알라디-그린스테드 상수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''알라디-그린스테드 상수'''(Alladi–Grinstead constant)는 알라디 (K. Alladi)와 그린스테드(C. Grinstead)로부터 명명되었다.<ref>{{웹 인용 |url=http://plouffe.fr/simon/constants/alladig.txt |제목=보관된 사본 |확인날짜=2018-02-22 |보존url=https://web.archive.org/web/20180222165218/http://plouffe.fr/simon/constants/alladig.txt |보존날짜=2018-02-22 |url-status=dead }}</ref><ref>{{웹 인용 |url=http://oeis.org/A085291 |제목=보관된 사본 |확인날짜=2018-02-22 |보존url=https://web.archive.org/web/20180222104929/http://oeis.org/A085291 |보존날짜=2018-02-22 |url-status=dead }}</ref>

알라디-그린스테드 상수는 [[자연로그]]의 밑 [[자연로그의 밑|e]]에 [[지수]]로 작용하는 [[뤼로스 상수]]의 1의 [[보수 (수학)|보수]]와 관계있다.<ref>http://mathworld.wolfram.com/Alladi-GrinsteadConstant.html</ref>
<!-- 이 상수는 가장 큰 정수로 갈수록 역시 소수로 조밀한 일정한 범위에서  약하게 나마 소수가 규칙적으로 분포한다는 것을 보여주는것과 관계있다.  -->

==아이디어==
:<math>n!</math>의 몇몇 초기  팩토리얼을 고려해본다.
가장 작은 소수로부터 자연수의 순서로 대상 정수<math>n</math>의 개수대로 재정렬한다.

:<math>4! = 4 \cdot 3! </math>
:<math> \;\;\; = 4 \cdot 3 \cdot 2 </math>
:<math> \;\;\; = 2^2 \cdot 3 \cdot 2 </math>
:<math> \;\;\; =  2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3</math>

:<math>5! = 5 \cdot 4!</math>
:<math>\;\;\; = 5 \cdot  2 \cdot 3 \cdot 2^2</math>
:<math>\;\;\; =   2 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5</math>
:<math>\;\;\; =   2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot3   \cdot 5</math>

:<math>6! = 6 \cdot 5!</math>
:<math>\;\;\; = 2 \cdot 3 \cdot 5!</math>
:<math>\;\;\; = 2 \cdot 3  \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5</math>
:<math>\;\;\; = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5</math>
:<math>\;\;\; = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5</math>

:<math>7! = 7 \cdot 6!</math>
:<math>\;\;\; =7 \cdot 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5</math>
:<math>\;\;\; = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7</math>
:<math>\;\;\; = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5  \cdot7</math>

:<math>8! = 8 \cdot 7!</math>
:<math>\;\;\; = 2^3  \cdot 7!</math>
:<math>\;\;\; = 2^3 \cdot 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7</math>
:<math>\;\;\; = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3</math>
:<math>\;\;\; = 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5  \cdot7   \cdot 8</math>

:<math>9! = 9 \cdot 8!</math>
:<math>\;\;\; = 3^2  \cdot 8!</math>
:<math>\;\;\; = 3^2  \cdot 2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3</math>
:<math>\;\;\; =  2 \cdot 2  \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3   \cdot 3^2</math>
:<math>\;\;\; =     3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3  </math>
:<math>\;\;\; =      3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4  \cdot 5  \cdot7   \cdot 8   </math>

:<math>10! = 10 \cdot 9!</math>
:<math>\;\;\; = 2 \cdot 5   \cdot 9!</math>
:<math>\;\;\; = 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2  \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3 </math>
:<math>\;\;\; = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3 </math>
:<math>\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 5  \cdot7   \cdot 2^3 </math>
:<math>\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2  \cdot 5 \cdot 5 \cdot7   \cdot 2^3 \cdot 2^3</math>
:<math>\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5 \cdot 5 \cdot7   \cdot 8 \cdot 8</math>



팩토리얼 정보가  소수의 제곱의 정보로 이동된다.<ref>http://mathworld.wolfram.com/Alladi-GrinsteadConstant.html</ref>

:<math>\alpha(n) = {{\ln p}\over{\ln n}}</math>
:<math>p=m(n)=max \left( P^{begin} \right)</math>
<!-- :<math>p=m(n)=max \left( P_{max}^{b_{max}} \right)</math> -->
:<math>p</math>는 <math>n!</math>에서 재정렬후 가장 처음에오는 수의 소수제곱정보의 그 소수값<math>P</math>이다.<ref>{{OEIS|id=A085288}}</ref><ref>{{OEIS|id=A085289}}</ref><ref>{{OEIS|id=A085290}}</ref>

<!-- 
=================================================================================================
==아이디어==
:<math>n!</math>의 몇몇 초기  팩토리얼을 고려해본다.
가장작은 소수로부터 순서대로 재정렬한다.
:<math>2! = 2 </math>
:<math> \;\;\; = 2^1 </math>

:<math>3! =3 \cdot 2 </math>
:<math> \;\;\; = 3^1 \cdot 2^1 </math>
:<math> \;\;\; = 2^1 \cdot 3^1 </math>

:<math>4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 </math>
:<math> \;\;\; = 4 \cdot 3 \cdot 2 </math>
:<math> \;\;\; = 2^2 \cdot 3 \cdot 2 </math>
:<math> \;\;\; = 2^2\cdot 2 \cdot 3  </math>
:<math> \;\;\; = 2^3 \cdot 3  </math>
:<math> \;\;\; = 2^3 \cdot 3^1  </math>
:<math> \;\;\; = 2^1 \cdot 2^1 \cdot 2^1 \cdot 3^1  </math>
<math>4</math>개의 소수들의 객체가 성립할때의 소수는 <math>2</math>이다.

