아인슈타인 텐서 문서 원본 보기

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'''아인슈타인 텐서'''({{llang|en|Einstein tensor}})는 [[리만 다양체]]의 [[곡률]]을 나타내는 2-[[텐서]]장의 하나로, [[리치 곡률 텐서]]에 [[대각합]]의 배수를 뺀 것이다. [[비안키 항등식]]에 따라 공변보존된다. 일반 상대성 이론에서는 [[아인슈타인 방정식]]에 따라 [[에너지-운동량 텐서]]에 비례한다. 기호는 <math>G_{\mu\nu}</math>.

== 정의 ==
[[계량 텐서]] <math>g_{\mu\nu}</math>와 [[리치 곡률 텐서]] <math>R_{\mu\nu}</math>, [[스칼라 곡률]] <math>R=g_{\mu\nu}R_{\mu\nu}</math>를 생각하자.
그렇다면, 아인슈타인 텐서 <math>G_{\mu\nu}</math>는 다음과 같다.
:<math>G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12Rg_{\mu\nu}</math>.

== 성질 ==
<math>n</math>차원에서는, 아인슈타인 텐서의 [[대각합]]은 다음과 같다..
:<math>G=\frac{2-n}{2} R</math>.
즉 4차원일 경우, 아인슈타인 텐서의 대각합은 리치 텐서의 대각합의 역이다. 따라서 아인슈타인 텐서를 간혹 "역대각합({{lang|en|trace-reversed}}) 리치 텐서"로 부르기도 한다.

아인슈타인 텐서는 [[비안키 항등식]]에 의하여 공변보존된다. 즉 다음을 만족한다.
:<math>\nabla_\mu G^{\mu\nu}=0</math>.
이는 일반 상대성 이론에서 중요한 역할을 한다. 아인슈타인 방정식에 따르면, [[에너지-운동량 텐서]]는 시공의 곡률과 비례하여야 한다. 에너지-운동량은 공변보존돼야 하므로 ([[에너지 보존의 법칙]]), 곡률을 나타내는 텐서 가운데 자동적으로 공변보존되는 아인슈타인 텐서를 써야 함을 알 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[리치 곡률 텐서]]
* [[아인슈타인 방정식]]

[[분류:리만 기하학]]
[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:알베르트 아인슈타인]]