안장점 문서 원본 보기

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[[파일:Saddle point.png|섬네일|함수 <math>f(x,y) = x^2-y^2</math>의 안장점.]]
'''안장점'''(鞍裝點; {{lang|en|saddle point}})은 [[다변수함수|다변수 실함수]]의 변역에서, 어느 방향에서 보면 [[극대값]]이지만 다른 방향에서 보면 [[극소값]]이 되는 점이다.

수학에서 안장점이란 [[정류점]]이지만 [[극값]]을 가지지 않는 점을 말한다. 이차원의 시각에서 어느 방향에서 보면 아래로 굽어있지만 다른 방향에서 보면 위로 굽어있는 전형적인 모양이 고개 모양 혹은 안장과 닮았다고 하여 붙여졌다. [[등고선]]의 관점에서 이차원에서의 안장점은 두 등고선의 교차점으로 나타난다.

== 정의 ==
점 <math>(a_1,\cdots,a_n)</math>이 다변수 실함수 <math>f(x_1,\cdots,x_n)</math>의 안장점이라는 것은, [[영벡터]]가 아닌 2개의 [[공간벡터|벡터]] <math>(M_1,\cdots,M_n)</math>와 <math>(m_1,\cdots,m_n)</math>가 [[∃|존재]]하고 그 두 벡터에 대하여,
: 함수 <math>g(t)=f(a_1+tM_1,\cdots,a_n+tM_n)</math>가 <math>t = 0\ </math>에서 극대가 되고
: 함수 <math>h(t)=f(a_1+tm_1,\cdots,a_n+tm_n)</math>가 <math>t = 0\ </math>에서 극소가 된다
는 것이 성립한다는 것이다.

== 특징 ==
[[미분가능]]한 다변수실함수의 [[정류점]]([[기울기 벡터]]가 [[영벡터]]가 되는 점. 즉, [[접평면]]이 [[수평]]이 되는 점)은 안장점이 극값이다.

== 수학적 논의 ==
실수 이변수함수 <math> f(x,y) </math>의 주어진 정류점이 안장점인지 확인하는 간단한 기준은 그 점에서의 함수의 [[헤시안 행렬]]을 계산하는 것이다: 헤시안 행렬이 [[정부호행렬|부정부호행렬]] 일 때 그 점은 안장점이라 할 수 있다. <br />
예를 들면, 함수 <math> z=x^2-y^2 </math>의 정류점 <math> (0,0) </math>에서의 헤시안 행렬 값은 <math> \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} </math>으로 부정부호행렬이다. 따라서, 이 점은 안장점이다. <br />
그렇지만 이 기준은 오직 [[충분조건]]만 제공한다. 예를 들면 점 <math> (0,0) </math>은 함수 <math> z=x^4-y^4 </math>의 안장점이지만 이 함수의 헤시안 행렬 값은 부정부호행렬이 아닌 [[영행렬]]이다.<br />
대부분의 경우, [[매끈한 함수]](그래프가 곡선, 곡면 혹은 초곡면)의 안장점은 정류점이다. 그 점의 어느 근방에서도 접선의 기울기는 0이 아니다.<br />
일차원에서, 안장점은 정류점이자 변곡점이다. 이 점이 변곡점이기 때문에 이 점에서 극값을 갖지 않는다.

== 안장형 곡면 ==
안장형 곡면(saddle surface)는 하나 이상의 안장점을 포함하는 매끄러운 곡면이다. 말 안장의 독특한 모양에서 유래된 용어이다.<br />
[[유클리드 공간]]에서 2차원의 안장형 곡면의 가장 단순한 예는 2차 표면으로 쌍곡 포물면 <math> z=x^2-y^2 </math>("표준 안장면"이라고 불림)과 일엽쌍곡면(hyperboloid of one sheet)이 있다. 일상적으로 [[프링글스]] 감자칩의 모양을 예로 들 수 있다.<br />
안장형 곡면은 양의 [[가우스 곡률]]을 갖는 볼록면 및 타원곡면과는 다르게 음의 가우스곡률을 갖는다. 고전적인 3차 안장형 곡면은 원숭이 안장([https://en.wikipedia.org/wiki/Monkey_saddle Monkey saddle])이다.

