야코비 다양체 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''야코비 다양체'''(Jacobi多樣體, {{llang|en|Jacobian variety}})는 [[대수 곡선]] 위에 존재하는 0차 [[선다발]]들의 [[모듈라이 공간]]이다. [[피카르 군]]에서 단위원을 포함한 연결 성분이며, 이에 따라 [[주극성화 아벨 다양체]]를 이룬다.

[[카를 구스타프 야코프 야코비]]의 이름을 땄다.

== 정의 ==
[[복소수체]]에 대한 [[완비 대수다양체|완비]] [[비특이 대수다양체|비특이]] [[대수 곡선]] ([[리만 곡면]])의 경우, 야코비 다양체는 다음과 같이 작도할 수 있다. 이 작도는 [[닐스 헨리크 아벨]]이 정의하였고, [[카를 구스타프 야코프 야코비]]가 이 작도가 0차 [[선다발]]의 [[모듈라이 공간]]과 동형임을 보였다. 이를 '''아벨-야코비 정리'''({{llang|en|Abel–Jacobi theorem}})라고 한다.

[[곡면 종수]]가 <math>g \in\mathbb N</math>인 복소수 [[대수 곡선]] <math>\Sigma_g</math>를 생각하자. 그 [[호지 수]]들은
:{|
| || 1
|-
| <math>g</math> || || <math>g</math>
|-
| || 1
|}
이다. 즉, [[위상수학]]적으로
:<math>\Lambda=\operatorname H_1(\Sigma_g;\mathbb Z)\cong\mathbb Z^{2g}</math>
이다. (리만 곡면의 경우, 호몰로지에 [[꼬임 부분군]]이 없다.) 또한,
:<math>V=(\operatorname H^{1,0}(\Sigma_g))^*=(\operatorname H^0(\Sigma_g,\mathcal K_{\Sigma_g}))^*\cong\mathbb C^g</math>
를 정의할 수 있다. 여기서
* <math>\operatorname H^{1,0}(\Sigma_g) = \operatorname H^0(\Sigma_g,\mathcal K_{\Sigma_g})</math>는 (1,0)차 [[복소수 미분 형식]]들의 [[복소수 벡터 공간]]이며, ((1,&minus;1)차 [[복소수 미분 형식]]이 존재하지 않으므로) (1,0)차 [[돌보 코호몰로지]]와 같다. (<math>\mathcal K_{\Sigma_g}</math>는 [[대수 곡선]]의 [[표준 선다발]]이며, 기하학적으로 그 [[단면 (올다발)|단면]]은 (1,0)차 [[복소수 미분 형식]]이다.)
* <math>(-)^*</math>는 유한 차원 [[복소수 벡터 공간]]의 [[쌍대 공간]]이다.
정수 계수 코호몰로지가 [[꼬임 부분군]]을 갖지 않으므로, 자연스럽게 <math>\Lambda\subseteq V</math>이다. 이는 (1,0)차 [[복소수 미분 형식]]을 실수 1차원 부분 다양체에 대하여 적분하는 것에 해당한다.

이 경우, '''야코비 다양체''' <math>\operatorname{Jac}(\Sigma_g)</math>는 <math>g</math>차원 복소수 [[아벨 다양체]]
:<math>\operatorname{Jac}(\Sigma_g)=V/\Lambda\cong\mathbb T^{2g}</math>
이다.

=== 주극성화 ===
야코비 다양체는 자연스럽게 [[주극성화 아벨 다양체]]의 구조를 갖는다.

