양자 논리 문서 원본 보기

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[[논리학]]과 [[양자역학]]에서 '''양자 논리'''(量子論理, {{llang|en|quantum logic}})는 [[양자역학]]의 상태 공간의 대수적인 이론을 [[논리학]]적으로 해석하는 이론이다. 양자 논리는 고전 논리([[불 대수]])와 여러 성질들을 공유하지만, 고전 논리의 [[분배법칙]]이 양자 논리에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

== 전개 ==
양자 논리에서는 [[양자역학]]에서의 상태 공간인 [[힐베르트 공간]]에 대한 대상들을 논리적인 대상으로 해석한다. 우리가 상태 공간이 <math>\mathcal H</math>인 양자역학으로 기술되는 우주에 살고 있다고 하고, 우리 우주의 현재 상태가 <math>|\psi\rangle\in\mathcal H</math>라고 하자. (복소 위상은 임의로 정할 수 있다.) <math>V\subset\mathcal H</math>가 <math>\mathcal H</math>의 닫힌 부분 벡터 공간이라고 할 때, 이에 대한 [[사영 연산자]]
:<math>\pi_V(V)=V</math>
:<math>\pi_V(V^\perp)=\{0\}</math>
를 정의할 수 있다. 사영 연산자 <math>\pi_V</math>는 [[고윳값]]이 0 또는 1인 [[에르미트 연산자]]이며, 따라서 ([[초선택 규칙]]을 무시하면) 관측할 수 있다. 그렇다면, 닫힌 부분공간 <math>V</math>를 "<math>\pi_V</math>를 관측하였을 때, 1을 얻을 것이다."라는 꼴의 명제로 해석할 수 있다.

주요 대응되는 대상은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 힐베르트 공간 !! 논리학
|-
| 닫힌 부분 벡터 공간 <math>V</math> || 명제 <math>\phi</math>
|-
| 힐베르트 공간 전체 <math>\mathcal H</math> || 참 <math>\top</math>
|-
| 0차원 부분공간 <math>\{0\}</math> || 거짓 <math>\bot</math>
|-
| 두 닫힌 부분공간의 합공간 <math>V\oplus V'</math> || 두 명제의 논리합 <math>\phi\lor\phi'</math>
|-
| 두 닫힌 부분공간의 교집합 <math>V\cap V'</math> || 두 명제의 논리곱 <math>\phi\land\phi'</math>
|-
| 닫힌 부분공간의 [[직교 여공간]] <math>V^\perp</math> || 명제의 부정 <math>\lnot\phi</math>
|-
| 두 닫힌 부분집합의 일치 <math>V=V'</math> || 명제의 동치 <math>\phi\iff\phi'</math>
|-
| 두 닫힌 부분집합의 포함 관계 <math>V\subseteq V'</math> || 명제의 함의 <math>\phi\implies\phi'</math>
|-
| 두 닫힌 부분집합의 직교 관계 <math>V\perp V'</math> || 두 명제의 독립성 (고전 논리학에 대응하지 않음)
|}
이 연산들에 대하여, 주어진 힐베르트 공간 <math>\mathcal H</math>의 닫힌 부분공간들은 [[격자 (순서론)|격자]]의 구조를 가지며, 정확히 말하면 직교모듈러격자({{llang|en|orthomodular lattice}})의 구조를 만족시킨다. 이 경우, 논리합(<math>\lor</math>)·논리곱(<math>\land</math>)·부정(<math>\lnot</math>) 연산자들이 양자 논리에서 만족시키는 공리들은 다음과 같다.
* (논리곱의 결합법칙) <math>\phi\land(\phi\land\psi)\iff(\phi\land\phi)\land\psi</math>
* (논리합의 결합법칙) <math>\phi\lor(\phi\lor\psi)\iff(\phi\lor\phi)\lor\psi</math>
* (논리곱의 교환법칙) <math>\phi\land\chi\iff\chi\land\phi</math>
* (논리합의 교환법칙) <math>\phi\lor\chi\iff\chi\lor\phi</math>
* (이중 부정의 상쇄) <math>\lnot\lnot\phi\iff\phi</math>
* ([[배중률]]) <math>\top\iff\phi\lor\lnot\phi</math>
* ([[비모순율]]) <math>\bot\iff\phi\land\lnot\phi</math>
* ([[드 모르간의 법칙]]) <math>\lnot(\phi\land\chi)\iff\lnot\phi\lor\lnot\chi</math>, <math>\lnot(\phi\lor\chi)\iff\lnot\phi\land\lnot\chi</math>
* (논리곱의 흡수법칙) <math>\top\land\phi\iff\phi</math>, <math>\bot\land\phi\iff\bot</math>
* (논리합의 흡수법칙) <math>\top\lor\phi\iff\top</math>, <math>\bot\lor\phi\iff\phi</math>
또한, 다음과 같은 [[추론]]법이 성립한다. 여기서 <math>X\vdash Y</math>는 <math>X</math>로부터 <math>Y</math>를 유추한다는 뜻이다.
* ([[대우 (논리학)|대우]]의 유추) <math>\phi\implies\chi\vdash\lnot\chi\implies\lnot\phi</math>
* (직교모듈러성) <math>\phi\implies\chi\vdash\phi\lor(\lnot\phi\land\chi)\iff\chi</math>
여기서 함의 관계 <math>\phi\implies\chi</math>는 동치 관계를 사용해 <math>\phi\lor\chi\iff\chi</math> 또는 <math>\phi\iff\phi\land\chi</math>로 정의된다.