== 안장점법 ==
수학에서, 안장점법([https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_steepest_descent saddle point method]) 또는 최급강하법(method of steepest descent)은 적분을 근사하는 [[라플라스 방법]]의 확장으로 [[복소 평면]]에서 정류점(안장점) 근방을 통과하는 [[경로 적분]]에서 사용하며 주로 최대 경사 지점 혹은 [[정지상]]에서 사용한다. 라플라스 방법은 실수의 적분에서 사용되는 반면에 안장점법은 복소평면에서 사용된다.<br />
이 적분은 C가 경로이고 λ가 매우 클 때 <math>\int_Cf(z)e^{\lambda g(z)}dz</math>의 형태로 나타난다.<br />
안장점법은 [[베른하르트 리만|리만]]의 [[초기하함수]]인 [[베셀 함수]]를 측정하기 위하여 [[디바이]]에 의하여 처음 소개되었다. 최급강하 경로는 최대최솟값을 갖는다.

=== 단순한 계산<ref>A modified version of Lemma 2.1.1 on page 56 in {{harvtxt|Fedoryuk|1987}}.</ref> ===
f를 정의하여 ''S'' : '''C'''<sup>''n''</sup> → '''C'''이고 ''C'' ⊂ '''C'''<sup>''n''</sup>라 하자.

만약 <math> M = \sup_{x \in C} \Re (S(x)) < \infty</math>를 만족할 때, <br />
<br />
실수 범위의 <math>\Re (\cdot)</math>에 대하여 양의실수 <math> \lambda_0 </math>가 존재하여

:<math>\int_{C} \left| f(x) e^{\lambda_0 S(x)}  \right| dx < \infty,</math>를 만족하면

:<math>\left| \int_{C} f(x) e^{\lambda S(x)}  dx \right| \leqslant \text{const}\cdot e^{\lambda M}, \qquad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad \lambda \geqslant \lambda_0.</math>

=== 축퇴되지 않은 하나의 안장점의 경우 ===
==== 기본 개념과 표기 ====
복소 n차원의 벡터 x를 정의하여

:<math>S''_{xx}(x) \equiv \left( \frac{\partial^2 S(x)}{\partial x_i \partial x_j} \right), \qquad 1\leqslant i,\, j\leqslant n,</math>

함수의 <math> ''S''(''x'') </math>의 [[헤시안 행렬]]을 뜻한다.
만약
:<math>\boldsymbol{\varphi}(x) = (\varphi_1(x), \varphi_2(x), \ldots, \varphi_k(x))</math>가 벡터 함수이면, 이는 [[야코비 행렬]]로 정의할 수 있는데, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:<math>\boldsymbol{\varphi}_x' (x) \equiv \left( \frac{\partial \varphi_i (x)}{\partial x_j} \right), \qquad 1 \leqslant i \leqslant k, \quad 1 \leqslant j \leqslant n.</math>

[[정칙함수]] S(z)의 극값을 갖는 지점(예를 들면 ∇''S''(''z''<sup>0</sup>) {{=}} 0)인 [[축퇴]]되지 않은 안장점 ''z''<sup>0</sup> ∈ '''C'''<sup>''n''</sup>은 헤시안의 항상 존재하는 행렬식을 갖는다(예를 들면, <math>\det S''_{zz}(z^0) \neq 0</math>).

