알틴 상수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''알틴 상수'''(Artin Constant) 또는 아르틴 상수는 [[에밀 아르틴]] (Emil Artin)의 이름에서 명명되었다.<ref>Artin, E. "Collected Papers" (Ed. S. Lang and J. T. Tate). New York: Springer-Verlag, pp. viii-ix, 1965.</ref>
:<math> C_{A}= \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1-{{1}\over{P_n(P_n -1)}}\right)= 0.37395 58136 .... (OEIS A005596 )</math>

이것은 [[프라임 제타 함수]] <math>P(n)</math>와 연결된다.
:<math> ln  C_{A}=  -\sum_{n=2}^{\infty}  { {(L_n-1)P(n)}\over{n} } </math>

:<math>L_n </math> [[뤼카 수]] <math>,  ln </math> [[자연로그]]

== 알틴상수와 자연로그 지수함수 ==
:<math> C_{A}= \prod_{p=prime}^{}  \left( 1-{{1}\over{p(p -1)}}\right)</math>
:<math> \;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left( 1-{{1}\over{p^2 -p}}\right)</math>
:<math> \;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left({{p^2 -p-1}\over{p^2 -p}}\right)</math>
:<math> \;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left({{\left((p+1)(p-1)\right)-p}\over{p^2 -p}}\right)</math>

:<math> \;\;\;=  exp \left( \sum_{p=prime}^{} ln(\left((p+1)(p-1)\right)-p) - ln(p^2 -p) \right) </math>

<!-- 
==알틴상수와 [[조합|콤비네이션]]==
뤼카수를 참고해서 서술할 예정
==알틴상수와 [[행렬]]==
뤼카수를 참고해서 서술할 예정
-->

== 스트븐스 상수 형식의 알틴상수 ==
알틴상수의 [[스티븐스 상수]] 접근표현
<!-- 1차시도
:<math> C_{A}= \prod_{p=prime}^{}  \left( 1-{{1}\over{p(p -1)}}\right)</math>
:<math> \;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left({{p^2 -p-1}\over{p^2 -p}}\right)</math>
:<math> \;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left({{\left((p+1)(p-1)\right)-p}\over{p^2 -p}}\right)</math>
:<math> \;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left({{\left((p+1)(p-1)\right)-p}\over{p(p -1)}}\right)</math>
-->
:<math> C_{A}= \prod_{p=prime}^{}  \left( 1-{{1}\over{p(p -1)}}\right)</math>
:<math> \;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left({{p^2 -p-1}\over{p^2 -p}}\right)</math>
:<math> \;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left({{(p^2 -1)-p}\over{p(p -1)}}\right)</math>

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:<math> \;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left({{{{(p^2 -1)}\over{p}}-1}\over{(p -1)}}\right)</math>

:<math> \;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left({{{{(p^2 -1)-p}\over{p}}}\over{(p -1)}}\right)</math>
:<math> \;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left({{{{(p^2 -1)-p}}}\over{p(p -1)}}\right)</math>
-->
:<math> \;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left({{(p^2 -1)}\over{p(p -1)}}\right)- \left({{p}\over{p(p -1)}}\right)</math>
:<math> \;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left({{(p^2 -1)}\over{p(p -1)}}\right)- \left({{1}\over{(p -1)}}\right)</math>

== 알틴상수의 스티븐스상수 연결표현 ==
:<math> C_A</math>알틴상수 <math>, C_S</math> [[스티븐스 상수]]
:<math> C_A= \prod_{p=prime}^{} \left({{(p^2 -1)}\over{p(p -1)}}\right)- \left({{1}\over{(p -1)}}\right)</math>
:<math>C_S= \prod_{p} \left( \left({{(p^2-1)}\over{p(p-1)}} \right)- 
\left({{1}\over{p^2(p-1)}} \right) \right)
\left({{p}\over{(p+1+{{1}\over{p}})}} \right)</math>


:<math>  \left({{1}\over{(p -1)}}\right) + x = \left({{1}\over{p^2(p-1)}} \right)</math>
:<math>  x = \left({{1}\over{p^2(p-1)}} \right)- \left({{1}\over{(p -1)}}\right) </math>
:<math>  x =  \left( {{p-1-p^2(p-1)}\over{p^2(p-1)^2}}\right) </math>
:<math>  x =  \left( {{(p-1)-p^2(p-1)}\over{p^2(p-1)^2}}\right) </math>
:<math>  x =  \left( {{(p-1)\left(1-p^2 \right)}\over{p^2(p-1)^2}}\right) </math>
:<math>  x =  \left( {{\left(1-p^2 \right)}\over{p^2(p-1)}}\right) </math>


:<math>C_S= \prod_{p} \left( \left({{(p^2-1)}\over{p(p-1)}} \right)- 
\left({{1}\over{(p-1)}} \right) + \left( {{\left(1-p^2 \right)}\over{p^2(p-1)}}\right)    \right)
\left({{p}\over{(p+1+{{1}\over{p}})}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + \left( {{1-p^2}\over{p^2(p-1)}}\right)    \right)
\left({{p}\over{(p+1+{{1}\over{p}})}} \right)</math>

== 2급 알틴상수 ==
2급 알틴상수(Rank 2 Artin constant)<ref>(OEIS)https://oeis.org/A065414</ref><ref>(http://mathworld.wolfram.com/TotientSummatoryFunction.html)Niklasch{{깨진 링크|url=http://mathworld.wolfram.com/TotientSummatoryFunction.html)Niklasch }}, G. "Some Number-Theoretical Constants." http://www.gn-50uma.de/alula/essays/Moree/Moree.en.shtml {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20060612212955/http://www.gn-50uma.de/alula/essays/Moree/Moree.en.shtml#}}.</ref>

:<math>C_{A2}=\prod_{p}^{} \left( 1-{{1}\over{p^2(p-1)}}  \right)</math>

== 같이 보기 ==
* [[뤼카 수]]
* [[L-함수]]
* [[프라임 제타 함수]]
* [[브룬 상수]]
* [[란다우 토션트 상수]]

== 각주 ==
{{각주}}
== 참고 ==
* (OEIS)http://oeis.org/A005596
* (OEIS)http://oeis.org/A001122
* (OEIS)http://oeis.org/A065414
* (매스월드) http://mathworld.wolfram.com/ArtinsConstant.html
* (매스월드) http://mathworld.wolfram.com/FullReptendPrime.html
* (OEIS)https://oeis.org/A065414 (rank 2 Artin constant)

[[분류:수학 상수]]
[[분류:소수]]
[[분류:소수에 관한 추측]]
[[분류:대수적 수론]]
[[분류:해석적 수론]]
[[분류:수론의 미해결 문제]]