아이디얼 유군 문서 원본 보기

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[[대수적 수론]]과 [[가환대수학]]에서 '''아이디얼 유군'''(ideal類群, {{llang|en|ideal class group}}) 또는 '''유군'''(類群, {{llang|en|class group}})은 [[데데킨트 정역]]에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정하는 [[아벨 군]]이다. 아이디얼 유군이 [[자명군]]이 아니라면 유일 인수 분해가 성립하지 않는다.

== 정의 ==
=== 아이디얼을 통한 정의 ===
[[정역]] <math>R</math>의 0이 아닌 [[아이디얼]]들의 집합 위에 다음과 같은 동치관계를 부여하자.
:<math>\mathfrak a\sim\mathfrak b\iff\exists r,s\in R\setminus\{0\}\colon(r)\mathfrak a=(s)\mathfrak b</math>
여기서 <math>(r)</math>는 <math>r</math>로 생성되는 [[주 아이디얼]]이다. 이 관계는 [[동치 관계]]임을 보일 수 있으며, 또한 아이디얼의 곱셈과 호환된다. 즉, 이에 따른 [[동치류]] 집합은 [[가환 모노이드]]를 이룬다. 만약 <math>R</math>가 [[데데킨트 정역]]이라면 이 가환 [[모노이드]]는 [[아벨 군]]을 이룸을 보일 수 있으며, 이 아벨 군을 <math>R</math>의 '''아이디얼 유군'''이라고 하고, 아이디얼 유군의 크기를 '''유수'''(類數, {{llang|en|class number}})라고 한다.

=== 분수 아이디얼을 통한 정의 ===
아이디얼 유군은 [[분수 아이디얼]]로도 정의할 수 있다. [[정역]] <math>R</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 [[가환 모노이드]]들을 정의할 수 있다.
* <math>R</math>의 [[분수 아이디얼]]의 곱셈에 대한 [[가환 모노이드]] <math>\operatorname{FracIdeal}(R)</math>. 및 그 [[가역원군]] <math>\operatorname{FracIdeal}(R)^\times</math>. 만약 <math>R</math>가 [[데데킨트 정역]]이라면 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 [[가역원]]이다 (<math>\operatorname{FracIdeal}(R)^\times=\operatorname{FracIdeal}(R)\setminus\{0\}</math>).
* <math>R</math>의 [[주 분수 아이디얼]]의 곱셈에 대한 [[가환 모노이드]] <math>\operatorname{PrFracIdeal}(R)=\{Rr/s\colon r/s\in\operatorname{Frac}R\}</math> 및 그 [[가역원군]] <math>\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times=\{Rr/s\colon r/s\in(\operatorname{Frac}R)^\times\}</math>. (여기서 <math>\operatorname{Frac}R</math>는 [[분수체]]이다.)
이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}
&\operatorname{FracIdeal}(R)^\times&\subsetneq&\operatorname{FracIdeal}(R)\\
&\cup&&\cup\\
\operatorname{PrFracIdeal}(R)\cap\operatorname{FracIdeal}(R)^\times=&\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times&\subsetneq&\operatorname{PrFracIdeal}(R)
\end{matrix}</matH>
그렇다면 다음과 같은 [[몫군]]을 <math>R</math>의 '''아이디얼 유군'''이라고 한다.
:<math>\operatorname{Cl}(R)=\frac{\operatorname{FracIdeal}(R)^\times}{\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times}</math>

<math>R</math>의 [[분수체]] <math>\operatorname{Frac}R</math>가 [[형식적 실체]]라고 하자. <math>R</math>의 원소 <math>r\in R</math> 가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 '''완전히 양의 원소'''({{llang|en|totally positive element}})라고 한다.
* 임의의 [[순서체]] <math>(K,\le)</math>로의 매장 <math>\iota\colon\operatorname{Frac}R\hookrightarrow K</math>에 대하여, <math>\iota(r)>0</math>이다.
그렇다면, 다음과 같은 추가 [[아벨 군]]을 정의할 수 있다.
* <math>R</math>의 완전히 양의 주 분수 아이디얼({{llang|en|totally positive principal fractional ideal}})의 [[아벨 군]] <math>\operatorname{PrFracIdeal}_+(K)\subseteq\operatorname{PrFracIdeal}(K)^\times</math>. 이는 완전히 양의 원소로 생성되는 주 아이디얼들의 곱셈에 대한 [[아벨 군]]이다.
그렇다면, 다음과 같은 [[몫군]]을 <math>R</math>의 '''좁은 유군'''({{llang|en|narrow class group}})이라고 한다.
:<math>\operatorname{Cl}_+(R)=\frac{\operatorname{FracIdeal}(R)^\times}{\operatorname{PrFracIdeal}_+(R)^\times}</math>

== 성질 ==
[[대수적 수체]]의 [[대수적 정수환]]의 아이디얼 유군은 유한 [[아벨 군]]이다. (대수적 정수환이 아닌 [[데데킨트 정역]]의 경우, 아이디얼 유군이 무한 아벨 군일 수 있다.)

