양자수 문서 원본 보기

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[[파일:Atomic orbitals n123 m-eigenstates.png|thumb]]
'''양자수'''(量子數, quantum number)는 [[양자계]]를 묘사하기 위해 쓰이는 [[수 (수학)|수]]다. 양자화되어, 대개 [[정수]]거나 [[반정수]](half-integer)다. 많은 경우 [[원자]] 안에서의 [[전자]]의 [[에너지]] 등을 묘사하며, 그 외에도 [[각운동량]]이나 [[스핀 (물리학)|스핀]] 등에 대한 정보를 담기도 한다.

== 네 가지 양자수 ==
[[전자]]를 완전히 설명할 수 있는 [[양자수]]에는 총 네 가지가 있다.
* [[주 양자수]]({{lang|en|principal quantum number}})
* [[방위 양자수]]({{lang|en|azimuthal quantum number}})
* [[자기 양자수]]({{lang|en|magnetic quantum number}})
* [[자기 스핀 양자수]]({{lang|en|magnetic spin quantum number}})

파울리의 배타원리에 따르면 4개의 양자수로 결정되는 하나의 양자적 상태에는 단 하나의 전자만 들어갈 수 있다. 이것은 일반적으로 반정수 스핀의 페르미온(전자 등)에는 적합하지만, 정수 스핀의 보존입자(광자 등)에는 적합하지가 않다.

== 원자 안의 홑전자 ==
원자 안의 홑전자({{lang|en|single electron}})를 묘사하는 양자수는 [[주기율표]]와 [[원자가]] 등의 [[화학]]적 현상의 뒤에 숨은 원인일 뿐만 아니라 기초 [[양자역학]]의 연습 문제로서도 난이도가 적절하여 많은 교재에 나타난다.

[[상대성 이론|비상대론]]적 양자역학에서 이 [[계 (물리학)|계]]의 [[해밀토니언]]은 전자의 [[운동 에너지]] 및 [[원자핵]]과의 사이에 작용하는 [[쿨롱 법칙|정전기력]]으로 인한 [[위치 에너지]]로 이루어져 있다. 운동 에너지는 [[원자핵]]을 중심으로 하는 회전에 의한 [[각운동량]] '''J'''와 나머지로 나눌 수 있다. 여기에서 위치 에너지는 구면 대칭을 이루므로 전체 [[해밀토니언]]은 '''J<sup>2</sup>'''와 교환하며, '''J<sup>2</sup>'''는 [[각운동량]] 벡터의 임의의 성분(이를 보통 '''J<sub>z</sub>'''로 쓴다)와 교환한다.

=== 설명 ===
<ol>
<li>[[주 양자수]]({{lang|en|principal quantum number}})(<math>n</math>)는 원자의 전자껍질 또는 원자가 가지는 에너지준위를 나타낸다. 일반적으로 주양자수는 n으로 나타내어지는데 이때 n의 값은 1부터 k까지의 자연수이며, k번째 전자껍질에는 원자에 속박되어 있는 전자 중에서 원자핵으로부터의 거리가 가장 긴 전자가 존재한다. '''H'''에서 '''J<sup>2</sup>''' 부분을 제거한 나머지의 고유값이다. 따라서 이는 전자와 원자핵 사이의 거리에만 의존한다. n이 커짐에 따라 평균 거리도 멀어지며, 이를 두고 서로 주양자수가 다른 양자상태들은 다른 껍질에 속한다고 말한다. 즉, [[주 양자수]]는 원자의 [[전자껍질]]이나 에너지 준위를 나타낸다. <math>n</math>의 값은 1부터 그 [[전자]]의 주기, 즉, 그 [[전자]]의 껍질 개수까지의 범위를 갖게된다.<ref name=":0">Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, {{ISBN|0-07-100144-1}}</ref>

:<big><math>n = 1, 2, ...</math></big> .

