형식]] <math>A</math>으로 특정 될 수 있다. 이 연결에는 곡률 형식 <math>F_A</math>이 있다. 이것은 <math>P</math>의 딸림 다발 <math>\operatorname{ad}(P)</math>의 값을 가지는 <math>X</math> 위의 [[미분 형식|제 2형식]]이다. 접속 <math>A</math>에 연관된 공변 외미분 <math>d_A</math>는, 딸림 다발에 정의되어 있다. 추가적으로, <math>G</math>가 콤팩트하므로, 연관된 콤팩트 리 대수는 [[딸림표현|딸림 표현]] 아래에서 불변인 [[내적 공간|내적]]을 인정한다.

<math>X</math>가 리만 다양체이므로, [[공변접다발|여접다발]]에 내적이 있고 <math>\operatorname{ad}(P)</math> 위의 불변 내적과 결합된다. 다발 <math>\operatorname{ad}(P)\otimes \Lambda^2 T^* X</math>에 <math>\operatorname{ad}(P)</math>-값을 가지는 <math>X</math> 위의 제 2형식의 내적이 있다. <math>X</math>가 유향 이므로, 다발의 단면 위에 <math>L^2</math>-내적이 있다. 즉,

: <math>\langle s,t \rangle_{L^2} = \int_X \langle s, t \rangle\, d vol_g</math>

여기서, 적분 안에서 다발 별로 내적이 사용되는 경우 <math>dvol_g</math>은 <math>X</math>의 [[부피 형식|리만 부피 형식]]이다. 이것을 사용하여 <math>L^2</math>-내적, 형식 [[에르미트 수반|수반 연산자]] <math>d_A</math>에 의해 정의된다.

: <math>\langle d_A s,t \rangle_{L^2} = \langle s, d_A^* t \rangle_{L^2}</math> .

이는 <math>d_A^* = \pm \star d_A \star</math>과 같이 명시적으로 주어진다. 여기서 <math>\star</math>는 제 2형식으로 작용하는 [[호지 쌍대|호지 별 연산자]]이다.

위의 설정을 가정하면 양-밀스 방정식은 다음과 같이 주어진 (일반적으로 비선형) 편미분 방정식의 계이다.{{NumBlk|:|<math>d_A^* F_A = 0.</math><ref name=DK> Donaldson, S. K., & Kronheimer, P. B. (1990). The geometry of four-manifolds. Oxford University Press.</ref>|{{EquationRef|1}}}}호지 별은 동형 사상이기 때문에 <math>d_A^*</math>에 대한 공식에 의해 양-밀스 방정식은 {{NumBlk|:|<math>d_A \star F_A = 0</math>|{{EquationRef|2}}}}임과 동치이다.

({{EquationNote|1}}) 또는 ({{EquationNote|2}})를 만족하는 접속을 '''양-밀스 접속'''이라고 한다.

모든 접속은 자동으로 비양키 항등식 <math>d_A F_A = 0</math>을 충족한다. 그래서 양-밀스 접속은 [[호지 이론|조화 미분 형식]]의 비선형 아날로그로 볼 수 있다.

: <math> d\omega = d^* \omega = 0</math> .

이러한 의미에서 양-밀스 접속에 대한 검색은 미분 형식의  [[드람 코호몰로지]] 특성류에서 조화 대표를 찾는 [[호지 이론]]과 비교할 수 있다. 양-밀스 접속은 주 다발에서 가능한 모든 연결 집합의 조화 대표와 같다는 비유이다.

== 유도 ==
양-밀스 방정식은 다음과 같이 정의되는 '''양-밀스 범함수'''의 오일러-라그랑주 방정식이다.

<math>\operatorname{YM}(A) = \int_X \|F_A\|^2 \, d\mathrm{vol}_g.\quad\quad (3)</math>

이 범함수에서 방정식을 도출하기 위해 <math>P</math>에서 정의되는 모든 접속들이 이루는 공간 <math>\mathcal{A}</math>는 선형 공간 <math>\Omega^1(P; \mathfrak{g})</math>를 본딴 [[아핀 공간]]임을 기억하라. 접속 <math>A</math>에 약간의 변형 <math>A+ta</math>을 주면 이 아핀 공간에서 곡률들은 다음과 같이 관련된다.