구체적으로, [[복소수 벡터 공간]] <math>V^*</math>에는 [[교차 형식]](intersection form)에 의하여 다음과 같은 [[반쌍선형 형식|반쌍선형]] [[심플렉틱 형식]]이 존재한다.
:<math>\omega^{-1}\colon\bar V^*\times V^*\to\mathbb C</math>
:<math>\omega^{-1}\colon(\bar a,b)=\int_{\Sigma_g}\bar a\wedge b\qquad(a,b\in V^* = \Omega^{1,0}(\Sigma_g))</math>
이 형식이 비퇴화이므로, 그 역 <math>\omega\colon\bar V\times V\to\mathbb C</math>는 <math>V</math> 위의 반쌍선형형 심플렉틱 형식이다. 또한, <math>\omega(\Lambda,\Lambda)=\mathbb Z</math>임을 알 수 있다.
구체적으로, <math>\Lambda</math>의 적절한 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>\{\alpha_i,\beta_i\}_{i=1,\dots,g}</math>에서
:<math>\omega(\alpha_i,\beta_i)=-\omega(\beta_i,\alpha_i)=\delta_{ij}</math>
:<math>\omega(\alpha_i,\beta_i)=\omega(\beta_i,\beta_j)=\delta_{ij}</math>
로 놓을 수 있다. 즉, <math>\omega(\mathrm ia,b)</math>는 <math>V</math> 위의 [[켈러 형식]]이며, 동형
:<math>\bar V\cong V^*</math>
:<math>\bar\alpha \mapsto \omega(\alpha,-)</math>
을 정의한다. 따라서, <math>\operatorname{Jac}(\Sigma_g)</math>는 <math>\omega</math>에 의하여 [[주극성화 아벨 다양체]]를 이룬다.

== 성질 ==
야코비 다양체는 차수 0의 [[정칙 벡터 다발|정칙]] [[선다발]]들의 [[모듈라이 공간]]이다. 여기서 차수란 기하학적으로 [[천 특성류]]의 적분이며, 차수가 0인 것은 그 [[천 접속]]의 곡률이 0임을 뜻한다. 이러한 선다발들은 텐서곱에 따라서 [[아벨 군]]을 이루는데, 야코비 다양체의 ([[아벨 다양체]]로서의) 군 구조는 이와 일치한다.

모든 차수의 [[정칙 벡터 다발|정칙]] [[선다발]]들의 [[모듈라이 공간]]은 '''[[피카르 다양체]]'''라고 하며, 야코비 다양체는 그 속의, 항등원을 포함하는 [[연결 성분]]이다.

=== 아벨-야코비 사상 ===
리만 곡면 <math>\Sigma</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\Sigma</math>의 0차 [[인자 (대수기하학)|인자]]의 공간 <math>\operatorname{Div}_0(\Sigma)</math>에서 야코비 다양체로 가는 다음과 같은 사상이 존재한다.
:<math>\operatorname{AJ}_\Sigma\colon \operatorname{Div}_0(\Sigma) \to \operatorname{Jac}(\Sigma)</math>
:<math>\operatorname{AJ}_\Sigma\colon\sum_{i=1}^k (p_i - q_i) \mapsto \left [ \omega \mapsto \sum_{i=1}^k\int_{q_i}^{p_i}\omega_1\right]\qquad p_1,\dotsc,p_k,q_1,\dotsc,q_k\in \Sigma,\;\omega\in\Omega^{1,0}(\Sigma)=V^*</math>
여기서 <math>\textstyle\int_{q_i}^{p_i}\omega</math>는 <math>q_i</math>와 <math>p_i</math>를 끝점으로 갖는 <math>\Sigma</math> 속의 임의의 곡선
:<math>\gamma\colon[0,1]\to\Sigma</math>
:<math>\gamma(0) = q_i</math>
:<math>\gamma(1) = p_i</math>
에 대한 [[1차 미분 형식]] <math>\omega</math>의 적분이다. 이는 물론 사용한 곡선 <math>\gamma</math>의 [[호모토피류]]에 의존하지만, 서로 다른 곡선을 사용하였을 때의 차는 <math>\Lambda</math>에 속한다. 즉, 이는 야코비 다양체 속의의 점을 잘 정의한다.