== 고전 논리와의 비교 ==
고전 논리에서의 명제들은 [[불 대수]]를 이루며, 이는 직교모듈러 격자보다 더 강한 공리들을 만족시킨다. 고전 논리에서 성립하지만, 양자 논리에서 성립하지 않는 주된 공리는 [[분배법칙]]이다. 즉, 고전 논리에서는 다음 두 분배법칙이 성립한다.
* (논리곱의 논리합에 대한 [[분배법칙]]) <math>\phi\lor(\chi\land\psi)=(\phi\lor\chi)\land(\phi\lor\psi)</math>
* (논리합의 논리곱에 대한 [[분배법칙]]) <math>\phi\land(\chi\lor\psi)=(\phi\land\chi)\lor(\phi\land\psi)</math>
그러나 양자 논리에서는 두 분배법칙이 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어,
:<math>\phi=\operatorname{Span}\{|1\rangle\}</math>
:<math>\chi=\operatorname{Span}\{|1\rangle+|2\rangle\}</math>
:<math>\psi=\operatorname{Span}\{|1\rangle-|2\rangle\}</math>
일 때,
:<math>\phi\land(\chi\lor\psi)=\phi\neq(\phi\land\chi)\lor(\phi\land\psi)=\bot</math>
:<math>\phi\lor(\chi\land\psi)=\phi\ne(\phi\lor\chi)\land(\phi\lor\psi)=\top</math>
이다.

다만, 서로 독립되는 명제들(대응되는 부분집합들이 모두 서로 직교 관계에 있는 경우)의 경우에는 분배법칙을 비롯한 고전 논리 전부가 성립한다.

== 예 ==
양자 논리를 사용하여, [[스핀]]과 같은 양자역학적 현상들을 논리학적으로 서술할 수 있다. 스핀이 ½인 [[페르미온]]은 임의의 방향의 스핀 성분을 측정할 때, 항상 <math>+\hbar/2</math> 또는 <math>-\hbar/2</math>를 얻는다. 이 입자의 힐베르트 공간은
:<math>\mathcal H=\mathbb C^2=\operatorname{Span}\{|1\rangle,|2\rangle\}</math>
이다. 이에 대하여, 다음과 같은 명제들을 정의하자. (이들은 [[파울리 행렬]]의 고유벡터들이다.)
* <math>\sigma_x</math>: 스핀의 ''x''성분이 <math>+\hbar/2</math>이다. 이 명제는 <math>\operatorname{Span}\{|1\rangle+|2\rangle\}</math>에 대응한다.
* <math>\sigma_y</math>: 스핀의 ''y''성분이 <math>+\hbar/2</math>이다. 이 명제는 <math>\operatorname{Span}\{|1\rangle+i|2\rangle\}</math>에 대응한다.
* <math>\sigma_z</math>: 스핀의 ''z''성분이 <math>+\hbar/2</math>이다. 이 명제는 <math>\operatorname{Span}\{|1\rangle\}</math>에 대응한다.

이들로부터 다음을 유추할 수 있다. <math>\phi,\chi\in\{\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z,\lnot\sigma_x,\lnot\sigma_y,\lnot\sigma_z\}</math>이며 <math>\phi\ne\chi</math> 및 <math>\phi\ne\lnot\chi</math>라고 하자.
* <math>\vdash\top\iff\phi\lor\chi</math>. 즉, 이 6개 명제들 가운데, 서로 다른 방향에 대한 두 명제를 고르면, 그 둘의 논리합은 항상 참이다.
* <math>\vdash\bot\iff\phi\land\chi</math>. 즉, 이 6개 명제들 가운데, 서로 다른 방향에 대한 두 명제를 고르면, 그 둘의 논리곱은 항상 거짓이다.
* <math>\nvdash\phi\implies\chi</math>. 즉, 서로 다른 방향에 대한 두 명제는 서로를 함의하지 않는다.
물론, 이는 고전 논리에서는 불가능하다.

