약수 문서 원본 보기

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[[수론]]에서 '''약수'''(約數, {{llang|en|divisor}}) 또는 '''인수'''(因數, {{llang|en|factor}}, 전 용어: 승자{{작게|(乘子)}})는 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 말한다. [[다항식]]의 약수나 [[가환환]]의 원소의 약수를 정의할 수도 있다. 

== 정의 ==
두 [[정수]] <math>a</math>, <math>b</math>에 대하여 <math>b=ac</math>를 만족하는 정수 <math>c</math>가 존재한다면, <math>a</math>를 <math>b</math>의 '''약수'''라고 하며, 이를 <math>a\mid b</math>와 같이 표기한다.

모든 정수는 1, -1을 약수로 가진다. 또한, 모든 정수는 자기 자신과 그 [[반수 (수학)|반수]]를 약수로 가진다. 0은 모든 정수를 약수로 가지며, 0이 아닌 정수는 0을 약수로 가지지 않는다. 즉, 정수 <math>n</math>에 대하여 다음 성질들이 성립한다.
* <math>\pm1\mid n</math>
* <math>\pm n\mid n</math>
* <math>n\mid0</math>
* <math>0\mid n\iff n=0</math>
정수 <math>n</math>의 약수 가운데 1, -1, <math>n</math>, <math>-n</math>을 <math>n</math>의 '''자명 약수'''({{llang|en|trivial divisor}})라고 하고 자명 약수를 제외한 약수를 '''고유 약수'''({{llang|en|non-trivial divisor}})라고 한다. 자기 자신을 제외한 양의 약수를 '''진약수'''({{llang|en|proper divisor}})라고 한다.

== 예 ==
* 12의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다. 약수는 [[음수]]일 수도 있으며, 12의 모든 음의 약수는 -1, -2, -3, -4, -6, -12이다. 양의 약수와 음의 약수는 항상 서로 짝을 이룬다.
*  7 ∣ 42이다. 42 = 7 × 6이기 때문이다. 이를 다음과 같이 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다.
** 7은 42의 약수/인수이다.
** 42는 7의 [[배수]]이다.
** 7은 42를 나눈다/완제한다.
** 42는 7로 나누어떨어진다.
* 6의 모든 약수는 ±1, ±2, ±3, ±6이다. 그리고 고유 약수는 ±2, ±3이고 진약수는 1, 2, 3이다.
* 42의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42이다.
* 0의 모든 약수는 모든 정수이다. 항상 <math>n\times0=0</math>이기 때문이다.
* 60의 모든 양의 약수의 집합 <math>\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}</math>은 약수 관계에 따라 [[부분 순서 집합]]을 이루며, 다음과 같은 [[하세 도형]]을 가진다.
:[[파일:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg|350px]]

== 성질 ==
어떤 수의 [[배수]]는 무수히 많이 있지만, 약수의 개수는 항상 유한하다. (단 0 제외. 그 이유는 어떤 수에 0을 곱한 값은 항상 [[0]]이기 때문이다.) 약수 관계는 정수 집합 위의 [[원순서]]다. 어떤 정수가 여러 정수의 공통의 약수라면, 그 정수들의 합과 차의 약수이기도 하다. 즉, 임의의 정수 <math>a,b,c</math>에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>a\mid a</math>
* <math>a\mid b\mid c\implies a\mid c</math>
* <math>a\mid b\mid a\iff a=\pm b</math>
* <math>a\mid b,c\implies a\mid(b\pm c)</math>

2를 약수로 갖는 정수를 [[짝수]], 그렇지 않은 정수를 [[홀수]]라고 한다. 홀수는 홀수만을 약수로 가지며, 짝수는 항상 홀수와 짝수를 같이 약수로 가진다(다만, 2의 거듭제곱은 짝수를 약수로 가진다). 

