아핀 공간 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서 '''아핀 공간'''(affine空間, {{llang|en|affine space}})은 [[유클리드 공간]]의 아핀 기하학적 성질들을 일반화해서 만들어지는 구조이다. 아핀 공간에서는 점에서 점을 빼서 벡터를 얻거나 점에 벡터를 더해 다른 점을 얻을 수는 있지만 원점이 없으므로 점과 점을 더할 수는 없다.

== 정의 ==
아핀 공간은 [[벡터 공간]]의 [[주동차 공간]]이다. 즉, 벡터 공간이 [[정추이적 작용|정추이적으로 작용]]하는 [[집합]]이다. (벡터 공간은 벡터 덧셈에 대하여 [[아벨 군]]을 이루므로, 이는 [[충실한 작용|충실한]] [[추이적 작용]]과 동치이다.) 즉, [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 '''아핀 공간''' <math>(A,V(A),+)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된 [[대수 구조]]이다.
* 집합 <math>A</math>
* <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V(A)</math>. 그 원소를 '''[[평행 이동]]'''이라고 한다.
* <math>A</math> 위의 <math>V(A)</math>의 [[정추이적 작용]] <math>+\colon A\times V(A)\to A</math>. 즉, 이는 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.
** 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>a+0_{V(A)}=a</math>. 여기서 <math>0_{V(A)}\in V(A)</math>는 영벡터이다.
** 임의의 <math>a\in A</math> 및 <math>u,v\in V(A)</math>에 대하여, <math>(a+u)+v=a+(u+v)</math>
** 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>a+v=b</math>를 만족시키는 유일한 <math>v\in V(A)</math>가 존재한다.

다음과 같은 정의는 이와 동치이다. 체 <math>K</math> 위의 '''아핀 공간''' <math>(A,V(A),-)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.
* 집합 <math>A</math>
* <math>K</math> 위의 벡터 공간 <math>V(A)</math>
* 함수 <math>-\colon A\times A\to V(A)</math>. 또한 이는 다음 조건들을 만족시킨다.
** 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>A\to V(A)</math>, <math>b\mapsto b-a</math>는 [[전단사 함수]]이다.
** (샬 관계, {{llang|en|Chasles' relation}}) 임의의 <math>a,b,c\in A</math>에 대하여, <math>(a-b)+(b-c)=a-c</math>

두 정의 사이의 관계는 다음과 같다.
:<math>a+(b-a)=b\qquad(a,b\in A)</math>
즉, 두 점의 차는 빼는 점을 빼지는 점으로 옮기는 평행 이동과 같다.

아핀 공간 <math>A</math>의 '''차원'''(次元, {{llang|en|dimension}})은 평행 이동의 벡터 공간 <math>V(A)</math>의 차원이다. 1차원 아핀 공간을 '''아핀 직선'''(affine直線, {{llang|en|affine line}})이라고 하며, 2차원 아핀 공간을 '''아핀 평면'''(affine平面, {{llang|en|affine plane}})이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[사영 공간]]
* [[환의 스펙트럼]]
* [[아핀 대수다양체]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성=Audin
|이름=Michèle
|제목=Geometry
|언어=en
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2003
|isbn=978-3-540-43498-6
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-642-56127-6
}}
* {{서적 인용
|성=Berger
|이름=Marcel
|저자링크=마르셀 베르제
|제목=Geometry I
|언어=en
|번역자-성1=Cole
|번역자-이름1=Michael
|번역자-성2=Levy
|번역자-이름2=Silvio
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=1987
|isbn=978-3-540-11658-5
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-540-93815-6
}}
* {{서적 인용|성=Gallier|이름=Jean|제목=Geometric methods and applications|언어=en|판=2|총서=Texts in Applied Mathematics|권=38|출판사=Springer|위치=[[뉴욕]]|날짜=2011|issn=0939-2475|isbn=978-1-4419-9960-3|doi=10.1007/978-1-4419-9961-0|lccn=2011929342}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Affine space}}
* {{매스월드|id=AffineSpace|title=Affine space}}

{{전거 통제}}

[[분류:아핀기하학]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:공간 (수학)]]