아인슈타인 표기법 문서 원본 보기

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'''아인슈타인 표기법'''(Einstein notation) 또는 '''아인슈타인의 합 규약'''(Einstein summation convention)은 [[수학]]의 [[선형대수학]]을 [[물리학]]에 응용하면서 좌표계에 관한 공식을 다룰 때 유용한 표기 규칙이다. [[알베르트 아인슈타인]]이 이 표기법을 1916년에 처음 소개하였다.
<ref name=Ein1916>{{저널 인용| 저자링크 = 알베르트 아인슈타인| 공저자 = | 제목 = The Foundation of the General Theory of Relativity| 저널 = Annalen der Physik| volume = | issue = | 쪽 = | 날짜 = [[1916년]]| 신문사 = | url = http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html| 형식 = [[PDF]]| id = |확인날짜=2007-07-22| 보존url = https://www.webcitation.org/5QWa44CvC?url=http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html| 보존날짜 = 2007-07-22| url-status = dead}}</ref>

이 표기법에서, 한 항에 동일한 첨자가 윗첨자와 아랫첨자로 한 번씩 짝을 지어 나타날 경우, (마치 합의 기호가 항의 앞에 있을 때처럼) 해당 첨자가 가질 수 있는 모든 값에 대해 항의 값을 전부 더하는 것으로 이해한다. 여기에서 첨자는 보통 물리적 [[유클리드 공간]]의 세 차원을 나타내는 1,2,3이나 시공간 혹은 [[민코프스키 공간]]의 네 차원을 나타내는 0,1,2,3 혹은 1,2,3,4의 값을 취하나, 특정한 [[무한 집합]]의 임의의 원소를 취할 수 있도록 놓는 경우도 있다.

== 정의 ==
아래와 같은 식을 생각해보자.

:<math>y = \sum_{i=1}^3 c_i x^i = c_1 x^1 + c_2 x^2 + c_3 x^3</math>

매우 복잡해 보이는 식이지만 합의 기호를 사용하면 비교적 간단한 형태로 식을 바꿀 수 있다.

:<math> y  = \sum_{i=1}^n c_ix^i</math>

여기에 아인슈타인 표기법을 사용해 식을 더 간단하게 표현할 수 있다.

:<math> y = c_i x^i \,</math>

단, 여기서 위첨자가 지수승을 의미하지 않는다. (좀 더 정확히 말하면, 위첨자가 붙은 변수는 [[유클리드 벡터|벡터]], 아래첨자가 붙은 변수는 [[코벡터]]를 의미한다.) 이렇게, 아인슈타인 표기법에선 중복된 첨자를 이용해 마치 분수에서 약분을 하듯이 첨자에 대한 합을 해 첨자를 없애 합의 기호를 대체한다.

== 이 표기법으로 나타낸 연산자들 ==

=== [[내적]] ===
임의의 1 × n 행벡터 '''u<sub>i</sub>'''와 n × 1 열벡터 '''v'''<sup>i</sup>에 대해 두 벡터 '''u<sub>i</sub>''', '''v'''<sup>i</sup> 의 내적을 다음과 같이 표현할 수 있다.

:<math>u_i v^i = u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... + u_n v_n \,</math>

=== 외적 ===
임의의 m × 1 열벡터 '''u'''<sup>i</sup>와 1 × n 행벡터 '''v'''<sub>j</sub>에 대해 두 벡터 '''u'''<sup>j</sup>, '''v'''<sub>i</sub>의 [[외적]]을 다음과 같이 표현할 수 있다.

:<math>u^i v_j = A^i _j </math>

결과적으로, m × n 행렬 '''A'''를 얻게 된다.

=== 행렬과 벡터의 곱 ===
임의의 m × n 행렬 '''A'''<sup>i</sup> <sub>j</sub>와 n × 1 열벡터 '''v'''<sup>j</sup>가 주어졌을때,두 행렬의 곱의 결과를 '''u'''<sup>i</sup>라 하면 이 곱을 다음과 같이 표현할 수 있다.

:<math>u^i = A^i _j v^j</math>

=== [[대각합]] ===
임의의 n × n 행렬 '''A'''의 대각합 tr('''A''')는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:<math>\textrm{tr}(A) = A^i _i</math>

=== 벡터의 좌표와 기저를 통한 표기 ===
'''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub> 와 '''e'''<sub>3</sub>를 3차원 공간의 [[기저]]라 하자. 일반적인 표기법을 통해 벡터 '''u'''를 표시하면,

:<math>\mathbf{u} = u^1 \mathbf{e}_1 + u^2 \mathbf{e}_2 + u^3 \mathbf{e}_3 = \sum_{i = 1}^3 u^i \mathbf{e}_i</math>

이 된다. 이를 아인슈타인 표기법을 사용해 나타내면,

:<math>\mathbf{u} = u^i \mathbf{e}_i</math>

이다.

=== [[스칼라곱]] ===
두 벡터 '''a''' = [''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … , ''a''<sub>''n''</sub>], '''b''' = [''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, … , ''b''<sub>''n''</sub>]라 하자. 두 벡터의 스칼라 곱을 아인슈타인 표기법을 사용해 나타내면 아래와 같은 [[텐서]] 방정식을 얻는다.

:<math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = (u^i \mathbf{e}_i) \cdot (u^j \mathbf{e}_j) = u^i u^j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j) </math>

여기서 기저의 성질에 의해

:<math>\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \left\{\begin{matrix} 
1, & \mbox{if } i=j   \\ 
0, & \mbox{if } i \ne j   \end{matrix}\right.</math>

임을 알 수 있다. 이 텐서를 [[크로네커 델타]] δ<sub>ij</sub> 라 정의한다. 마지막으로 이 텐서를 이용해 스칼라곱을 표현하면 아래와 같은 식을 얻는다.

:<math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = a^i b^j \delta_{ij}</math>

=== [[벡터곱]] ===
두 벡터 '''u''' = [''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>, ''u''<sub>''3''</sub>], '''v''' = [''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ''v''<sub>''3''</sub>]라 하자. 두 벡터의 벡터곱을 아인슈타인 표기법을 사용해 나타내면 아래와 같은 [[텐서]] 방정식을 얻는다.

:<math> \mathbf{u} \times \mathbf{v}= (u^j \mathbf{e}_j ) \times (v^k
   \mathbf{e}_k) = u^j v^k (\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k ) </math>

여기서 기저의 성질에 의해

:<math>\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k = \varepsilon^i _{jk} \mathbf{e}_i   </math>
:<math> \varepsilon^i _{jk} = \delta^{il} \varepsilon_{ljk} </math>
:<math> \varepsilon_{ijk} = \begin{cases}
+1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (3,1,2) \mbox{ or } (2,3,1), \\
-1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ or } (2,1,3), \\
0 & \mbox{otherwise: }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i,
\end{cases} </math>

임을 알 수 있다. 여기서 텐서 ε<sub>ijk</sub>를 [[레비-시비타 기호]]라 한다. 마지막으로 이 텐서를 이용해 벡터곱을 표현하면 아래와 같은 식을 얻는다.

:<math> \mathbf{u} \times \mathbf{v}= \epsilon^i_{jk} u^j v^k\mathbf{e}_i 
   </math>.

== 같이 보기 ==
* [[텐서]]
* [[브라-켓 표기법]]
* [[레비치비타 기호]]
== 각주 ==
<references/>

[[분류:수학 표기법]]
[[분류:다중선형대수학]]
[[분류:텐서]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:알베르트 아인슈타인|표기법]]