양자 코호몰로지 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]과 [[심플렉틱 기하학]]에서 '''양자 코호몰로지'''(量子cohomology, {{llang|en|quantum cohomology}})는 [[코호몰로지 환]]의 q-변형이다. 양자 코호몰로지의 곱은 [[그로모프-위튼 불변량]]으로부터 정의된다.

== 정의 ==
<math>M</math>이 콤팩트 [[켈러 다양체]]라고 하자.

=== 노비코프 환 ===
격자 <math>\operatorname H_2(M;\mathbb Z)/\operatorname{Tors}(\operatorname H_2(M;\mathbb Z))</math>의 기저 <math>\{\alpha_i\}_{i=1,\dots,b_2(M)}</math>를 <math>M</math>의 각 2차원 부분 다양체에 대응하게 잡자.

<math>M</math>의 '''노비코프 환'''({{llang|en|Novikov ring}})
:<math>\Lambda=\mathbb Z[q_i,q_i^{-1}]_{i=1,\dots,b_2(M)}</math>
은 다음과 같은 생성원들로 생성되는 정수 계수 가환 [[형식적 멱급수환]]이다.
* 각 <math>i=1,\dots,b_2(M)</math>에 대하여, <math>q_i</math>. 이들의 등급은 <math>\deg q_i=2c_1(M)(q_i)</math>이다.
임의의
:<math>\beta=\sum_ic_i\alpha_i\in\operatorname H_2(M;\mathbb Z)/\operatorname{Tors}(\operatorname H_2(M;\mathbb Z))</math>
에 대하여,
:<math>q_\beta=\prod_iq_i^{c_i}</math>
로 쓰자. <math>q_\alpha</math> 대신 <math>\exp(\alpha)</math>로 쓰기도 한다.

만약 <math>M</math>이 [[칼라비-야우 다양체]]인 경우 <math>c_1(M)=0</math>이므로 노비코프 환의 모든 원소들은 등급이 0이다.

=== 작은 양자 코호몰로지 ===
<math>M</math> 위의 '''작은 양자 코호몰로지'''({{llang|en|small quantum cohomology}}) <math>\operatorname{QH}(M;\Lambda)</math>는 [[아벨 군]]으로서 다음과 같다.
:<math>\operatorname{QH}(M;\Lambda)=\operatorname H(M;\Lambda)\otimes_{\mathbb Z}\Lambda</math>
이 위의 곱
:<math>*\colon\operatorname{QH}(M;\Lambda)\times\operatorname{QH}(M;\Lambda)\to\operatorname{QH}(M;\Lambda)</math>
은 코호몰로지의 [[합곱]] <math>\smile</math>과 다르며, 다음과 같이 [[그로모프-위튼 불변량]]으로 정의된다.
:<math>\int_M(a*b)\smile c =\sum_{\alpha\in\operatorname H_2(M;\mathbb Z)/\operatorname{Tors}(\operatorname H_2(M;\mathbb Z))}\operatorname{GW}_{0, 3}^{M, \alpha}(a, b, c)q_\alpha</math>
이는 [[결합 법칙]] 및 등급 가환 법칙을 만족시키며, 등급을 덧셈법으로 보존한다.
:<math>(a*b)*c=a*(b*c)</math>
:<math>a*b=(-1)^{\deg a\deg b}b*a</math>
:<math>\deg(a*b)=\deg a+\deg b</math>

<math>M</math> 위의 작은 양자 코호몰로지의 짝수 차수 성분 <math>\operatorname{QM}^{2\bullet}(M)</math>에서, 0의 (충분히 작은) [[근방]]
:<math>0\in U\subset\operatorname{QM}^{2\bullet}(M)</math>
은 [[프로베니우스 다양체]]의 구조를 가진다. 이 경우 작은 양자 코호몰로지 곱 <math>*</math>은 <math>U</math>의 [[접다발]] <math>T</math> 위의 접속을 이룬다. 작은 양자 코호몰로지 곱의 [[가환 법칙]]은 [[비틀림 (미분기하학)|비틀림]]이 0임을, [[결합 법칙]]은 [[리만 곡률]]이 0임을 뜻한다.

