아핀 변환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''아핀 변환'''(-變換, {{llang|en|affine transformation}})은 [[아핀 기하학]]적 성질들을 보존하는 두 [[아핀 공간]] 사이의 [[함수]]이다.<ref name="Audin">{{서적 인용
|성=Audin
|이름=Michèle
|제목=Geometry
|언어=en
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2003
|isbn=978-3-540-43498-6
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-642-56127-6
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|성=Berger
|이름=Marcel
|저자링크=마르셀 베르제
|제목=Geometry I
|언어=en
|번역자-성1=Cole
|번역자-이름1=Michael
|번역자-성2=Levy
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|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=1987
|isbn=978-3-540-11658-5
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== 정의 ==
=== 반아핀 변환 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 두 [[벡터 공간]] <math>V</math>, <math>V'</math> 및 [[자기 동형 사상]] <math>\sigma\colon K\to K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>\sigma</math>에 대한 '''반선형 변환'''(半線型變換, {{llang|en|semilinear transformation}})은 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>T\colon V\to V'</math>이다.
:<math>T(ku+v)=\sigma(k)T(u)+T(v)\qquad\forall u,v\in V,\;k\in K</math>

[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 두 [[아핀 공간]] <math>(A,V(A))</math>, <math>(A',V(A'))</math> 및 [[자기 동형 사상]] <math>\sigma\colon K\to K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 <math>F\colon A\to A'</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 <math>\sigma</math>에 대한 '''반아핀 변환'''(半-變換, {{llang|en|semiaffine transformation}})이라고 한다.
* 어떤 점 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>v\mapsto F(a+v)-F(a)</math>는 <math>\sigma</math>에 대한 반선형 변환 <math>V(A)\to V(A')</math>이다.
* 모든 점 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>v\mapsto F(a+v)-F(a)</math>는 <math>\sigma</math>에 대한 반선형 변환 <math>V(A)\to V(A')</math>이다.
{{증명}}
만약
:<math>T_a\colon V(A)\to V(A')</math>
:<math>T_a\colon v\mapsto F(a+v)-F(a)</math>
가 반선형 변환이라면, 임의의 <math>b\in A</math> 및 <math>v\in V(A)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
T_b(v)
& =F(b+v)-F(b) \\
& =(F(b+v)-F(a))-(F(b)-F(a)) \\
& =T_a((b-a)+v)-T_a(b-a) \\
& =T_a(v)
\end{align}</math>
즉, <math>T_a</math>는 <math>a\in A</math>의 선택과 무관하다.
{{증명 끝}}

반아핀 변환 <math>F</math>로 유도된 반선형 변환
:<math>T(F)\colon V(A)\to V(A')</math>
:<math>T(F)\colon v\mapsto F(a+v)-F(a)</math>
는 점 <math>a\in A</math>의 선택과 무관하며, 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>F(b)=F(a)+T(F)(b-a)</math>
벡터 표기법을 사용하면 이는 다음과 같다.
:<math>\overrightarrow F(\overrightarrow{ab})=\overrightarrow{F(a)F(b)}</math>
여기서
:<math>T(F)=\overrightarrow F</math>
:<math>b-a=\overrightarrow{ab}</math>
이다.

=== 아핀 변환 ===
'''[[선형 변환]]'''은 [[항등 함수]] <math>\sigma=\operatorname{id}_K</math>에 대한 반선형 변환이다.

'''아핀 변환'''은 [[항등 함수]] <math>\sigma=\operatorname{id}_K</math>에 대한 반아핀 변환이다. 즉, <math>T(F)</math>가 [[선형 변환]]인 반아핀 변환이다.

== 성질 ==
모든 반아핀 변환은 [[공선점]]과 [[평행]] [[부분 아핀 공간]]을 보존한다. 모든 아핀 변환은 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]를 보존하며, 특히 [[중점 (기하학)|중점]]을 보존한다.

=== 대수적 성질 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[아핀 공간]] <math>(A,V(A))</math>와 [[벡터 공간]] <math>V'</math> 사이의 아핀 변환의 집합 <math>\operatorname{Hom}_K(A,V')</math>은 자연스럽게 벡터 공간을 이룬다. [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 두 [[아핀 공간]] <math>(A,V(A))</math>, <math>(A',V(A'))</math> 사이의 아핀 변환의 집합 <math>\operatorname{Hom}_K(A,A')</math>은 자연스러운 아핀 공간 구조를 가지며, 그 기본 벡터 공간과 차원은 다음과 같다.
:<math>V(\operatorname{Hom}_K(A,A'))=\operatorname{Hom}_K(A,V(A'))</math>
:<math>\dim(\operatorname{Hom}_K(A,A'))=\dim A'(\dim A+1)</math>

=== 아핀 군 ===
{{본문|아핀 군}}
아핀 변환 <math>F\colon A\to A'</math> 및 <math>G\colon A'\to A''</math>에 대하여, [[함수의 합성|합성]] <math>G\circ F\colon A\to A''</math> 역시 아핀 변환이다. [[전단사 함수|전단사]] 아핀 변환 <math>F\colon A\to A'</math>에 대하여, [[역함수]] <math>F^{-1}\colon A'\to A</math> 역시 아핀 변환이다. 특히, 아핀 공간 <math>(A,V(A))</math> 위의 전단사 아핀 변환들의 집합은 [[군 (수학)|군]]을 이루며, 이를 '''[[아핀 군]]''' <math>\operatorname{Aff}(A)</math>라고 한다. 아핀 군은 [[평행 이동]]들의 [[벡터 공간]] <math>V(A)</math>와 그 [[일반 선형군]] <math>\operatorname{GL}(V(A))</math>의 [[반직접곱]]과 [[동형]]이다.
:<math>\operatorname{Aff}(A)\cong V(A)\rtimes\operatorname{GL}(V(A))</math>
만약 <math>A</math>가 [[벡터 공간]]일 경우 위 동형은 자연스럽다.

