양자역학의 수학 공식화 문서 원본 보기

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'''양자역학의 수학적 공식화'''({{llang|en|Mathematical formulation of quantum mechanics}})는 [[양자역학]]에 등장하는 개념들과 공식을 수학적으로 엄밀하게 서술하는 것이다. [[C* 대수]] 이론, [[스튀름-리우빌 이론]] 등이 쓰일 수 있지만, 보통은 [[힐베르트 공간]]중 하나인 [[L2 공간]]에 작용하는 [[선형 연산자]]를 통해 기술한다. 이는 [[존 폰 노이만]]이 1930년대에 완성한 것으로,<ref>{{서적 인용|성=von Neumann|이름=John|저자링크=존 폰 노이만|제목={{lang|de|Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik}}|연도=1932|위치=[[베를린|Berlin]]|출판사=Springer-Verlag}}</ref> 20세기 이전에 개발된 물리학의 수학적 모형들과는 큰 차이를 보인다. 

여기에 나타나는 구조들 중 상당수는 [[함수해석학]]에서 나온 것이다. [[에너지]]와 [[운동량]] 등의 물리적 관측량은 더 이상 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]상의 [[함수]]의 값이 아닌 선형 연산자의 [[고윳값]]으로 다루어진다.

== 전개 ==
편의상 [[브라-켓 표기법]]과 [[슈뢰딩거 묘사]]를 쓰자. [[양자역학]]의 공준은 다음과 같다.

# [[계 (물리학)|계]]의 상태는 분해가능 복소 [[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>의 1차원 부분공간 <math>V\subset\mathcal H</math>으로 나타낸다. 이 부분공간은 힐베르트 공간의 단위벡터 <math>|\psi\rangle\in V</math>(정확하게 말하면, 단위벡터의 위상을 무시한 [[동치류]])로 나타낼 수 있는데, 이를 계의 '''상태 벡터'''({{lang|en|state vector}})라고 한다. 좀 더 일반적으로, 일련의 계의 [[앙상블 (물리학)|앙상블]]은 [[정치행렬|양준정치]]이고, [[대각합류 작용소]]이며, 대각합이 1인 에르미트 연산자 <math>\rho</math>로 나타낸다. 이 연산자를 [[밀도 행렬|밀도 연산자]]라고 부른다.
# 관측가능량은 그 [[힐베르트 공간]]의 자기수반({{lang|en|self-adjoint}}) 선형 연산자 <math>A\colon\operatorname{dom}(A)\to\operatorname{dom}(A)</math>로 나타낸다. 여기서 <math>\operatorname{dom}(A)</math> (<math>A</math>의 [[정의역]])는 힐베르트 공간 <math>\mathcal H</math>의 [[조밀집합|조밀]] 선형 부분공간이다.
# 계 <math>|\psi\rangle</math>와 관측가능량 <math>A</math>가 주어지면, 그 [[기댓값]]은 <math>\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle</math>이다. 대신 밀도 연산자 <math>\rho</math>로는 <math>\langle A\rangle=\operatorname{Tr}(\rho A)</math>이다.
# 계의 시간 변화를 나타내는 특별한 관측가능량 <math>H</math>가 있다. 이를 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]이라고 부른다. 상태 벡터의 시간 변화는 다음과 같다.
:<math>i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = H(t)|\psi(t)\rangle</math>
여기서 <math>\hbar</math>는 [[플랑크 상수]]다. 이를 [[슈뢰딩거 방정식]]이라고 부른다. 대신 밀도 연산자 <math>\rho</math>를 쓰면, 그 시간 변화는 다음과 같다.
:<math>i\hbar \frac{d}{dt}\rho(t)=[H(t),\rho(t)]</math>

이 수학적 틀에서 [[베르너 하이젠베르크]]의 [[불확정성 원리]]는 비가환 연산자에 대한 정리가 된다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=Gerald|성=Teschl|제목=Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators|위치=[[프로비던스|Providence, Rhode Island]]|출판사=American Mathematical Society|기타=Graduate Studies in Mathematics vol. 99|연도=2009|isbn=978-0-8218-4660-5|url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/}}

[[분류:양자역학]]
[[분류:수리물리학]]