: <math>F_{A+ta} = F_A + td_A a + t^2 a\wedge a.</math>

(3)의 [[임계점 (수학)|임계점]]을 결정하려면 다음을 계산하라.

: <math>\begin{align}
\frac{d}{dt} \left(\operatorname{YM}(A+ta)\right)_{t=0} &= \frac{d}{dt} \left(\int_X \langle F_A + t \, d_A a + t^2 a\wedge a, F_A + t \, d_A a + t^2 a\wedge a\rangle \, d\mathrm{vol}_g\right)_{t=0} \\
&= \frac{d}{dt} \left(\int_X \|F_A\|^2 + 2t\langle F_A, d_A a\rangle + 2t^2\langle F_A, a\wedge a\rangle + t^4 \|a\wedge a\|^2 \, d\mathrm{vol}_g\right)_{t=0}\\
&= 2\int_X \langle d_A^* F_A, a\rangle \, d\mathrm{vol}_g.
\end{align}</math>

접속 <math>A</math>는 양-밀스 범함수의 임계점은 이것이 모든 <math>a</math>에 대해 사라지는 경우에만 가능하다. 그리고 이것은 정확히 ({{EquationNote|1}})이 만족될 때 발생한다.

== 양-밀스 접속의 모듈라이 공간 ==
양-밀스 방정식은 [[게이지 이론|게이지 불변]]이다. '''게이지 변환'''은 주다발 <math>P</math>의 [[자기 동형 사상]] <math>g</math>이다. 그리고 <math>\operatorname{ad}(P)</math>에 주어진 내적이 불변이므로 양-밀스 범함수는 다음을 충족한다.

: <math>\operatorname{YM}(g\cdot A) = \int_X \|gF_Ag^{-1}\|^2 \, d\mathrm{vol}_g = \int_X \|F_A\|^2 \, d\mathrm{vol}_g = \operatorname{YM}(A)</math>

그래서 만약 <math>A</math>가 ({{EquationNote|1}})을 만족하면 <math>g\cdot A</math>도 그렇다.

양-밀스 접속 모듈로 게이지 변환의 모듈 공간이 있다. <math>P</math>의 자기 동형 사상들의 [[게이지 변환군|게이지 군]]은 <math>\mathcal{G}</math>로 표시된다. 몫 <math>\mathcal{B} = \mathcal{A}/\mathcal{G}</math>은 게이지 변환을 기준으로 모든 접속들을 분류하고, 양-밀스 접속의 모듈라이 공간 <math>\mathcal{M}</math>은 부분 집합이다. 일반적으로 <math>\mathcal{B}</math>와 <math>\mathcal{M}</math>는 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]]도 아니고 또는 매끄러운 다양체도 아니다. 그러나 기약 접속, 즉 [[홀로노미]] 군이 <math>G</math>의 모든 원소에 의해 제공되는 접속 <math>A</math>로 제한함으로써 하우스도르프 공간을 얻는다. 기약 접속들이 이루는 공간은 <math>\mathcal{A}^*</math>과 같이 표시된다. 그래서 모듈라이 공간이 <math>\mathcal{B}^*</math>과 <math>\mathcal{M}^*</math>으로 표시된다.

양-밀스 접속의 모듈라이 공간은 특정 상황에서 집중적으로 연구되었다. [[마이클 아티야]]와 [[라울 보트]]는 콤팩트 [[리만 곡면]]에 대한 다발에 대한 양-밀스 방정식을 연구했다.<ref>Atiyah, M. F., & Bott, R. (1983). The Yang–Mills equations over riemann surfaces. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 308(1505), 523–615.</ref> 거기에서 모듈라이 공간은 정형 선형 다발의 모듈라이 공간 으로 대체 설명을 얻는다. 이것은 나라심하-세샤드리 정리이며, 도날드슨에 의해 정형 선형 다발에 대한 양-밀스 접속과 관련하여 이 형식으로 증명되었다.<ref>Donaldson, S. K. (1983). A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri. Journal of Differential Geometry, 18(2), 269–277.</ref> 이 설정에서 모듈라이 공간은 콤팩트 [[켈러 다양체]]의 구조를 갖는다. 양-밀스 접속의 계수는 기저 다양체의 차원이 가장 많이 연구되었다. <math>X</math> 4이다.<ref>Friedman, R., & Morgan, J. W. (1998). Gauge theory and the topology of four-manifolds (Vol. 4). American Mathematical Soc..</ref> 여기서 양-밀스 방정식은 2차 편미방에서 1차 편미방으로 단순화된 반자기 쌍대성 방정식을 허용한다.