== 역사 ==
[[개릿 버코프]]와 [[존 폰 노이만]]이 1936년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Garrett|성=Birkhoff|공저자=[[존 폰 노이만|J. von Neumann]]|제목=The logic of quantum mechanics|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1936-10_37_4/page/n77|날짜=1936|jstor=1968621|doi=10.2307/1968621|저널=Annals of Mathematics|권=37|호=4|쪽=823–843|언어=en}}</ref> 이후 [[힐러리 퍼트넘]]은 1969년 논문 〈논리학은 경험적인가?〉({{llang|en|Is logic empirical?}})에서 고전 논리를 대신 양자 논리로 대체하여야 한다고 주장하였다.<ref>{{서적 인용|저자링크=힐러리 퍼트넘|이름=H.|성=Putnam|장=Is logic empirical?|제목=Proceedings of the Boston colloquium for the philosophy of science 1966/1968|쪽=216–241|총서=Boston Studies in the Philosophy of Science|issn=0068-0346|권=5|날짜=1969|doi=10.1007/978-94-010-3381-7_5|isbn=978-94-010-3383-1|출판사=Springer|언어=en}} 재출판 {{서적 인용|저자링크=힐러리 퍼트넘|이름=H.|성=Putnam|장=The logic of quantum mechanics|제목=Mathematics, matter and method|판=2판|날짜=1979|쪽=174-197|장url=http://www.socsci.uci.edu/~dmalamen/courses/prob-determ/Putnam.pdf|doi=10.1017/CBO9780511625268.012|isbn=978-052122553-3|출판사=Cambridge University Press|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[퍼지 논리]]
* [[선형 논리]]
* [[양자역학의 수학 공식화]]
* [[양자 베이즈주의]]
* [[양자장론]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=S.|성=Auyang|제목=How is quantum field theory possible?|url=https://archive.org/details/howisquantumfiel0000auya|출판사=Oxford University Press|날짜=1995|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=F.|성=Bayen|공저자=M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer|제목=Deformation theory and quantization I|저널=Annals of Physics|권=111|날짜=1978|쪽=61-110|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=F.|성=Bayen|공저자=M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer|제목=Deformation theory and quantization II|저널=Annals of Physics|권=111|날짜=1978|쪽=111-151|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=D.|성=Cohen|제목=An Introduction to Hilbert Space and Quantum Logic|출판사=Springer|날짜=1989|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=D.|성=Finkelstein|제목=Matter, space and logic|총서=Boston Studies in the Philosophy of Science|권=5|날짜=1969|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=A.|성=Gleason|제목=Measures on the closed subspaces of a Hilbert space|저널=Journal of Mathematics and Mechanics|날짜=1957|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=R.|성=Kadison|제목=Isometries of operator algebras|저널=Annals of Mathematics|권=54|쪽=325-338|날짜=1951|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=G.|성= Ludwig|제목=Foundations of quantum mechanics|출판사=Springer|날짜=1983|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=G.|성= Mackey|제목=Mathematical foundations of quantum mechanics|url=https://archive.org/details/mathematicalfoun0000mack|출판사=W. A. Benjamin|날짜=1963|언어=en}}
*{{서적 인용|이름= J.|성= von Neumann|제목=Mathematical foundations of quantum mechanics|url= https://archive.org/details/mathematicalfoun0000vonn|출판사= Princeton University Press|날짜=1955|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=R.|성= Omnès|제목=Understanding quantum mechanics|출판사= Princeton University Press|날짜=1999|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=N.|성=Papanikolaou|제목=Reasoning formally about quantum systems: An Overview|저널=ACM SIGACT News|권=36|호=3|쪽=51–66|날짜=2005|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=C.|성=Piron|제목=Foundations of quantum physics|출판사=W. A. Benjamin|날짜=1976|언어=en}}
* {{서적 인용|저자링크=헤르만 바일|이름=H.|성=Weyl|제목=The theory of groups and quantum mechanics|url=https://archive.org/details/theoryofgroupsqu0000weyl|출판사=Dover Publications|날짜=1950|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/qt-quantlog/|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|제목= Quantum Logic and Probability Theory|성=Wilce|이름=Alexander|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ziegler/qlogic.html|제목=Quantum logic: order structures in quantum mechanics|이름=Martin|성=Ziegler|언어=en|확인날짜=2014-10-20|보존url=https://web.archive.org/web/20150708020947/http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ziegler/qlogic.html|보존날짜=2015-07-08|url-status=dead}}

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