알렉산드로프 콤팩트화 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 '''알렉산드로프 콤팩트화'''(Александров compact化, {{llang|en|Alexandroff compactification}})는 주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에 한 점을 추가하여 [[콤팩트 공간]]으로 만드는 방법이다. '''한 점 콤팩트화'''({{llang|en|one-point compactification}})이라고 부르기도 한다. [[스톤-체흐 콤팩트화]]와 달리, 알렉산드로프 콤팩트화는 원래 공간이 콤팩트 하우스도르프 공간이더라도 항상 한 개의 점을 추가하며, 또한 원래 공간이 [[국소 콤팩트 공간]]이 아닐 경우 [[하우스도르프 공간]]이 아닐 수 있다.

== 정의 ==
<math>X</math>가 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라고 하자. 여기에 한 점 <math>\infty</math>를 추가하여, <math>X_+=X\sqcup\{\infty\}</math>에 다음과 같은 위상을 부여하자. <math>X_+</math>의 부분집합 <math>U\subset X_+</math>가 열린 집합일 조건은 다음과 같다.
* 만약 <math>\infty\not\in U</math>라면, <math>U\subset X</math>가 <math>X</math>의 위상에서 열린 집합일 때
* 만약  <math>\infty\in U</math>라면, <math>X_+\setminus U\subset X</math>가 <math>X</math>의 위상에서 닫힌 집합이며 [[콤팩트 집합]]일 때
이렇게 위상을 부여한 위상 공간 <math>X_+</math>는 항상 [[콤팩트 공간]]이다.
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'''증명''':
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<math>X_+</math>의 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>가 주어졌다고 하자. 그 유한 부분 덮개를 찾으면 족하다.

열린 덮개의 정의에 따라, <math>\infty\in U\in\mathcal U</math>가 존재한다. 알렉산드로프 콤팩트화의 정의에 따라, <math>X_+\setminus U</math>는 [[콤팩트 공간]]이며, <math>\mathcal U</math>를 이에 제한하면 이는 <math>X_+\setminus U</math>의 [[열린 덮개]]를 이룬다. 따라서 그 유한 부분 덮개 <math>\mathcal U'\subseteq\mathcal U</math>를 찾을 수 있다. 이제, <math>\mathcal U'\cup\{U\}</math>는 <math>U\cup (X_+\setminus U) = X_+</math>를 덮는 유한 부분 덮개이다.
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이를 '''알렉산드로프 콤팩트화'''라고 한다. 또한, 자연스러운 포함 사상 <math>i\colon X\hookrightarrow X_+</math>가 존재하며, <math>X_+</math>는 밑점 <Math>\infty \in X_+</math>로 인하여 자연스럽게 [[점을 가진 공간]]을 이룬다.

== 성질 ==
포함 사상 <math>i\colon X\hookrightarrow X_+</math>는 항상 [[연속 함수]]이며 ([[열린집합]]의 [[원상]]은 [[열린집합]]) [[열린 함수]]이다 ([[열린집합]]의 [[상 (수학)|상]]은 [[열린집합]]). 만약 <math>X</math>가 콤팩트하지 않은 경우 <math>i</math>의 상은 [[조밀 집합]]이다.

임의의 위상 공간 <Math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X_+</math>가 [[하우스도르프 공간]]이다.
* <math>X</math>가 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 콤팩트 공간]]이다.

=== 연산과의 호환 ===
임의의 두 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>(X\times Y)_+ \cong X_+ \wedge Y_+</math>
여기서 <Math>\cong</math>은 [[점을 가진 공간]]의 [[위상 동형]]이며, <Math>\wedge</math>는 두 [[점을 가진 공간]]의 [[분쇄곱]]이다.

=== 함자성 ===
다음과 같은 두 [[범주 (수학)|범주]]를 생각하자.
* <math>\mathcal C</math>의 대상은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이며, 사상은 [[연속 함수]]인 [[고유 함수]]이다.
* <math>\mathcal D</math>의 대상은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>의 [[화살표 범주]]이다. (즉, 그 대상은 [[연속 함수]]이며, 그 사상은 두 연속 함수 사이의 가환 네모이다.)
그렇다면, 알렉산드로프 콤팩트화는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\mathcal C\to\mathcal D</math>
를 이룬다. 특히, 임의의 [[연속 함수|연속]] [[고유 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음과 같은 가환 네모를 만족시키는 자연스러운 [[연속 함수]] <math>f_+\colon X_+\to Y_+</math>가 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
X &\overset f\to&Y\\
\downarrow && \downarrow\\
X_+&\underset{f_+}\to&Y_+
\end{matrix}</math>

== 예 ==
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 알렉산드로프 콤팩트화는 [[초구]] <math>S^n</math>과 [[위상 동형]]이다.

가산 무한 개의 열린 구간 <math>(0,1)\times\mathbb Z</math>의 알렉산드로프 콤팩트화는 [[하와이 귀고리]]와 [[위상 동형]]이다.

== 역사 ==
[[파벨 세르게예비치 알렉산드로프]]가 1924년 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=P.S.|성=Alexandroff|authorlink=파벨 세르게예비치 알렉산드로프|journal=Mathematische Annalen|volume= 92|issue=3–4|날짜=1924-09|pages= 294–301|title= Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume|doi=10.1007/BF01448011|issn=0025-5831|jfm=50.0128.04|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Aleksandrov compactification}}
* {{nlab|id=one-point compactification|title=One-point compactification}}
* {{매스월드|id=One-PointCompactification|title=One-point compactification|이름=Allan|성=Cortzen}}
* {{서적 인용|url= https://www.um.es/documents/118351/1884002/TFG_RUIZ+SANCHEZ.pdf/65c4078f-3722-41a9-8c55-0ac899a2a40d | 날짜=2014-06 | 제목=La compactificación de Alexandroff | 이름=Carlos Jesús | 성=Ruiz Sánchez | 기타=학사 학위 논문 | 출판사=Universidad de Murcia | 언어=es }}

{{전거 통제}}

[[분류:일반위상수학]]