이 사상은 [[전사 함수]]이자 두 [[아벨 군]] 사이의 [[군 준동형]]이며, 그 [[핵 (수학)|핵]]은 [[주인자]]의 부분군 <math> \operatorname{PDiv}(\Sigma)
\le\operatorname{Div}_0(\Sigma)</math>이다. 즉, 다음과 같은, [[아벨 군]]의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0 \to \operatorname{PDiv}(\Sigma) \to \operatorname{Div}_0(\Sigma) \to \operatorname{Jac}(\Sigma) \to 0</math>
0차 [[정칙 벡터 다발|정칙]] [[선다발]]은 [[인자류]] <math>[\textstyle \sum_ip_i-q_i]\operatorname{Div}_0(\Sigma) / \operatorname{PDiv}(\Sigma)</math>에 의하여 분류되므로, 이는 0차 선다발의 [[모듈라이 공간]]과 야코비 다양체 사이의 동형을 정의한다.

특히, <math>g\ge1</math>인 경우를 생각하자. 이 경우, 임의의 <math>q\in \Sigma</math>에 대하여,
:<math>\overbrace{\Sigma \times \dotsb \times \Sigma}^g \to \operatorname{Jac}(\Sigma)</math>
:<math>(p_1,\dotsc, p_g) \mapsto \operatorname{AJ}_\Sigma\left(\sum_{i=1}^g(p_g-q)\right)</math>
를 생각하자. 이는 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(g)</math>의 작용에 대하여 불변이므로, 이는 [[짜임새 공간]] <math>\operatorname{Conf}(\Sigma,g) = \Sigma^g / \operatorname{Sym}(g)</math> 위에 정의된다. 이 사상
:<math>\operatorname{Conf}(\Sigma,g) \to \operatorname{Jac}(\Sigma)</math>
은 항상 [[전사 함수]]이며, 거의 어디서나 [[단사 함수]]이다. 즉, 이 사상이 단사 함수가 아닌 점들은 양의 [[여차원]]의 부분 다양체를 이룬다.

== 예 ==
종수 1의 [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math>의 야코비 다양체는 원래 리만 곡면과 동형이며, 그 동형 사상은 아벨-야코비 사상 <math>\Sigma = \operatorname{Conf}(\Sigma,1) \to \operatorname{Jac}(\Sigma)</math>에 의하여 주어진다.

종수 0의 [[리만 곡면]](즉, [[리만 구]])의 야코비 다양헤는 0차원 [[아벨 다양체]]이므로 [[한원소 공간]]이다. 다시 말해, [[리만 구]] 위에서, 모든 0차 [[인자 (대수기하학)|인자]]는 [[주인자]]이며, 유일한 0차 정칙 선다발은 자명하다. (천 접속의 곡률이 0이므로, 이러한 정칙 선다발은 [[모노드로미]]로 정의되는데, 리만 구는 [[단일 연결 공간]]이므로 모노드로미가 존재하지 않는다.)

== 참고 문헌 ==
* {{콘퍼런스 인용 | author=J.S. Milne | 제목=Jacobian Varieties | booktitle=Arithmetic Geometry |publisher=Springer|location=New York| year=1986 | pages=167–212|isbn=0-387-96311-1|url=http://www.jmilne.org/math/articles/1986c.pdf}}

== 외부 링크 ==
* {{Eom|title=Jacobi variety|first=V.V.|last=Shokurov}}
* {{nlab|id=Jacobian variety}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2008/REUPapers/Woolf.pdf | 제목=An exploration of complex Jacobian varieties | 이름=Matthew | 성=Woolf | 날짜=2008 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url= https://rigtriv.wordpress.com/2009/02/03/elliptic-curves-and-jacobians/ | 제목=Elliptic curves and Jacobians | 웹사이트=Rigorous Trivialities | 날짜=2009-02-03 | 이름=Akhil | 성= Mathew | 언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[피카르 군]]
* [[알바네세 다양체]]

{{전거 통제}}

[[분류:아벨 다양체]]
[[분류:대수 곡선]]
[[분류:모듈라이 이론]]