예를 들어, [[세슘]](Cs)원자의 가장 외곽에 존재하는 원자가전자는 6번째 에너지 준위를 가지는 전자껍질에 존재한다. 따라서 세슘원자의 전자가 가질 수 있는 n값 즉, 주양자수는 1에서 6까지의 자연수이다. 그러므로 주양자수는 전자와 원자핵 사이의 거리 (즉 극좌표계상의 r)에 의해서만 변화한다. 평균거리는 <math>n</math>과 함께 증가하며, 따라서 서로 다른 주양자수를 가지는 양자상태는 서로 다른 전자껍질에 속한다고 생각된다.

주양자수는 양자수n(n=1,2,3,…)로 전자의 에너지를 결정한다. 양자수가 n인 궤도함수의 전자는 <math> E_n = - \frac{Z^2 \mu e^4}{32 \pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2 n^2}</math>의 에너지를 가진다. 주양자수 n은 l의 최대치를 제한한다. 주양자수가 동일한 궤도함수들은 원자의 한 껍질을 이룬다고 말한다. 주양자수가 n인 껍질 속에는 n^2개의 궤도함수가 들어 있다. n이 무한대가 되면 사다리의 꼭대기에 도달하고, E=0으로 핵에서 떨어져 나가는데, 이 과정을 이온화라고 한다.

<li>[[방위 양자수]]({{lang|en|azimuthal quantum number}})(<math>l</math>)은 '''각 양자수''' 또는 '''궤도 양자수'''라고도 알려져 있는데, 이는 오비탈의 [[각운동량]]을
:<big><math>L^2 = \hbar^2 l(l+1)</math></big> .
의 관계로 묘사한다. 화학과 분광학에서, “<math>l=0</math>”은 s 오비탈이라 불리며, “<math>l=1</math>”은 p 오비탈, “<math>l=2</math>”는 d 오비탈, “<math>l=3</math>”은 f 오비탈이라고 불린다. <math>l</math>은 0부터 n-1까지 가질 수 있는데, 왜냐면 첫 번째 p 오비탈(<math>l=1</math>)이 두 번째 전자껍질(<math>n=2</math>)에서 나오며, 첫 번째 d 오비탈이 세 전째 전자껍질(<math>n=3</math>)에서 나오고, 그런 식으로 뒤에도 반복되기 때문이다.
:<big><math>l = 0, 1, 2,..., n-1</math></big>

0…으로 시작하는 양자수는 원자의 세 번째 전자껍질에 있는 s 오비탈 속의 전자를 묘사하는 것이다. 화학에서 방위 양자수는 매우 중요한데, 이는 원자 오비탈의 모양을 결정하고 또한 화학 결합이나 결합 각에 굉장히 많은 영향을 주기 때문이다.
<li>[[자기 양자수]]({{lang|en|magnetic quantum number}})는 전자 구름이 좌표계에서 어떤 방향으로 위치해있는지 알려주는 양자수로, 방위양자수 <math>l</math>에 대해 자기양자수 <math>m_l</math>의 개수는 <math>(2l + 1)</math>개가 되는 관계가 성립한다, 즉 <math>m_l = -l, -l+1, ... , l-1, l</math>의 값이 존재하게 된다.
s오비탈의 경우 어느 방향에서 보든 완전대칭이기 때문에 자기양자수는 0밖에 없는 반면, p, d, f 등의 오비탈은 자기양자수가 여러 개이기 때문에 공간상에서 다양한 형태로 분포해있는 오비탈을 발견할 수 있다. 보통은 공간상에서 방향이 서로 달라도 같은 방위 양자수를 가지는 오비탈들은 에너지 준위가 같지만, 주위에 강한 전기장이나 자기장이 존재하게 될 경우 방향에 따라 오비탈의 에너지 준위가 달라지게 된다.

