야코비 방법 문서 원본 보기

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'''야코비 방법'''(Jacobi method)은 강한 [[대각지배행렬]]으로 이루어진 [[연립 일차 방정식]]에서 [[반복법]]의 수렴성을 보증하는 [[연립 일차 방정식]] 풀이법이다. 행렬을 [[대각행렬]]과 나머지 성분으로 [[행렬 분리]]한다.
== 설명 ==
연립일차방정식을 아래와 같이 하자.
:<math>A\mathbf x = \mathbf b</math>

''n''개의 선형 방정식으로 된 정사각형 구조의 방정식에서 :

<math>A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \qquad  \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \qquad  \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}.</math>

''A''는 [[대각행렬|대각성분]] ''D'', [[하삼각행렬]] 부분 ''L'', [[상삼각행렬]] 부분 ''U''의 합으로 [[행렬 분리]]될 수 있다.:

:<math>A=D+L+U \qquad \text{where} \qquad D = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \text{ and } L+U = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & 0 \end{bmatrix}. </math>

이 방정식의 해는 아래와 같은 연산을 반복하여 구할 수 있다.
:<math> \mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1} (\mathbf{b} - (L+U) \mathbf{x}^{(k)}), </math>

여기서 <math>\mathbf{x}^{(k)}</math>는 <math>\mathbf{x}</math> 의 ''k''번째 근사 또는 반복이고, <math>\mathbf{x}^{(k+1)}</math>는 <math>\mathbf{x}</math> 의 ''k+1''번째 근사이다. 행렬 원소에 기반한 공식은 아래와 같다.

:<math> x^{(k+1)}_i  = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i -\sum_{j\ne i}a_{ij}x^{(k)}_j\right),\quad i=1,2,\ldots,n. </math>

<math>x_i^{(k+1)}</math> 의 계산은 자기자신을 제외한 '''x'''<sup>(''k'')</sup>를 필요로 한다. [[가우스-자이델 방법]]과 달리 <math>x_i^{(k)}</math>를 <math>x_i^{(k+1)}</math>로 덮어 쓰지 않으므로, ''n''의 두배의 저장공간을 필요로 한다.

== 같이 보기 ==
* [[가우스-자이델 방법]]
* [[축차가속완화법]]
* [[반복법]]
* [[대칭축차가속완화법]]

{{전거 통제}}

[[분류:수치선형대수학]]
[[분류:완화법 (반복법)]]