야코비 형식 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''야코비 형식'''({{llang|en|Jacobi form}})은 [[야코비 군]] <math>\operatorname{Sp}(n;\mathbb R)\rtimes H^{(n,h)}_{\mathbb R}</math>에 대한 [[보형 형식]]이다. [[야코비 세타 함수]]의 성질을 공리화한 개념이며, 대략 [[모듈러 형식]]과 [[타원함수]]를 혼합한 개념으로 볼 수 있다.

== 정의 ==
무게({{llang|en|weight}})가 ''k''이고 지표({{llang|en|index}})가 ''m''인 '''야코비 형식''' <math>\phi(\tau;z)</math>은 두 개의 복소 변수 <math>\tau\in\mathbb H</math> ([[상반평면]]), <math>z\in\mathbb C</math>에 대한, 다음 조건들을 충족시키는 함수이다.
*<math>\phi\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d},\frac{z}{c\tau+d}\right) = (c\tau+d)^ke^{\frac{2\pi i mcz^2}{c\tau+d}}\phi(\tau,z)</math> (<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\Gamma=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>
*임의의 정수 <math>\lambda,\mu</math>에 대하여, <math>\phi(\tau,z+\lambda\tau+\mu) = e^{-2\pi i m(\lambda^2\tau+2\lambda z)}\phi(\tau,z)</math>
*<math>\phi</math>는 다음과 같은 [[푸리에 급수]]를 갖는다.
:: <math>\phi(\tau,z) = \sum_{n\ge 0} \sum_{r^2\le 4mn} c(n,r)e^{2\pi i (n\tau+rz)}.</math>
또한, 변수가 2개가 아니라 ''n''개인 경우 <math>\phi(\tau;z_1,z_2,\dots)</math>에도 정의할 수 있다. 이 경우 ''n''을 야코비 형식의 '''준위'''({{llang|en|level}})라고 한다.

== 예 ==
준위가 1 (2변수)인 경우, [[야코비 세타 함수]]와 [[바이어슈트라스 타원함수]]가 대표적인 예이다. 또한, 종수가 2인 [[지겔 모듈러 형식]]의 푸리에-야코비 계수 또한 2변수 야코비 형식이다.

더 많은 변수의 야코비 형식의 경우, [[아핀 리 대수]]나 [[가짜 모듈러 형식]](mock modular form)의 이론에 등장한다.

== 응용 ==
야코비 형식은 이론물리학, 특히 [[2차원 𝒩=2 초등각 장론]]과 [[끈 이론]]에서 등장한다.<ref>{{저널 인용|제목=Quantum black holes, wall crossing, and mock modular forms|이름=Atish|성=Dabholkar|공저자=Sameer Murthy, [[돈 재기어|Don Zagier]]|날짜=2012|arxiv=1208.4074|bibcode=2012arXiv1208.4074D|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Jacobi forms of higher index and paramodular groups in <math>\mathcal N=2</math>, <math>D=4</math> compactifications of string theory|언어=en|arxiv=1309.6404|이름=Caner|성=Nazaroğlu|날짜=2013}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용 | last=Eichler | first=Martin | 공저자=[[돈 재기어|Don Zagier]] | title=The theory of Jacobi forms | publisher=Birkhäuser | location=Boston, MA | series=Progress in Mathematics | isbn=978-0-8176-3180-2 | mr=781735 | 날짜=1985 | volume=55|zbl=0554.10018|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Jacobi forms and a certain space of modular forms|이름=Nils-Peter|성=Skoruppa|공저자=[[돈 재기어|Don Zagier]]|저널=Inventiones Mathematicae|날짜=1988-02|권=94|호=1|쪽=113–146|issn=0020-9910|doi=10.1007/BF01394347|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.math.mcgill.ca/goren/Montreal-Toronto/Victoria.pdf|제목=Jacobi forms|first=Victoria|성=de Quehen|언어=en|날짜=2010-09}}
* {{웹 인용|url=http://www.cams.aub.edu.lb/events/confs/modular2012/files/choie_1.pdf|제목=4 lectures on Jacobi forms|first=Youngju|성=Choie|언어=en|날짜=2012|확인날짜=2014-01-09|보존url=https://web.archive.org/web/20140110004615/http://www.cams.aub.edu.lb/events/confs/modular2012/files/choie_1.pdf#|보존날짜=2014-01-10|url-status=dead}}

== 같이 보기 ==
* [[2차원 𝒩=2 초등각 장론]]

{{전거 통제}}

[[분류:모듈러 형식]]