<li>[[자기 스핀 양자수]]({{lang|en|magnetic spin quantum number}})는 주어진 입자의 각 운동량을 나타내는 양자수이며 s자로 표기된다. 양자화된 각운동량으로서 스핀양자수는 다음의 식을 포함한다.
:<big><math> ||S|| = \sqrt {s(s+1)} \hbar </math><br></big>

여기서 S 양자화된 스핀벡터, <math>||S||</math>는 스핀 벡터의 [[노름]], s는 스핀양자수를 의미한다. 임의의 z축 방향에 대해스핀의 z축 사영(<math>s_z</math>)은 다음의 식으로 표현된다.
:<big><math> s_z = m_s \hbar </math></big>

여기서 <math>m_s</math>는 부차적인 스핀양자수이다. 이는 -s부터 s에 걸쳐 1씩 차이가 나는 2s + 1 개의 다른 값을 만들어 낸다.
s의 허용되는 값들은 음이 아닌 정수나 반정수이다. [[페르미온]](Fermion)은 반정수 값을 가지며 [[보존]](Boson)은 정수 값을 가진다.
[[파울리 배타 원리]]에 따르면, 한 오비탈에 양자수가 같은 전자가 존재할 수 없고 서로 반대방향을 가리키게 되는데, 이를 + 혹은 -1/2로 나타낸다.
</ol>

== 총 각운동량 양자수 ==
=== 입자의 총 운동량 ===
[[스핀-궤도 상호작용]]을 고려할 때, L과 S연산자는 더 이상 해밀토니안 오퍼레이터와 교환법칙이 성립하지 않는다. 그리고 그 고유값은 시간에 따라 변화하기 때문에 다른 양자수 체계를 사용해야한다. 이 양자수들은 다음과 같다.<ref>Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISTRY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, {{ISBN|0-19-855129-0}}</ref><ref>Molecular Quantum Mechanics Part III: An Introduction to QUANTUM CHEMISTRY (Volume 2), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977</ref>

<ol>
<li> 총 각운동량 양자수:
:<big>''j'' = |''L'' ± ''s''|</big>
이 식을 통해 총 각운동량을 다음 관계식으로 표현할 수 있다.
:<big>{{nowrap|''J''<sup>2</sup> {{=}} ''ħ''<sup>2</sup> ''j'' (''j'' + 1)}}</big>.</li>

<li> 일정 축에서의 총 각운동량 투영(내적):
:<big>''m<sub>j</sub>'' = −''j'', −''j'' + 1, −''j'' + 2,...,''j'' − 2, ''j'' − 1, ''j''</big>
위와 유사하게,
:<big>''m<sub>j</sub>'' = ''m<sub>L</sub>'' + ''m<sub>s</sub>''</big> and <big>|''m<sub>L</sub>'' + ''m<sub>s</sub>''| ≤ ''j''</big>
를 만족한다.</li>

<li> 반전성:
이것은 반사(점대칭 변환, 좌표 반전)에 대한 고윳값으로, ℓ 이 짝수 일　때 +1이고 ℓ 이 홀수 일 때 -1이다. 다시 말해 좌표 반전시 부호가 바뀌지 않을 경우 짝수의 반전성, 부호가 바뀔 경우에 홀수의 반전성이라고 한다.<ref>https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=786157&cid=2909&categoryId=2909</ref>
반전성은 다음과 같이 주어진다.
:<big>''P'' = (−1)<sup>''L''</sup></big>.</li>
</ol>

예를 들어, 다음의 양자수들에 의한 8가지 상태를 생각해보면

:{| style="border:1px;" cellspacing=0 cellpadding=3 border=1px
! style="border:0px;" |
! ''n''
! ''L''
! ''m<sub>L</sub>''
! ''m<sub>s</sub>''
| rowspan=9 style="border:0px;" |
! ''L'' + ''s''
! ''L'' - ''s''
! ''m<sub>l</sub>'' + ''m<sub>s</sub>''
<!--                             N     L      ML      MS     L+S     L-S        ML+MS                          -->
|-align=right
| style="border:0px;" | #1. || 2 || 1 || 1 || +1/2 || 3/2 || <s>1/2</s> || 3/2
|-align=right
| style="border:0px;" | #2. || 2 || 1 || 1 || -1/2 || 3/2 || 1/2 || 1/2
|-align=right
| style="border:0px;" | #3. || 2 || 1 || 0 || +1/2 || 3/2 || 1/2 || 1/2
|-align=right
| style="border:0px;" | #4. || 2 || 1 || 0 || -1/2 || 3/2 || 1/2 || -1/2
|-align=right
| style="border:0px;" | #5. || 2 || 1 || -1 || +1/2 || 3/2 || 1/2 || -1/2
|-align=right
| style="border:0px;" | #6. || 2 || 1 || -1 || -1/2 || 3/2 || <s>1/2</s> || -3/2
|-align=right
| style="border:0px;" | #7. || 2 || 0 || 0 || +1/2 || 1/2 || -1/2 || 1/2
|-align=right
| style="border:0px;" | #8. || 2 || 0 || 0 || -1/2 || 1/2 || -1/2 || -1/2
|}