== 반자기 쌍대성 방정식 ==
기저 다양체 <math>X</math>의 차원이 4이면 우연의 일치가 발생한다 호지 별 연산자는 제 2형식를 제 2형식으로 사상한다.

: <math>\star : \Omega^2(X) \to \Omega^2(X)</math> .

호지 별 연산자는 이 경우 항등식에 제곱하므로 [[고윳값과 고유 벡터|고유값]] <math>1</math>, <math>-1</math>도 있다.  특히, <math>\star</math>의 양의 고유 공간과 음의 고유 공간

: <math>\Omega^2(X) = \Omega_+(X) \oplus \Omega_-(X)</math>

으로 분해된다. '''자기 쌍대''' 및 '''반자기 쌍대''' 제 2형식. 4-다양체 <math>X</math> 위의 <math>G</math>-주다발의 접속 <math>A</math>이 <math>F_A = {\star F_A}</math> 또는 <math>F_A = - {\star F_A}</math>을 만족하면, ({{EquationNote|2}})에 의해 접속은 양-밀스 접속이다. 이러한 접속을 '''자기 쌍대 접속''' 또는 '''반자기 쌍대 접속''' 이라고 하며 방정식을 '''자기 쌍대 방정식''' 및 '''반자기 쌍대 방정식'''이라고 한다. 자기 쌍대 및 반자기 쌍대 접속의 공간은 각각 <math>\mathcal{A}^+</math>와 <math>\mathcal{A}^-</math>로 표시된다. 그리고 마찬가지로 <math>\mathcal{B}^{\pm}</math> 그리고 <math>\mathcal{M}^{\pm}</math>.

반자기 쌍대 접속들의 모듈라이 공간 또는 순간자는 <math>G=\operatorname{SU}(2)</math>이고 <math>X</math>가 [[단일 연결 공간|단일 연결]]인 경우에 도날드슨에 의해 가장 집중적으로 연구되었다.<ref name="Don1">Donaldson, S. K. (1983). An application of gauge theory to four-dimensional topology. Journal of Differential Geometry, 18(2), 279–315.</ref><ref>Donaldson, S. K. (1986). Connections, cohomology and the intersection forms of 4-manifolds. Journal of Differential Geometry, 24(3), 275–341.</ref><ref name="Don2">Donaldson, S. K. (1990). Polynomial invariants for smooth four-manifolds. Topology, 29(3), 257–315.</ref> 이 설정에서 <math>\operatorname{SU}(2)</math>-주다발은 두 번째 [[천 특성류]]<math>c_2(P)\in H^4(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}</math>로 분류된다.<ref group="Note">For a proof of this fact, see the post https://mathoverflow.net/a/265399.</ref> 주다발의 다양한 선택에 대해 흥미로운 성질을 가진 모듈라이 공간을 얻는다. 이러한 공간은 축약 가능한 접속을 허용하는 경우에도 하우스도르프이며 일반적으로 매끄럽다. 매끄러운 부분이 유향임을 도날드슨이 증명하였다. [[아티야-싱어 지표 정리]]를 통해, <math>c_2(P) = k</math>인 경우 반자기 쌍대 접속의 모듈라이 공간 <math>\mathcal{M}_k^-</math>의 차원을 계산할 수 있다:

: <math>\dim \mathcal{M}_k^- = 8k - 3(1-b_1(X) + b_+(X))</math>

여기서 <math>b_1(X)</math>는 <math>X</math>의 첫 번째 [[베티 수]]이다. 그리고 <math>b_+(X)</math>는 <math>X</math>의 교차 형식과 관련하여 <math>H_2(X,\mathbb{R})</math>의 양의 정부호 부분 공간의 차원이다. 예를 들어, <math>X=S^4</math>, <math>k=1</math>일 때 교차 형식은 자명하고 모듈라이 공간은 차원 <math>\dim \mathcal{M}_1^-(S^4) = 8-3 = 5</math>을 갖는다. 이것은 <math>\mathbb{R}^4</math> 안에서 중심과 그 규모를 정의하는 최대 5개의 매개변수 족을 기준으로 <math>S^4</math> 위에서 유일한 반자기 쌍대 순간자인 BPST 순간자의 존재와 일치한다. 이러한 <math>\mathbb{R}^4</math> 위의 순간자들은 울렌벡의 제거 가능한 특이점 정리를 사용하여 무한대의 점을 가로질러 확장될 수 있다.

