약도함수 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''약도함수'''(弱導函數, {{Llang|en|weak derivative}})는 일반적인 [[도함수]]의 개념의 일반화이다. 이를 통하여 고전적으로 도함수를 취할 수 없는 함수들의 도함수를 취할 수 있다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>
* (매끄러운) [[벡터장]] <math>X \in \Gamma(\mathrm TM)</math>
* 두 함수 <Math>f,g\in \operatorname L^1(M,\mathbb R)</math>
만약 다음 조건이 성립한다면, <math>g</math>가 <math>f</math>의 <math>X</math>방향의 '''약도함수'''라고 한다.
:<math>\int_M ug\sqrt{\det g}\,\mathrm d^{\dim M}x = -\int_M (\nabla_Xu)f\sqrt{\det g}\,\mathrm d^{\dim M}x \qquad\forall  u\in \mathcal C^\infty_{\text{comp.supp.}}(M,\mathbb R)</math>
여기서 <math>\mathcal C^\infty_{\text{comp.supp.}}(M,,\mathbb R) </math>는 [[콤팩트 지지]] [[매끄러운 함수]]들의 공간이다.

이는 흔히
:<math>g = \nabla_Xf</math>
로 표기된다.

만약 <Math>M = \mathbb R^n</math>일 때는 표준적인 벡터장 <math>\partial/\partial x^i</math>들이 존재하며, 이에 대한 약도함수를 취할 수 있다.

== 성질 ==
약도함수는 <Math>\operatorname L^1</math> [[르베그 공간]] 속에서 유일하다. <math>\mathcal C^1</math> 함수의 경우, 약도함수는 그 도함수와 일치한다.

== 예 ==
실수선 위의 [[절댓값]] 함수
:<math>x \mapsto |x|</math>
의 약도함수는 [[부호 함수]]
:<math>x \mapsto \begin{cases} 1 & x>0 \\ -1 & x < 1\end{cases}</math>
(의 [[르베그 공간]]에서의 [[동치류]])이다. <Math>x=0</math>에서의 값은 어느 값이든 상관이 없다 (이는 모두 [[르베그 공간]] 속의 같은 [[동치류]]에 속한다).

실수선 위의, [[유리수]] 집합의 [[지시 함수]]
:<math>f \in\operatorname L^1(\mathbb R,\mathbb R)</math>
:<math>f(x) = [x\in\mathbb Q]</math>
를 생각하자 (<math>[\dotsb]</math>는 [[아이버슨 괄호]]). 이는 어디서나 [[연속 함수]]가 아니며, 따라서 어디서나 도함수를 갖지 않는다. 그러나 이 함수는 약도함수를 가지며, 이는 [[상수 함수]] 0이다. 사실, 유리수 집합의 측도가 0이므로, [[르베그 공간]]에서 <math>f</math>는 값이 0인 [[상수 함수]]와 같은 [[동치류]]에 속한다.

[[칸토어 함수]]는 [[거의 어디서나]] 도함수를 갖지만, 약도함수를 가지지 않는다. 칸토어 함수의 도함수는 [[분포 (해석학)|분포]]로서 존재하지만, 이 분포는 L<sup>1</sup> [[르베그 공간]]의 원소로 나타내어질 수 없다.

== 같이 보기 ==
* [[하방미분]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| first1=D.|last1=Gilbarg|first2=N.|last2=Trudinger| title=Elliptic partial differential equations of second order | year=2001 | publisher=Springer | location=Berlin  | isbn=3-540-41160-7 | page=149}}
* {{서적 인용| author=Evans, Lawrence C. | title=Partial differential equations | url=https://archive.org/details/partialdifferent0019evan | year=1998 | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I.  | isbn=0-8218-0772-2 | page=[https://archive.org/details/partialdifferent0019evan/page/n263 242]}}
* {{서적 인용|author1=Knabner, Peter |author2=Angermann, Lutz | title=Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations | year=2003 | publisher=Springer | location=New York  | isbn=0-387-95449-X | page=53}}


[[분류:미분의 일반화]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:일반화]]