안정 곡선 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''안정 곡선'''(安定曲線, {{llang|en|stable curve}})은 [[자기 동형군]]이 [[유한군]]이어서 [[모듈라이 공간|모듈라이 스택]]을 정의할 수 있는 [[대수 곡선]]이다.

== 정의 ==
스킴 <math>S</math> 위의 종수 <math>g</math>의 '''안정 곡선'''은 다음 조건을 만족시키는 <math>S</math>-스킴 <math>X\to S</math>이다.
* <math>X\to S</math>는 [[고유 사상]]이며 [[평탄 사상]]이다.
* <math>X\to S</math>의 모든 기하학적 올 <math>X_s</math>는 다음 네 조건을 만족시킨다.
** [[축소 스킴]]이다.
** [[연결 공간]]이다.
** [[크룰 차원]]이 1차원이다.
** [[산술 종수]] <math>\dim H^1(\mathcal O_{X_s})</math>가 <math>g</math>이다.
** 모든 [[특이점 (대수기하학)|특이점]]은 보통 이중점({{llang|en|ordinary double point}})이다.
* <math>E</math>가 <math>X</math>의 [[비특이 대수다양체|비특이]] 유리 기약 성분이라면, <math>E</math>는 <math>X</math>의 다른 기약 성분들과 적어도 세 개의 점에서 교차한다.

스킴 <math>S</math> 위의 종수 <math>g</math>의 '''반안정 곡선'''({{llang|en|semistable curve}})은 다음 조건을 만족시키는 <math>S</math>-스킴 <math>X\to S</math>이다.
* <math>X\to S</math>는 [[고유 사상]]이며 [[평탄 사상]]이다.
* <math>X\to S</math>의 모든 기하학적 올 <math>X_s</math>는 다음 네 조건을 만족시킨다.
** [[축소 스킴]]이다.
** [[연결 공간]]이다.
** [[크룰 차원]]이 1차원이다.
** [[산술 종수]] <math>\dim H^1(\mathcal O_{X_s})</math>가 <math>g</math>이다.
** 모든 [[특이점 (대수기하학)|특이점]]은 보통 이중점({{llang|en|ordinary double point}})이다.
* <math>E</math>가 <math>X</math>의 [[비특이 대수다양체|비특이]] 유리 기약 성분이라면, <math>E</math>는 <math>X</math>의 다른 기약 성분들과 적어도 두 개의 점에서 교차한다.

== 성질 ==
안정 곡선의 [[자기 동형군]]은 유한군이며, 따라서 안정 곡선들의 [[모듈라이 공간|모듈라이 스택]]을 정의할 수 있다. 반안정 곡선의 [[자기 동형군]]은 [[가약군]]이다.

비특이 대수 곡선은 안정 곡선이다.

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 | last1=Mumford | first1=David | author1-link=데이비드 멈퍼드 | last2=Fogarty | first2=J. | last3=Kirwan | first3=F.  | title=Geometric invariant theory | url = http://www.springer.com/gp/book/9783540569633 | publisher=Springer | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete | isbn=978-3-540-56963-3 |mr= 1304906 | 날짜=1994 | 판=3 | volume=34 | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수 곡선]]
[[분류:모듈라이 이론]]