계에서의 양자 상태는 이 여덟 가지 상태의 선형결합으로 나타낼 원자 안의 홑전자({{lang|en|single electron}})를 묘사하는 양자수는 [[주기율표]]와 [[원자가]] 등의 [[화학]]적 현상의 뒤에 숨은 원인일 뿐만 아니라 기초 [[양자역학]]의 연습 문제로서도 난이도가 적절하여 많은 교재에 나타난다.

[[상대성 이론|비상대론]]적 양자역학에서 이 [[계 (물리학)|계]]의 [[해밀토니언]]은 전자의 [[운동 에너지]] 및 [[원자핵]]과의 사이에 작용하는 [[쿨롱 법칙|정전기력]]으로 인한 [[위치 에너지]]로 이루어져 있다. 운동 에너지는 [[원자핵]]을 중심으로 하는 회전에 의한 [[각운동량]] '''J'''와 나머지로 나눌 수 있다. 여기에서 위치 에너지는 구면 대칭을 이루므로 전체 [[해밀토니언]]은 '''J<sup>2</sup>'''와 교환하며, '''J<sup>2</sup>'''는 [[각운동량]] 벡터의 임의의 성분(이를 보통 '''J<sub>z</sub>'''로 쓴다)와 교환한다.

=== 설명 ===
<ol>
<li>[[주 양자수]]({{lang|en|principal quantum number}})(<math>n</math>)는 원자의 전자껍질 또는 원자가 가지는 에너지준위를 나타낸다. 일반적으로 주양자수는 n으로 나타내어지는데 이때 n의 값은 1부터 k까지의 자연수이며, k번째 전자껍질에는 원자에 속박되어 있는 전자 중에서 원자핵으로부터의 거리가 가장 긴 전자가 존재한다. '''H'''에서 '''J<sup>2</sup>''' 부분을 제거한 나머지의 고윳값이다. 따라서 이는 전자와 원자핵 사이의 거리에만 의존한다. n이 커짐에 따라 평균 거리도 멀어지며, 이를 두고 서로 주양자수가 다른 양자상태들은 다른 껍질에 속한다고 말한다. 즉, [[주 양자수]]는 원자의 [[전자껍질]]이나 에너지 준위를 나타낸다. <math>n</math>의 값은 1부터 그 [[전자]]의 주기, 즉, 그 [[전자]]의 껍질 개수까지의 범위를 갖게된다.<ref name=":0" />

:<big><math>n = 1, 2, ...</math></big> .

예를 들어, [[세슘]](Cs)원자의 가장 외곽에 존재하는 원자가전자는 6번째 에너지 준위를 가지는 전자껍질에 존재한다. 따라서 세슘원자의 전자가 가질 수 있는 n값 즉, 주양자수는 1에서 6까지의 자연수이다. 그러므로 주양자수는 전자와 원자핵 사이의 거리 (즉 극좌표계상의 r)에 의해서만 변화한다. 평균거리는 <math>n</math>과 함께 증가하며, 따라서 서로 다른 주양자수를 가지는 양자상태는 서로 다른 전자껍질에 속한다고 생각된다.

주양자수는 양자수n(n=1,2,3,…)로 전자의 에너지를 결정한다. 양자수가 n인 궤도함수의 전자는 <math> E_n = - \frac{Z^2 \mu e^4}{32 \pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2 n^2}</math>의 에너지를 가진다. 주양자수 n은 l의 최대치를 제한한다. 주양자수가 동일한 궤도함수들은 원자의 한 껍질을 이룬다고 말한다. 주양자수가 n인 껍질 속에는 n^2개의 궤도함수가 들어 있다. n이 무한대가 되면 사다리의 꼭대기에 도달하고, E=0으로 핵에서 떨어져 나가는데, 이 과정을 이온화라고 한다.