=== 큰 양자 코호몰로지 ===
임의의 <math>a\in U</math>에 대하여, 다음과 같은 '''큰 양자 코호몰로지 곱'''을 정의하자.
:<math>*_a\colon U\times U\to U</math>
:<math>\langle x*_ay,z\rangle= \sum_{n=0}^\infty \sum_{\alpha\in\operatorname H_2(M;\mathbb Z)/\operatorname{Tors}(\operatorname H_2(M;\mathbb Z))} \frac1{n!}\operatorname{GW}_{0, n + 3}^{X,\alpha}(x, y, z,\overbrace{a, \ldots, a}^n)</math>
그렇다면, <math>(U,*_a)</math>를 '''큰 양자 코호몰로지'''({{llang|en|big quantum cohomology}})라고 한다. 작은 양자 코호몰로지는 종수 0의 그로모프-위튼 불변량 가운데 일부만을 포함하지만, 큰 양자 코호몰로지는 모든 종수 0 그로모프-위튼 불변량을 포함한다.

== 예 ==
[[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^n</math>은 [[푸비니-슈투디 계량]]을 부여하면 콤팩트 [[켈러 다양체]]를 이룬다. 이 경우, (고전적) 코호몰로지는
:<math>\operatorname H^\bullet(\mathbb{CP}^n;\mathbb Z)=\mathbb Z[p]/(p^{n+1})</math>
:<math>\deg p=2</math>
이다.
:<math>\operatorname H_2(\mathbb{CP}^n;\mathbb Z)=\mathbb Z</math>
이므로, 양자 코호몰로지에는 한 개의 추가 생성원 <math>q</math>가 존재하며,
:<math>c_k(\mathbb{CP}^n)=\binom{n+1}kc_1(\mathcal O_{\mathbb CP^n}(1))</math>
이므로
:<math>\deg q=2\binom{n+1}1=2(n+1)</math>
이다. 구체적으로, 작은 양자 코호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H^\bullet(\mathbb{CP}^n;\mathbb Z)=\mathbb Z[p,q]/(p^{n+1}-q)</math>
:<math>\deg p=2</math>
:<math>\deg q=2(n+1)</math>
이다. <math>q\to0</math>이면 양자 코호몰로지가 고전적 코호몰로지로 수렴하는 것을 알 수 있다.

== 응용 ==
양자 코호몰로지는 [[위상 끈 이론]]에서 2차원 <math>\mathcal N=(2,2)</math> [[시그마 모형]]의 A-모형 [[위상 뒤틂]]의 손지기환으로 등장하며, A-모형과 B-모형 사이의 [[거울 대칭]]에 핵심적인 역할을 한다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=지표이론|저자=조용승|출판사=경문사|isbn=978-89-6105-622-9|날짜=2012|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|언어=ko|확인날짜=2015-07-13|보존url=https://web.archive.org/web/20141112075225/http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|보존날짜=2014-11-12|url-status=dead}}
* {{저널 인용|url=http://ckms.kms.or.kr/journal/view.html?multi%5B%5D=4798|저자=조용승|제목=심플렉틱 다양체의 불변량|저널=Communications of the Korean Mathematical Society|권=15|호=3|날짜=2000|쪽=391–434|issn=1225-1763|언어=ko|확인날짜=2015-07-13|보존url=https://web.archive.org/web/20150713090023/http://ckms.kms.or.kr/journal/view.html?multi%5B%5D=4798|보존날짜=2015-07-13|url-status=dead}}
* {{서적 인용|성=McDuff|이름=Dusa|성2=Salamon|이름2=Dietmar|날짜=2012|제목=<math>J</math>-holomorphic curves and symplectic topology|총서=American Mathematical Society colloquium publications|권=52|isbn=978-0-8218-8746-2|판=2|출판사=American Mathematical Society|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=COLL-52-R|언어=en}}
* {{저널 인용 |last1=Fulton |first1=W. |first2=R. |last2=Pandharipande |arxiv=alg-geom/9608011 |title=Notes on stable maps and quantum cohomology |날짜=1996 | 언어=en}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:심플렉틱 위상수학]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:호몰로지 이론]]