==== 복소 [[모스 이론]](Complex Morse Lemma) ====
실수에서 정의된 함수에 적용되는 모스 이론은 정칙함수로 일반화될 수 있다.<ref>Lemma 3.3.2 on page 113 in {{harvtxt|Fedoryuk|1987}}</ref><br />
정칙함수 ''S''(''z'')의 축퇴되지 않은 점 ''z''<sup>0</sup>에서, ''S''(''z'') − ''S''(''z''<sup>0</sup>)가 정확히 2차인 지점이 존재한다. <br />
더 엄밀히 말하면, ''W'' ⊂ '''C'''<sup>''n''</sup>에서 ''S''를 정칙함수로 정의하고, ''W''내의 ''z''<sup>0</sup>를 ''S''의 축퇴되지 않은 안장점으로 정의하면,<br />
:∇''S''(''z''<sup>0</sup>) {{=}} 0이고 <math>\det S''_{zz}(z^0) \neq 0</math>이다.
그러면 ''U'' ⊂ ''W'' of ''z''<sup>0</sup>와 ''V'' ⊂ '''C'''<sup>''n''</sup> of ''w'' {{=}} 0 가 존재하고 전단사 정칙함수'''''φ''''' : ''V'' → ''U''에서 '''''φ'''''(0) {{=}} ''z''<sup>0</sup>이어서 <math>\forall w \in V: \qquad S(\boldsymbol{\varphi}(w)) = S(z^0) + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n \mu_j w_j^2, \quad \det\boldsymbol{\varphi}_w'(0) = 1
</math>이 존재하고,<br />
여기서 ''μ<sub>j</sub>''는 행렬 <math>S_{zz}''(z^0)</math>의 고유값이다.
[[파일:Complex Morse Lemma Illustration.pdf|섬네일|가운데|Complex Morse Lemma의 도식화]]

== 다변수 함수의 극대, 극소, 안장점<ref>리처드 쿠랑, 《수학이란 무엇인가》, 경문사, 2002, 420쪽</ref> ==
한 개의 변수로 된 함수 <math> f(x) </math>에 의해서 표시될 수 없는 극대와 극소의 문제가 있다. 그 중 가장 간단한 것은 이변수함수 <math> z=f(x,y) </math>의 극값을 찾는 경우이다. <br />
<math> f(x,y) </math>는 xy평면 위의 한 곡면의 높이 z로 표현할 수 있으며, 산의 모습으로 해석할 수 있다. <math> f(x,y) </math>의 극댓값은 산의 꼭대기에 대응하고 극솟값은 저지대나 호수의 바닥에 대응한다. 이 때 곡면이 매끈하다면 곡면에 대한 접평면은 수평이 될 것이다. <br />
안장점이란 접평면이 수평이면서 산의 정상도 아니고 계곡의 바닥도 아닌 점을 말하는데, 아래 그림을 통해 더 자세히 알아보자.
<gallery>
산의 고개.png|산의 고개
대응하는 경로도.png|대응하는 경로도
</gallery>
그림1에서처럼 산맥 위의 두 개의 산 A, B와 그 산맥의 앞쪽과 뒷쪽에 있는 두 점 C, D에 대해 C로부터 D까지 가는 경로를 생각해보자. <br />
먼저 C와 D를 지나는 평면으로 곡면을 잘라서 얻어지는 C에서 D로의 경로만을 생각해보면 이러한 길들은 각각 가장 높은 점들을 갖는다. 자르는 평면의 위치를 변화시키면 경로도 바뀌며, 이 경로들의 가장 높은 점 중에서 높이가 최소인 점을 주는 어떤 경로 CD가 존재한다. 경로 CD 위의 가장 높은 점 E가 안장점이다. 이 점의 근방에서 E보다 더 크거나 작은 값을 찾을 수 있으므로 이 점은 극값을 나타내지 않는다.<br />
같은 방법으로 점 A로부터 점 B까지의 경로를 생각하면 이 경로들은 가장 낮은 점을 갖는다. 위와 같이 A, B를 지나는 평면에 의한 곡면의 절단에 의해서 생기는 경로만을 생각해보면 어떤 경로 AB에 대하여 이 경로의 가장 낮은 점이 다른 여러 길의 가장 낮은 점보다도 더 높은 점을 나타낼 것이고, 그 점은 위와 같은 점 E가 된다. <br />
따라서 안장점 E는 가장 높은 극솟값 또는 가장 낮은 극댓값이라는 성질, 즉 극대극소값(maxi-minimum) 또는 극소극대값(mini-maximum)의 성질을 갖는 점이다.<br />
점 E에서의 접평면은 수평을 이루는데, 그 이유는 점 E는 AB의 극솟점이므로 점 E에서의 AB에 대한 접선은 수평이어야 하고, 같은 방법으로 점 E는 CD의 극댓점이므로 점 E에서 CD에 대한 접선은 수평을 이루어야 하기 때문이다.

== 같이 보기 ==
* [[극값]]
* [[쌍곡기하학]]
== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:다변수 미적분학]]
[[분류:해석기하학]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:안정성 이론]]