== 응용 ==
=== 도날드슨의 정리 ===
양-밀스 방정식의 모듈라이 공간은 도날드슨이 단일 연결 4차원 다양체의 교차 형식에 대한 도날드슨의 정리를 증명하기 위해 사용했다. 클리포트 타우베스와 [[카렌 울렌벡]]의 연구 결과를 사용하여 도날드슨은 특정 상황(교차 형식이 정부호일 때)인 경우, 매끄러운 콤팩트 유향 단일 연결 4-다양체 <math>X</math> 위에서 반자기 쌍대 순간자의 모듈라이 공간이  다양체 자체의 사본과 복소 사영 평면 <math>\mathbb{CP}^2</math>의 사본의 분리된 합집합 사이에 [[보충 경계]]를 제공함을 보여줄 수 있었다.<ref name="Don1">Donaldson, S. K. (1983). An application of gauge theory to four-dimensional topology. Journal of Differential Geometry, 18(2), 279–315.</ref><ref>Taubes, C. H. (1982). Self-dual Yang–Mills connections on non-self-dual 4-manifolds. Journal of Differential Geometry, 17(1), 139–170.</ref><ref>Uhlenbeck, K. K. (1982). Connections with L<sup>p</sup> bounds on curvature. Communications in Mathematical Physics, 83(1), 31–42.</ref><ref>Uhlenbeck, K. K. (1982). Removable singularities in Yang–Mills fields. Communications in Mathematical Physics, 83(1), 11–29.</ref> 교차 형식은 동형사상을 기준으로 보충 경계 불변이며, 그러한 매끄러운 다양체는 대각화 가능한 교차 형식를 가짐을 보여준다.

반자기 쌍대 순간자의 모듈라이 공간은 4-다양체의 추가 불변량을 정의하는 데 사용될 수 있다. 도날드슨은 모듈라이 공간에서 코호몰로지 특성류의 쌍에서 발생하는 4-다양체와 관련된 유리수를 정의했다.<ref name="Don2">Donaldson, S. K. (1990). Polynomial invariants for smooth four-manifolds. Topology, 29(3), 257–315.</ref> 이 작업은 이후 [[자이베르그-위튼 불변량|자이베르그–위튼 불변량]]에 의해 능가되었다.

=== 차원 축소 및 기타 모듈라이 공간 ===
차원 축소 과정을 통해 양-밀스 방정식을 사용하여 미분 기하학 및 게이지 이론에서 다른 중요한 방정식을 얻을 수 있다. '''차원 축소'''는 4-다양체(일반적으로 <math>\mathbb{R}^4</math>)에 대해 양-밀스 방정식을 취하고 해가 대칭 군에서 불변하는 조건을 추가하는 과정이다. 예를 들어:

* 반자기 쌍대성 방정식이 <math>\mathbb{R}^4</math>의 단일 방향 변환에 대해 불변이라는 조건을 추가함으로써, <math>\mathbb{R}^3</math> 위에서 자기 [[자기 홀극|홀극]]을 설명하는 [[보고몰니 방정식]]을 얻는다.
* 자기 쌍대성 방정식이 두 방향으로의 변환에 대해 불변하는 조건을 추가하면, [[나이절 히친|히친]]이 처음으로 조사한 히친의 방정식을 얻는다. 이러한 방정식은 자연스럽게 힉스 다발 및 [[히친 계]]에 대한 연구로 이어진다.
* 반자기 쌍대성 방정식이 세 방향으로의 변환에 대해 불변하는 조건을 추가하면, 어떤 구간에서 [[남 방정식]]을 얻는다.