두 정수 모두의 약수 가운데 가장 큰 하나를 [[최대 공약수]]라고 한다. 두 정수 <math>a,b</math>의 최대 공약수를 <math>\gcd\{a,b\}</math>라고 표기한다. 최대 공약수가 1인 두 정수를 [[서로소 정수|서로소]]라고 한다. 즉 두 정수 <math>a,b</math>가 <math>\gcd\{a,b\}=1</math>을 만족시키면 서로소이다. 진약수가 1뿐인 정수를 [[소수 (수론)|소수]]라고 한다. 소수의 집합을 <math>\mathbb P</math>라고 표기하자. 이는 정수의 집합 <math>\mathbb Z</math>의 [[부분 집합]]이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>a\mid bc</math>이며, <math>\gcd\{a,b\}=1</math>이면, <math>a\mid c</math>
* ([[유클리드의 보조정리]]) <math>p\in\mathbb P</math>이며 <math>p\mid ab</math>이면, <math>p\mid a</math>이거나 <math>p\mid b</math>
진약수의 합이 자기 자신인 정수를 [[완전수]]라고 한다. 진약수의 합이 자기 자신보다 작다면 [[부족수]]라고 하며, 진약수의 합이 자기 자신보다 크다면 [[과잉수]]라고 한다.

약수의 개수는 [[소인수분해]]의 형식으로 쉽게 알아낼 수 있다. 각 [[솟수|소인수]]가 곱해진 [[거듭제곱|지수]]의 개수에 모두 1을 더한 후 그 수를 모두 곱한 값이다. 또한 약수가 어떤 합성수 n개인 자연수는 n의 인수 분해 형식을 이용하면 된다. 예를 들어 72의 [[소인수분해]]는 2×2×2×3×3으로, 2가 3번, 3이 2번 곱해지므로 그 지수에 1을 모두 더한 4와 3의 곱이므로 약수는 12개이다.

각 정수 <math>n</math>에 양의 약수의 개수 <math>d(n)</math>을 대응시키는 함수, 양의 약수의 합 <math>\sigma(n)</math>을 대응시키는 함수는 [[약수 함수]]의 특별한 경우이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>d(n)</math>은 [[곱셈적 함수]]이다. 즉, 모든 서로소 정수 <math>n,m</math>에 대하여, <math>d(nm)=d(n)d(m)</math>이다.
** 예를 들어, <math>d(42)=8=2\times2\times2=d(2)d(3)d(7)</math>.
* 그러나 <math>d(n)</math>은 [[완전 곱셈적 함수]]가 아니다. 즉, 모든 정수 <math>n,m</math>에 대하여 <math>d(nm)=d(n)d(m)</math>이지는 않다. 사실, 두 정수 <math>n,m</math>가 1보다 큰 공약수를 가진다면, <math>d(nm)<d(n)d(m)</math>이다.
** 예를 들어, <math>d(12)=6<2\times4=d(2)d(6)</math>.
* <math>\sigma(n)</math> 역시 곱셈적 함수이다.
** 예를 들어, <math>\sigma(42)=96=3\times4\times8=\sigma(2)\sigma(3)\sigma(7)</math>
* 정수 <math>n</math>의 [[소인수 분해]]가
*:<math>n=p_1^{\nu_1}p_2^{\nu_2}\cdots p_k^{\nu_k}</math>
:와 같다면, <math>n</math>의 모든 양의 약수의 집합은
::<math>\left\{p_1^{\mu_1}p_2^{\mu_2}\cdots p_k^{\mu_k}|\mu_i\in\mathbb Z,\;0\le\mu_i\le\nu_i\right\}</math>
:이며, 이에 따라 <math>n</math>의 모든 양의 약수의 개수는
::<math>d(n)=(\nu_1+1)(\nu_2+1)\cdots(\nu_n+1)</math>
:이다.
* 임의의 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>d(n)<2\sqrt n</math>이다.
* <math>d(1)+d(2)+\cdots+d(n)=n\ln n+(2\gamma-1)n+O(\sqrt n)</math>. 여기서 <math>\gamma</math>는 [[오일러-마스케로니 상수]]이다.

== 관련 개념 ==
임의의 [[환 (수학)|환]]의 원소의 약수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 정수 계수 [[다항식환]] <math>\mathbb Z[x]</math>에서,
:<math>x^2-1=(x+1)(x-1)</math>
이므로,
:<math>x+1\mid x^2-1</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[배수]]
* [[최대공약수]]
* [[최소공배수]]

[[분류:수론]]
[[분류:나눗셈]]