<li>[[방위 양자수]]({{lang|en|azimuthal quantum number}})(<math>l</math>)은 '''각 양자수''' 또는 '''궤도 양자수'''라고도 알려져 있는데, 이는 오비탈의 [[각운동량]]을
:<big><math>L^2 = \hbar^2 l(l+1)</math></big> .
의 관계로 묘사한다. 화학과 분광학에서, “<math>l=0</math>”은 s 오비탈이라 불리며, “<math>l=1</math>”은 p 오비탈, “<math>l=2</math>”는 d 오비탈, “<math>l=3</math>”은 f 오비탈이라고 불린다. <math>l</math>은 0부터 n-1까지 가질 수 있는데, 왜냐면 첫 번째 p 오비탈(<math>l=1</math>)이 두 번째 전자껍질(<math>n=2</math>)에서 나오며, 첫 번째 d 오비탈이 세 번째 전자껍질(<math>n=3</math>)에서 나오고, 그런 식으로 뒤에도 반복되기 때문이다.

:<big><math>l = 0, 1, 2,..., n-1</math></big> .</ol>수 있다.
하지만, 스핀-궤도 상호작용이 있을 때, 같은 계를 같은 계를 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]의 고유벡터로 여덟 가지 상태(다시 말하자면, 각각은 시간에 따라서 다른 것들과 서로 섞이지 않는 하나의 상태를 나타낸다.)를 기술하려면, 우리는 다음의 여덟 가지 상태를 고려해야한다.

:{|
| ''j'' = 3/2, || ''m<sub>j</sub>'' = || align=right | 3/2, || align=right | odd parity || (coming from state (1) above)
|-
| ''j'' = 3/2, || ''m<sub>j</sub>'' = || align=right | 1/2, || align=right | odd parity || (coming from states (2) and (3) above)
|-
| ''j'' = 3/2, || ''m<sub>j</sub>'' = || align=right | -1/2, || align=right | odd parity || (coming from states (4) and (5) above)
|-
| ''j'' = 3/2, || ''m<sub>j</sub>'' = || align=right | -3/2, || align=right | odd parity || (coming from state (6) above)
|-
| ''j'' = 1/2, || ''m<sub>j</sub>'' = || align=right | 1/2, || align=right | odd parity || (coming from states (2) and (3) above)
|-
| ''j'' = 1/2, || ''m<sub>j</sub>'' = || align=right | -1/2, || align=right | odd parity || (coming from states (4) and (5) above)
|-
| ''j'' = 1/2, || ''m<sub>j</sub>'' = || align=right | 1/2, || align=right | even parity || (coming from state (7) above)
|-
| ''j'' = 1/2, || ''m<sub>j</sub>'' = || align=right | -1/2, || align=right | even parity || (coming from state (8) above)
|}

=== 핵의 각운동량 양자수 ===
원자핵에서, 양성자와 중성자 전체는 주로 I로 표시하는 각각의 핵자들의 각운동량에 의해서 합성 각운동량을 갖는다. 만약 중성자의 총 각운동량이 ''j<sub>n</sub>'' = L + ''s''이고 양성자의 총 각운동량이 ''j<sub>p</sub>'' = L + ''s''(중성자와 양성자의 s가 다시 1/2이 되는 경우)이면 핵의 각운동량 양자수(I)는 다음과 같이 주어진다.