<math>\mathbb{R}^3</math>와 <math>\mathbb{R}</math> 위에 차원 축소된 반자기 쌍대 방정식의 해 사이에는 쌍대성이 있다. 남 방정식 데이터에서 홀극을 구성하는 방법을 처음 설명한 베르너 남의 이름을 따서 이를 남 변환이라고 한다.<ref>Nahm, W. (1983). All self-dual multimonopoles for arbitrary gauge groups. In Structural elements in particle physics and statistical mechanics (pp. 301–310). Springer, Boston, MA.</ref> 히친은 그 반대를 보여주었고 도날드슨은 남 방정식에 대한 해가 복소 사영 직선에서 자체로의 [[유리 사상]]의 모듈라이 공간에 추가로 연결될 수 있음을 증명했다.<ref>Hitchin, N. J. (1983). On the construction of monopoles. Communications in Mathematical Physics, 89(2), 145–190.</ref><ref>Donaldson, S. K. (1984). Nahm's equations and the classification of monopoles. Communications in Mathematical Physics, 96(3), 387–408.</ref>

이러한 해에 대해 관찰된 쌍대성은 4차원 다양체의 임의의 쌍대 대칭 군을 유지하는 것으로 이론화된다. 실제로 <math>\mathbb{R}^4</math> 내부의 쌍대 격자 아래에서 변하지 않는 순간자 사이에는 유사한 쌍대성이 있으며, 쌍대 4차원 토리의 순간자 및 [[ADHM 작도|ADHM 구성]]은 <math>\mathbb{R}^4</math> 위의 순간자와 단일 점에 대한 쌍대 대수 데이터 사이의 쌍대성으로 생각할 수 있다.

반자기 쌍대 방정식의 대칭 축소는 또한 많은 [[적분가능계]]로 이어진다. 예를 들어 SU(2) 반자기 쌍대 양밀스의 축소는 [[사인-고든 방정식|사인-고든]] 및 [[코르테버흐-더프리스 방정식|코르테버흐–드 프리스 방정식]]을 제공한다. <math>\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})</math> 반자기 쌍대 양-밀스는 [[치체이카 방정식]]을 제공하고 특히 <math>2+1</math> 차원으로의 축소는 Ward의 [[통합 키랄 모델|통합 가능한 키랄 모델]]을 제공한다<ref name="dunajski">{{서적 인용|제목=Solitons, instantons, and twistors|url=https://archive.org/details/solitonsinstanto0000duna|성=Dunajski|이름=Maciej|날짜=2010|출판사=Oxford University Press|위치=Oxford|쪽=[https://archive.org/details/solitonsinstanto0000duna/page/n378 151]-154|isbn=9780198570639}}</ref> 이러한 의미에서 그것은 적분가능계에 대한 '마스터 이론'이며 [[게이지 변환군|게이지 군]] 및 대칭 감소 체계의 선택과 같은 적절한 매개변수를 선택하여 많은 알려진 계를 복구할 수 있다. 다른 마스터 이론은 4차원 천-사이먼스 이론과 아핀 가우딘 모델이다.

=== 천-사이먼스 이론 ===
콤팩트 리만 곡면 <math>\Sigma</math>에 대한 양-밀스 방정식의 모듈라이 공간은 원기둥 <math>\Sigma \times [0,1]</math>에서 [[천-사이먼스 이론|전-사이먼스 이론]]의  대한 [[짜임새 공간]]으로 볼 수 있다. 이 경우 모듈라이 공간은 [[나이절 히친]]과 악셀로드–델라 피에트라–[[에드워드 위튼|위튼]]이 독립적으로 발견한 [[기하학적 양자화]]를 허용한다.<ref>Hitchin, N. J. (1990). Flat connections and geometric quantization. Communications in mathematical physics, 131(2), 347–380.</ref><ref>Axelrod, S., Della Pietra, S., & Witten, E. (1991). Geometric quantization of Chern Simons gauge theory. representations, 34, 39.</ref>

== 같이 보기 ==
* [[코쥘 접속|접속(선형 다발)]]
* [[주접속|접속(주다발)]]
* [[도널드슨 불변량|도날드슨 이론]]
* 허미션 양-밀스 방정식
* 변형된 허미션 양-밀스 방정식
* 양–밀스–힉스 방정식

== 노트 ==
{{각주|group=Note}}

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:미분기하학]]