아인슈타인 다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''아인슈타인 다양체'''(Einstein多樣體, {{llang|en|Einstein manifold}})는 [[리치 곡률 텐서]]가 [[계량 텐서]]와 비례하는 [[준 리만 다양체]]다.<ref>{{서적 인용| first = Arthur L. | last = Besse | title = Einstein Manifolds | 기타= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete  | publisher = Springer  | year = 1987 | isbn = 978-3-540-74120-6|doi=10.1007/978-3-540-74311-8|issn=1431-0821}}</ref><ref name="Anderson">{{저널 인용|제목=A survey of Einstein metrics on 4-manifolds|이름=T.|성=Anderson|arxiv=0810.4830|언어=en}}</ref><ref name="Sambusetti">{{저널 인용|이름=Andrea|성=Sambusetti|제목=Einstein manifolds and obstructions to the existence of Einstein metrics|url=http://www1.mat.uniroma1.it/people/sambusetti/lavori/surveyeinstein.pdf|언어=en|access-date=2019-11-17|archive-date=2019-11-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20191117194354/http://www1.mat.uniroma1.it/people/sambusetti/lavori/surveyeinstein.pdf|url-status=}}</ref>

== 정의 ==
[[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>가 주어졌을 때, 그 [[리치 곡률]] <math>\operatorname{Ric}</math>을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)차 [[텐서장]]이다. 만약 다음 조건을 만족시키는 상수 <math>k\in\mathbb R</math>가 존재한다면, <math>(M,g)</math>를 '''아인슈타인 다양체'''라고 한다.
:<math>\operatorname{Ric}_{\mu\nu}=kg_{\mu\nu}</math>
여기서 물론 <math>k = (g^{\mu\nu}\operatorname{Ric}_{\mu\nu})/(\dim M) = (\operatorname{tr}\operatorname{Ric}) / (\dim M)</math>이다.
즉, 만약 리치 곡률 텐서에서 [[대각합]] 성분을 제거한 텐서
:<math>\operatorname{\widetilde{Ric}} = \operatorname{Ric} - \frac1{\dim M}(\operatorname{tr}\operatorname{Ric})g</math>
를 정의한다면, 다양체가 아인슈타인 다양체일 [[필요 충분 조건]]은 무대각합 리치 곡률 텐서가 0인 것이다.
:<math>\operatorname{\widetilde{Ric}} = 0</math>

[[켈러 다양체]]나 [[사사키 다양체]]가 위 조건을 만족시키는 경우, '''켈러-아인슈타인 다양체''' 또는 '''사사키-아인슈타인 다양체'''라고 부른다.

== 성질 ==
=== 매끄러움 ===
임의의 [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>에서, 국소적으로 조화 좌표계를 사용할 수 있다. 즉, 좌표 함수 <math>x^1,\dotsc,x^n</math>에 대하여
:<math>\Delta x^i = 0</math>
이다. (여기서 <math>\Delta</math>는 [[라플라스-벨트라미 연산자]]이다.) 이 좌표계에서 진공 아인슈타인 방정식은
:<math>-\frac12\Delta g_{ij} + Q(g,\partial g) = kg_{ij}</math>
의 꼴이며, <math>Q</math>는 <math>g</math>와 <math>\partial g</math>에 대한 2차 형식이다. [[리만 계량]]이 [[양의 정부호]]라면, 이는 [[타원형 편미분 방정식]]이므로, 그 해는 [[매끄러운 함수]]이다.<ref name="Anderson"/>{{rp|§2}}

=== 호몰로지 ===
임의의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 아인슈타인 [[리만 다양체]]에 대하여, 다음과 같은 성질이 성립한다.
* [[오일러 지표]]가 음수가 아니다. 구체적으로, 2차 [[특이 호몰로지]]의 [[교차 형식]]의 부호수가 <math>\tau</math>이며, 오일러 지표가 <math>\chi</math>라면, 다음과 같은 부등식이 성립한다.<ref name="Hitchin"/>
*:<math>|\tau| \le \frac 23 \chi</math>

== 응용 ==
[[일반 상대성 이론]]에서, 시공간의 차원이 3 이상일 때, [[우주 상수]] <math>\Lambda</math>를 가진 진공 해는 아인슈타인 다양체에 해당한다. 물질의 [[에너지-운동량 텐서]]가 0인 경우, [[아인슈타인 방정식]]은 다음과 같다.
:<math>R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}g^{\rho\sigma}R_{\rho\sigma}+g_{\mu\nu}\Lambda=0</math>
따라서
:<math>R_{\mu\nu}=\frac{2\Lambda}{n-2}g_{\mu\nu}</math>
임을 알 수 있다. 여기서 <math>n=\dim M</math> ([[시공간]]의 차원)이다. 즉, <math>n>2</math>인 경우, 일반 상대성 이론에서의 진공은 <math>k=2\Lambda/(n-2)</math>인 준 리만 아인슈타인 다양체를 이룬다.

== 예 ==
모든 1차원 [[준 리만 다양체]]는 ([[리치 곡률 텐서]]가 0이므로) 아인슈타인 다양체이다. 모든 2차원 [[준 리만 다양체]]는 아인슈타인 다양체이다. 이 경우, <math>k</math>는 [[가우스 곡률]]이다.

[[초구]]와 [[평면]], [[쌍곡공간]] 모두 아인슈타인 다양체다. 마찬가지로, 로런츠 [[계량 부호수]]에서는 [[더 시터르 공간]]과 [[민코프스키 공간]], [[반 더 시터르 공간]] 모두 아인슈타인 다양체다.

[[푸비니-슈투디 계량]]을 갖춘 [[복소수 사영 공간]]은 아인슈타인 다양체다. 모든 [[사원수 켈러 다양체]]는 아인슈타인 다양체다. 또한, [[칼라비-야우 다양체]]나 [[초켈러 다양체]]는 (리치 곡률이 0이므로) <math>k=0</math>인 아인슈타인 다양체다.

=== 반례 ===
다음과 같은 다양체 위에는 임의의 [[양의 정부호]] [[리만 계량]]을 주더라도 아인슈타인 다양체로 만들 수 없다.
* <math>\mathbb S^1 \times \mathbb S^2</math><ref name="Sambusetti"/>{{rp|§4}}
* <math>\mathbb S^1 \times \mathbb S^3</math><ref name="Hitchin">{{저널 인용|doi=10.4310/jdg/1214432419|url=https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214432419|제목=Compact four-dimensional Einstein manifolds|이름=Nigel|성=Hitchin|저자링크=나이절 히친|저널=Journal of Differential Geometry|권= 9|호=3|날짜=1974|쪽= 435–441|언어=en}}</ref>{{rp|435}}
* <math>\mathbb T^4 \# \mathbb T^4</math> (두 4차원 [[원환면]]의 [[연결합]])<ref name="Hitchin"/>{{rp|435}}
* <math>\underbrace{\mathbb C\mathrm P^2\#\dotsb\#\mathbb C\mathrm P^2}_n</math>, <math>n\ge4</math><ref name="Hitchin"/>{{rp|436}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Einstein manifold}}

{{전거 통제}}

[[분류:리만 다양체]]
[[분류:알베르트 아인슈타인]]
[[분류:수리물리학]]