아이디얼 층 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[층 (수학)|층]] 이론에서, '''아이디얼 층'''(ideal層, {{llang|en|sheaf of ideals}})은 어떤 [[가환환]][[층 (수학)|층]]의 각 단면환에 [[아이디얼]]을 대응시키는 [[가군층]]이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref> 스킴의 [[준연접층|준연접]] 아이디얼 층은 [[닫힌 부분 스킴]]과 대응한다.

== 정의 ==
[[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>의 '''아이디얼 층''' <math>\mathcal I</math>는 다음 조건을 만족시키는, <math>\mathcal O_X</math>의 [[아벨 군]]층으로서의 부분층이다.
* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여, <math>\Gamma(U;\mathcal O_X)\cdot\Gamma(U;\mathcal I)\subseteq\Gamma(U;\mathcal I)</math>

== 성질 ==
스킴 사이의 [[닫힌 몰입]] <math>f\colon Y\to X</math>에 대하여, 그 [[핵 (수학)|핵]] <math>\ker f</math>는 <math>\mathcal O_X</math>의 [[준연접]] 아이디얼 층을 이룬다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|115, Proposition II.5.9}} 또한, 만약 <math>X</math>가 [[뇌터 스킴]]이라면 이는 [[연접층|연접]] 아이디얼 층을 이룬다.

[[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 [[일대일 대응]]이 존재한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|115, Proposition II.5.9}}
* <math>X</math>의 [[닫힌 부분 스킴]]들의 집합
* <math>X</math>의 [[준연접]] 아이디얼 층의 집합
구체적으로, [[닫힌 부분 스킴]] <math>f\colon Y\to X</math>에 대응하는 아이디얼 층은 <math>\ker f^{\#}</math>이다. 반대로, 준연접 아이디얼 층 <math>\mathcal I</math>에 대응하는 닫힌 부분 스킴은 <math>\mathcal O_X/\mathcal I</math>의 [[지지집합]]
:<math>\operatorname{supp}\mathcal O_X/\mathcal I=\{x\in X\colon(\mathcal O_X/\mathcal I)_x\ne0\}</math>
이다. 즉, [[줄기 (수학)|줄기]]가 0인 점들의 부분 집합이다. 그렇다면 <math>(\operatorname{supp}\mathcal O_X/\mathcal I,\mathcal O_X/\mathcal I)</math>는 <math>X</math>의 [[닫힌 부분 스킴]]을 이룬다.

== 예 ==
스킴 <math>(X,\mathcal O_X)</math>에서, 어떤 아핀 [[열린 덮개]]에서 구조층의 [[영근기]]로 구성된 아이디얼 층 <math>\mathcal J</math>를 생각할 수 있다. 이는 항상 [[준연접층]]이며, 이에 대응하는 [[닫힌 부분 스킴]]은 <math>X_{\operatorname{red}}</math>이다. 이는 항상 [[축소 스킴]]이며, <math>X</math>와 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서 동형이지만, 그 층 구조는 다를 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=sheaf of ideals|title=Sheaf of ideals}}
* {{nlab|id=defining sheaf|title=Defining sheaf}}

{{전거 통제}}

[[분류:스킴 이론]]
[[분류:층론]]