아인슈타인-힐베르트 작용 문서 원본 보기

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[[일반 상대성 이론]]에서 '''아인슈타인-힐베르트 작용'''(Einstein-Hilbert作用, {{llang|en|Einstein–Hilbert action}})은 [[아인슈타인 방정식]]을 [[오일러-라그랑주 방정식]]으로 가지는 [[작용 (물리학)|작용]]이다. [[스칼라 곡률]]의 [[시공간]]에 대한 적분이다. [[알베르트 아인슈타인]]과 [[다비트 힐베르트]]가 발견하였다.

== 정의 ==
'''아인슈타인-힐베르트 작용''' <math>S</math>는 다음과 같다.
:<math>S =\frac1{2\kappa}\int R \sqrt{-g} \, d^4x</math>.
여기서 <math>R</math>은 [[스칼라 곡률]]이고, <math>\kappa=8\pi G/c^4</math>이다. 여기서 <math>G</math>는 [[중력 상수]]다.

필요하면 [[우주 상수]]를 더하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>S =\frac1{2\kappa}\int(R-2\Lambda)\sqrt{-g} \, d^4x</math>.

==장 방정식 유도==
이론의 완전한 작용이  아인슈타인–힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 다음 항이 더해진 것으로 주어졌다고 하자: <math>\mathcal{L}_\mathrm{M}.</math>

{{NumBlk|:|<math>S = \int \left[ \frac{1}{2\kappa} R + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x </math>.|{{EquationRef|1}}}}

그러면 [[최소 작용 원리]]는 물리법칙을 유지하기 위해선 이 작용의 역 계량에 대한 변분이 영이 되어야 함을 시사한다.
:<math>\begin{align}
0 &= \delta S \\
  &= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}
 \right] \delta g^{\mu\nu} \, \mathrm{d}^4x \\
  &= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} }
 \right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x
\end{align}.</math>

이 방정식은 임의의 변분 <math>\delta g^{\mu\nu}</math>에 대해 성립해야 하므로, 이는

{{NumBlk|:|<math>\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}} = -2\kappa \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}</math>|{{EquationRef|2}}}}

가 운동 방정식임을 보여준다.
오른쪽 항은 [[에너지 스트레스 텐서]]에 비례한다.<ref>{{인용
 | last = Blau
 | first = Matthias
 | author-link = 
 | title = Lecture Notes on General Relativity
 | journal = 
 | volume = 
 | url = http://www.blau.itp.unibe.ch/newlecturesGR.pdf
 | pages = 196
 | date = July 27, 2020 }}</ref>,

:<math>T_{\mu\nu} := \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}.</math>

왼쪽 항을 계산하기 위해 우리는 리치 스칼라 <math>R</math>의 변분과 계량의 행렬식이 필요하다. 이는 다음과 같은 교재에 잘 나와 있다.{{Harvnb|Carroll|2004}}.

===리만 텐서, 리치 텐서, 리치 스칼라의 변분===
리치 스칼라의 변분을 계산하기 위해 먼저 [[리만 곡률 텐서]]와 [[리치 텐서]]의 변분을 계산한다. [[리만 곡률 텐서]]는 다음과 같다:

:<math>{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}- \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.</math>

[[리만 곡률 텐서]]는 오직 [[레비치비타 접속]] <math>\Gamma^\lambda_{\mu\nu}</math>에 대해서만 달라지므로, 리만 텐서의 변분은 다음과 같이 계산된다:

:<math>\delta{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \delta \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \delta\Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} -\Gamma^\rho_{\nu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.</math>

이제,  <math>\delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma}</math>가 두 접속의 차이이므로, 이는 텐서이며 이의 공변미분은
:<math>\nabla_\mu \left( \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma} \right ) = \partial_\mu (\delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}) + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \delta \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} -\Gamma^\lambda_{\mu\nu} \delta \Gamma^\rho_{\lambda\sigma} - \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} \delta \Gamma^\rho_{\nu\lambda}.</math>

이제, 리만 곡률 텐서의 변분의 표현은 다음 두 항의 차이와 같음을 볼 수 있다:

:<math>\delta{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \nabla_\mu \left( \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} \right) -\nabla_\nu \left( \delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma} \right).</math>

리치 텐서에 대해서는 간단히 두 리만 텐서의 변분의 인덱스를 빼고 팔라티니 항등식을 얻는다:

:<math>\delta R_{\sigma\nu} \equiv \delta {R^\rho}_{\sigma\rho\nu} = \nabla_\rho \left( \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma} \right) - \nabla_\nu \left( \delta \Gamma^\rho_{\rho\sigma} \right).</math>

리치 스칼라는 다음과 같이 정의된다:

:<math>R = g^{\sigma\nu} R_{\sigma\nu}.</math>

그러므로, 이의 역 계량에 대한 변분 <math>g^{\sigma\nu}</math>은
:<math>\begin{align}
\delta R &= R_{\sigma\nu} \delta g^{\sigma\nu} + g^{\sigma\nu} \delta R_{\sigma\nu}\\
         &= R_{\sigma\nu} \delta g^{\sigma\nu} + \nabla_\rho \left( g^{\sigma\nu} \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - g^{\sigma\rho} \delta \Gamma^\mu_{\mu\sigma} \right)
\end{align}</math>
으로 주어진다.

두번째 줄에서 the metric compatibility of the covariant derivative, <math>\nabla_\sigma g^{\mu\nu} = 0</math>과,  리치 곡률에 대해 앞서 얻었던 결과를 썼다.

== 같이 보기 ==
* [[브랜스-딕 이론]]
* [[아인슈타인-카르탕 이론]]
* [[기번스-호킹-요크 항]]
* [[칼루차–클레인 이론]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=The variational principle of general relativity|이름=N. T.|성=Bishop |doi=10.1007/BF00756194|issn=0001-7701|저널=
General Relativity and Gravitation|날짜=1982-01|권=14|호=1|쪽=31–36|언어=en|bibcode=1982GReGr..14...31B}}
* [[David Hilbert|Hilbert, D.]] (1915) [http://einstein-annalen.mpiwg-berlin.mpg.de/related_texts/relativity_rev/hilbert'' Die Grundlagen der Physik'' (German original for free)] [https://doi.org/10.1007%2F978-1-4020-4000-9_44 (English translation for $25)], Konigl. Gesell. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395-407
{{중력이론}}
{{전거 통제}}
{{토막글|물리학}}

[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:알베르트 아인슈타인]]
[[분류:다비트 힐베르트]]