양의 정부호 함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서, '''양의 정부호 함수'''({{llang|en|positive-definite function}})는 음이 아닌 함수의 [[푸리에 변환]]으로 볼 수 있는 복소함수이다.

== 정의 ==
[[국소 콤팩트]] [[아벨 군|아벨]] [[위상군]] <math>(G,+)</math> 위의 함수 <math>f\colon G\to\mathbb C</math>가 다음 성질을 만족시킨다면, <math>f</math>를 '''양의 정부호 함수'''라고 한다.
* (켤레 짝함수성) 모든 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>f(-g)=\overline{f(g)}</math>
* (준정부호성) 모든 유한 부분집합 <math>\{g_1,\dots,g_n\}\subset G</math>에 대하여, <math>n\times n</math> [[에르미트 행렬]] <math>M_{ij}=f(g_i-g_j)</math>가 [[정부호행렬|양의 준정부호 행렬]]이다.

== 성질 ==
'''보흐너 정리'''({{llang|en|Bochner’s theorem}})에 따라서, <math>G</math> 위의 양의 정부호 함수의 [[푸리에 변환]]은 그 [[폰트랴긴 쌍대성|폰트랴긴 쌍대군]] <math>\hat G</math> 위의 양의 유한 [[보렐 측도]]를 이루며, 그 역 또한 성립한다.

양의 정부호 함수 <math>f,g</math>에 대하여,
* <math>a,b\in[0,\infty)</math>에 대하여, <math>af+bg</math>는 양의 정부호이다. 즉, 양의 정부호 함수들은 음이 아닌 계수의 [[선형결합]]에 대하여 닫혀 있다. 즉, 이들은 뿔(cone)을 이룬다.
* <math>fg</math>는 양의 정부호이다.
* <math>\overline{f}</math>는 양의 정부호이다.

모든 양의 정부호 함수 <math>f</math>에 대하여, 다음이 성립한다. (이는 양의 정부호 함수의 정의에서, <math>n=1,2</math>인 경우에서 유래한다.)
* <math>f(0)\ge0</math>
* 모든 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>|f(x)|\le f(0)</math>

== 예 ==
양의 정부호 함수의 대표적인 예는 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위의 가우스 핵
:<math>\exp(-|x|^2/2\sigma)</math>
이다. 가우스 핵의 푸리에 변환은 다른 가우스 핵이므로, 보흐너 정리에 따라 이는 양의 정부호임을 쉽게 알 수 있다.

다른 예로는 <math>\mathbb R</math> 위의 <math>\exp(-|x|)</math>, <math>\operatorname{sinc}^2x</math>, [[삼각형함수]] <math>\operatorname{tri}(x)</math> 등이 있다. 이들 역시 [[푸리에 변환]]을 통해 쉽게 확인할 수 있다. 실수가 아닌 양의 정부호 함수로는 <math>\exp(iax)</math>가 있다.

음이 아닌 [[상수함수]] <math>f(x)=a</math> (<math>a\ge0</math>)는 자명하게 양의 정부호 함수이다. 이 경우, <math>n\times n</math> 행렬 <math>f(x_i-x_j)=a</math>의 모든 원소가 <math>a</math>이며, 이 행렬의 [[고윳값]]은 <math>an</math> (중복도 1)과 <math>0</math> (중복도 <math>n-1</math>)이다. 따라서 이 행렬은 양의 준정부호다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=Christian|성=Berg|공저자=Jens Peter Reus Christensen, Paul Ressel|제목=Harmonic Analysis on Semigroups|총서=Graduate Texts in Mathematics|출판사=Springer|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Z.|성=Sasvári|제목=Positive definite and definitizable functions|출판사=Akademie Verlag|날짜=1994|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Wells|이름=J. H.|공저자=L. R. Williams|제목=Embeddings and extensions in analysis|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete|권=84|출판사=Springer|날짜=1975|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Positive-definite function}}
* {{매스월드|id=PositiveDefiniteFunction|title=Positive definite function}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:복소해석학]]
[[분류:함수의 종류]]