:<math>5! = 5 \cdot 4!</math>
:<math>\;\;\; = 5 \cdot 2^3 \cdot 3</math>
:<math>\;\;\; =  2^3 \cdot 3  \cdot 5</math>
:<math>\;\;\; =  2^3 \cdot 3^1  \cdot 5^1</math>
:<math>\;\;\; =  2^1 \cdot2^1 \cdot 2^1 \cdot  3^1  \cdot 5^1</math>
<math>5</math>개의 객체가 성립할때의 소수는 <math>2</math>이다.



:<math>6! = 6 \cdot 5!</math>
:<math>\;\;\; = 2 \cdot 3 \cdot 5!</math>
:<math>\;\;\; = 2 \cdot 3  \cdot 5 \cdot 2^3 \cdot 3</math>
:<math>\;\;\; = 5 \cdot 2^4 \cdot 3^2</math>

:<math>\;\;\; =  {\color{red}{2}}^4 \cdot {\color{red}{3}}^2  \cdot {\color{red}{5}}^1</math>
:<math>\;\;\; =    2^{\color{red}{4}} \cdot 3^{\color{red}{2}}  \cdot 5^{\color{red}{1}}</math>

:<math>\;\;\; =  2^4 \cdot 3^2  \cdot5</math>
:<math>\;\;\; =  2 \cdot2 \cdot2 \cdot2 \cdot 3^2  \cdot5</math>
<math>6</math>개의 객체가 성립할때의 소수는 <math>2</math>이다.

:<math>7! = 7 \cdot 6!</math>
:<math>\;\;\; =7 \cdot 5 \cdot 2^4 \cdot 3^2</math>
:<math>\;\;\; = 2^4 \cdot 3^2  \cdot 5 \cdot 7</math>
:<math>\;\;\; = 2^4 \cdot 3^2  \cdot 5^1 \cdot 7^1</math>
:<math>\;\;\; = 2 \cdot2 \cdot2 \cdot2 \cdot 3^2  \cdot 5^1 \cdot 7^1</math>
<math>7</math>개의 객체가 성립할때의 소수는 <math>2</math>이다.

:<math>8! = 8 \cdot 7!</math>
:<math>\;\;\; = 2^3  \cdot 7!</math>
:<math>\;\;\; = 2^3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2^4 \cdot 3^2</math>
:<math>\;\;\; =  7 \cdot 5 \cdot 2^7 \cdot 3^2</math>
:<math>\;\;\; =  2^7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7</math>
:<math>\;\;\; =  2^7 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1</math>
<math>8</math>개의 객체가 성립할때의 소수는 <math>2</math>이다.

:<math>9! = 9 \cdot 8!</math>
:<math>\;\;\; = 3^2  \cdot 8!</math>
:<math>\;\;\; = 3^2  \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2^7 \cdot 3^2</math>
:<math>\;\;\; =  7 \cdot 5 \cdot 2^7 \cdot 3^4</math>
:<math>\;\;\; =  2^7 \cdot 3^4  \cdot 5 \cdot 7</math>
:<math>\;\;\; =  3^4  \cdot 2^7 \cdot  5^1 \cdot 7^1</math>
<math>9</math>개의 객체가 성립할때의 소수는 <math>3</math>이다.

팩토리얼 정보가  소수의 제곱의 정보로 이동된다.<ref>http://mathworld.wolfram.com/Alladi-GrinsteadConstant.html</ref>

:<math>\alpha(n) = {{\ln p}\over{\ln n}}</math>
:<math>p=m(n)=max \left( P^{big} \right)</math>
 :<math>p=m(n)=max \left( P_{max}^{b_{max}} \right)</math>
:<math>p</math>는 <math>n!</math>에서 가장 큰 수의 소수제곱정보의 그 소수값<math>P</math>이다.

-->

==계산==
:<math>\alpha(8) = {{\ln 2}\over{\ln 8}}={{\ln 2}\over{\ln 2^3}}={{\ln 2}\over{3 \ln 2}}={1\over3}=0.3333\cdots</math>
:<math>\alpha(9) = {{\ln 3}\over{\ln 9}}={{\ln 3}\over{\ln 3^2}}={{\ln 3}\over{2 \ln 3}}={1\over2}=0.5</math>
:<math>n</math>이 무한히 커지면서 <math> 0.80939 40205 ....</math>에 접근한다.
:<math>\lim_{n\to\infty} \alpha (n)= e^{c-1}= 0.80939 40205 ....(OEIS A085291)</math>
:<math> c = \sum_{k=2}^{\infty} {1\over k}\ln{{k}\over{k-1}} \;\;\; c</math>는 [[뤼로스 상수]]
:<math> c = \sum_{n=1}^{\infty} {{\zeta(n+1)-1}\over{n}}  \;\;\; \zeta</math>는 [[리만 제타 함수|리만제타함수]]
:<math> \;\;\; = 0.78853 05659 ... (OEIS A085361) </math>

== 같이 보기 ==
* [[골롬-딕맨 상수]]
* [[피보나치 수|피보나치 수렴 그래프]]
* [[수학 상수]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:수학 상수]]