=== 유한 차원 ===
==== 아핀 기하학의 기본 정리 ====
'''아핀 기하학의 기본 정리'''(-畿何學-基本定理, {{llang|en|fundamental theorem of affine geometry}})에 따르면, [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 유한 <math>d\ne 1</math>차원 [[아핀 공간]] <math>A</math> 위의 [[전단사 함수]] <math>F\colon A\to A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[공선점]]을 보존한다. 즉, 만약 <math>a,b,c\in A</math>가 [[공선점]]이라면, <math>F(a),F(b),F(c)\in A</math> 역시 [[공선점]]이다.
* 반아핀 변환이다.
특히, [[실수체]] <math>\mathbb R</math>의 [[자기 동형 사상]]은 [[항등 함수]]밖에 없으므로, 유한 <math>d\ne 1</math>차원 [[실수 아핀 공간]] <math>A</math> 위의 [[전단사 함수]] <math>F\colon A\to A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[공선점]]을 보존한다.
* 아핀 변환이다.
마찬가지로, [[복소수체]] <math>\mathbb C</math>의 [[연속 함수|연속]] [[자기 동형 사상]]은 [[항등 함수]]와 [[켤레 복소수]] <math>z\mapsto\bar z</math>밖에 없으므로 (비(非)연속 자기 동형 사상은 그 밖에도 존재한다), 유한 <math>d\ne 1</math>차원 [[복소수 아핀 공간]] <math>A</math> 위의 [[연속 함수|연속]] [[전단사 함수]] <math>F\colon A\to A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[공선점]]을 보존한다.
* 아핀 변환이거나, [[켤레 복소수]]에 대한 반아핀 변환이다.
1차원에서는 모든 함수가 [[공선점]]을 보존하므로 일반적으로 아핀 기하학의 기본 정리가 성립하지 않는다.

==== 행렬 표현 ====
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 두 유한 <math>n</math>, <math>m</math>차원 [[아핀 공간]] <math>(A,V(A))</math>, <math>(A',V(A'))</math> 사이의 아핀 변환 <math>F\colon A\to A'</math>은 [[아핀 틀]] <math>(o,B)</math>, <math>(o',B')</math>에 대하여 다음과 같은 꼴의 [[행렬]]로 표현할 수 있다.
:<math>M_{(o,B),(o',B')}(F)=
\begin{pmatrix}
1 & 0_{1\times n} \\
a_{m\times 1} & {M_{B,B'}(T(F))}_{m\times n}
\end{pmatrix}
</math>
여기서 <math>M_{B,B'}(T(F))</math>는 기저 <math>B</math>, <math>B'</math>에 대한 <math>T(F)</math>의 [[행렬]]이다.

특히, 유한 차원 [[아핀 군]] <math>\operatorname{Aff}(n;K)</math>는 [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(n+1;K)</math>의 [[부분군]]으로 여길 수 있다.

=== 유클리드 공간 ===
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^d</math> 위의 아핀 변환은 모든 도형의 초부피를 일정한 비율로 변화시키며, 이 비율은 유도된 선형 변환의 [[행렬식]]의 [[절댓값]]과 같다. 다시 말해, <math>\mathbb R^d</math> 위의 [[르베그 측도]]를 <math>\mu</math>라고 할 때, 임의의 [[가측 집합]] <math>S\subseteq\mathbb R^d</math> 및 아핀 변환 <math>F\colon\mathbb R^d\to\mathbb R^d</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\mu(F(S))=|{\det T(F)}|\mu(S)</math>

== 예 ==
아핀 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다.
* [[상수 함수]]
* [[평행 이동]]
* [[중심 닮음 변환]]
* 주어진 [[부분 아핀 공간]]에 대한, 주어진 [[여공간]]을 따른 [[반사 (기하학)|반사]]
* 주어진 [[부분 아핀 공간]]에 대한, 주어진 [[여공간]]을 따른 [[사영 작용소|사영]]

모든 반선형 변환은 반아핀 변환이다. 모든 [[선형 변환]]은 아핀 변환이다.

[[유클리드 공간]] 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다.
* [[등거리 변환]]
* [[닮음 변환]]

1차원 [[복소수 벡터 공간]] <math>\mathbb C</math> 위의 [[켤레 복소수]] 함수
:<math>\mathbb C\to\mathbb C</math>
:<math>z\mapsto\bar z</math>
는 반선형 변환이며, 특히 반아핀 변환이다.

== 같이 보기 ==
* [[아핀 기하학]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Affine transformation}}
* {{매스월드|id=AffineTransformation|title=Affine transformation}}

{{전거 통제}}

[[분류:아핀기하학]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:함수와 사상]]
[[분류:변환 (함수)]]