:<big>''I'' = |''j<sub>n</sub>'' − ''j<sub>p</sub>''|, |''j<sub>n</sub>'' − ''j<sub>p</sub>''| + 1, |''j<sub>n</sub>'' − ''j<sub>p</sub>''| + 2,..., (''j<sub>n</sub>'' + ''j<sub>p</sub>'') − 2, (''j<sub>n</sub>'' + ''j<sub>p</sub>'') − 1, (''j<sub>n</sub>'' + ''j<sub>p</sub>'') </big>

핵의 각운동량 양자수와 반전성은 핵의 각운동량 상태를 나타내기 위해 쓰인다. 예를 들어 수소(H)와 탄소(C), 나트륨(Na)의 동위원소는 다음과 같이 나타낼 수 있다.<ref name="autogenerated2">Introductory Nuclear Physics, K.S. Krane, 1988, John Wiley & Sons Inc, {{ISBN|978-0-471-80553-3}}</ref>

:{|
| H<sub>1</sub><sup>1</sup> || ''I'' = (1/2)<sup>+</sup>|| &nbsp; || C<sub>6</sub><sup>9</sup> || ''I'' = (3/2)<sup>−</sup> || &nbsp; || Na<sub>11</sub><sup>20</sup> || ''I'' = 2<sup>+</sup>
|-
| H<sub>1</sub><sup>2</sup> || ''I'' = 1<sup>+</sup>|| &nbsp; || C<sub>6</sub><sup>10</sup> || ''I'' = 0<sup>+</sup>|| &nbsp; || Na<sub>11</sub><sup>21</sup> || ''I'' = (3/2)<sup>+</sup>
|-
| H<sub>1</sub><sup>3</sup> || ''I'' = (1/2)<sup>+</sup>|| &nbsp; || C<sub>6</sub><sup>11</sup> || ''I'' = (3/2)<sup>−</sup>|| &nbsp; || Na<sub>11</sub><sup>22</sup> || ''I'' = 3<sup>+</sup>
|-
| || || &nbsp; || C<sub>6</sub><sup>12</sup> || ''I'' = 0<sup>+</sup>|| &nbsp; || Na<sub>11</sub><sup>23</sup> || ''I'' = (3/2)<sup>+</sup>
|-
| || || &nbsp; || C<sub>6</sub><sup>13</sup> || ''I'' = (1/2)<sup>−</sup>|| &nbsp; || Na<sub>11</sub><sup>24</sup> || ''I'' = 4<sup>+</sup>
|-
| || || &nbsp; || C<sub>6</sub><sup>14</sup> || ''I'' = 0<sup>+</sup>|| &nbsp; || Na<sub>11</sub><sup>25</sup> || ''I'' = (5/2)<sup>+</sup>
|-
| || || &nbsp; || C<sub>6</sub><sup>15</sup> || ''I'' = (1/2)<sup>+</sup>|| &nbsp; || Na<sub>11</sub><sup>26</sup> || ''I'' = 3<sup>+</sup>
|-
|}

하나만의 핵자에서도 핵의 각운동량 양자수 I에서 유별난 요동이 일어나는 이유는 양성자와 중성자가 짝수를 이루거나 홀수를 이루기 때문인데, 핵자가 서로 짝을 이루는 경우 총 각운동량이 0(오비탈의 전자쌍의 총 각운동량이 0이듯)이 되며, 이때 홀수 개 또는 짝수 개의 짝을 이루지 않은 핵자가 남는다.

핵스핀의 특성은 외부자기장과 상호작용하는 핵자기 모멘트 때문에 유기화학의 핵자기 공명 분광학과 핵의학의 MRI에서 중요한 요소로써 쓰인다.

== 기본 입자 ==
[[기본 입자]]는 일반적으로 그들의 고유 특징이라 생각되는 양자수를 가진다. 하지만 기본 입자는 입자 물리학의 표준모형의 양자 상태이고, 따라서 보어 원자의 양자수와 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]] 사이와 같은 관계를, 기본 입자의 양자수와 이 모델의 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]이 가진다. 이는 다른 말로, 각각의 양자수는 이 문제의 대칭성을 보여준다는 것이다. 시공간과 내부대칭을 구별하는 것은 [[양자장론]]이 더 유용하다.

== 같이 보기 ==
* [[전자 배열]]

== 출처 ==
<references/>

{{전거 통제}}

[[분류:양자역학]]
[[분류:물리학 개념]]
[[분류:양자 측정]]