아이디얼 유군은 [[데데킨트 정역]]에서 [[유일 인수 분해 정역|유일 인수 분해]]가 실패하는 정도를 측정한다. 즉, [[데데킨트 정역]] <math>R</math>의 경우, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>는 [[유일 인수 분해 정역]]이다.
* <math>R</math>는 [[주 아이디얼 정역]]이다.
* <math>R</math>의 아이디얼 유군이 [[자명군]]이다.
* <math>R</math>의 유수가 1이다.

=== 2항 이차 형식과의 관계 ===
[[제곱 인수가 없는 정수]] <math>d<0</math>에 대하여, 다음 두 [[집합]] 사이의 표준적인 [[전단사 함수]]가 존재한다.
* [[이차 수체]]의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}</math>의 아이디얼 유군 <math>\operatorname{Cl}(\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)})</math>
* <math>\mathbb Q(\sqrt d)</math>의 [[수체의 판별식|판별식]]과 같은 판별식 <math>b^2-4ac</math>을 갖는 정수 계수 2항 [[이차 형식]] <math>ax^2+bxy+cy^2</math>들의 집합

[[제곱 인수가 없는 정수]] <math>d>0</math>에 대하여, 다음 두 [[집합]] 사이의 표준적인 [[전단사 함수]]가 존재한다.
* [[이차 수체]]의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}</math>의 좁은 유군 <math>\operatorname{Cl}_+(\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)})</math>
* <math>\mathbb Q(\sqrt d)</math>의 [[수체의 판별식|판별식]]과 같은 판별식 <math>b^2-4ac</math>을 갖는 정수 계수 2항 [[이차 형식]] <math>ax^2+bxy+cy^2</math>들의 집합

따라서, 이 경우 정수 계수 2항 [[이차 형식]]들의 집합은 자연스럽게 [[아벨 군]]의 구조를 가진다.

구체적으로, <math>\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}</math>의 모든 0이 아닌 분수 아이디얼 <math>\mathfrak I\in\operatorname{FracIdeal}(\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)})</math>은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.<ref>{{서적 인용|장=Equidistribution on the modular surface and ''L''-functions|이름=G.|성=Harcos|날짜=2010|장url=https://www.ma.utexas.edu/users/gharcos/heegner.pdf|제목=Homogeneous flows, moduli spaces and arithmetic. Proceedings of the Clay Mathematics Institute summer school, Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi, Pisa, Italy, June 11–July 6, 2007|쪽=377-387|총서=Clay Mathematics Proceedings|권=10|출판사=American Mathematical Society|url=http://www.claymath.org/publications/proceedings/vol-10-homogeneous-flows-moduli-spaces-and-arithmetic|isbn=978-0-8218-4742-8|언어=en|access-date=2016-04-11|archive-date=2016-04-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20160411113917/http://www.claymath.org/publications/proceedings/vol-10-homogeneous-flows-moduli-spaces-and-arithmetic|url-status=}}</ref>{{rp|Appendix A}}
:<math>\mathfrak I=\mathbb Z\omega_1+\mathbb Z\omega_2\qquad\left(\omega_1,\omega_2\in\mathbb Q(\sqrt d),\qquad\frac{\bar\omega_1\omega_2-\omega_1\bar\omega_2}{\sqrt d}>0\right)</math>
(여기서 <math>\overline{a+b\sqrt d}=a-b\sqrt d</math>이다.) 그렇다면, 위와 같은 꼴의 분수 아이디얼 <math>\mathbb Z\omega_1+\mathbb Z\omega_2</math>에 대응하는 정수 계수 2항 이차 형식은 다음과 같다.
:<math>Q_{\omega_1,\omega_2}(x,y)=\frac{(\omega_1x-\omega_2y)(\bar\omega_1x-\bar\omega_2y)}{\operatorname N(\mathfrak I)}</math>
여기서
:<math>\operatorname N(\mathfrak I)=\left|\frac{\omega_1\bar\omega_2-\bar\omega_1\omega_2}{\sqrt d}\right|>0</math>
는 [[분수 아이디얼]]의 [[절대 아이디얼 노름]]({{llang|en|absolute ideal norm}})이다. 즉, [[분수 아이디얼]] <math>\mathfrak I=\mathfrak a/r</math>에 대하여, 다음과 같다.
:<math>\operatorname N(\mathfrak a/r)=\frac{|\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}/\mathfrak a|}{|\operatorname N_{\mathbb Q(\sqrt d)/\mathbb Q}(r)|}\in\mathbb Q^+\qquad(\mathfrak a\subseteq R,\;r\in R)</math>
(여기서 분자는 [[몫환]]의 [[집합의 크기|크기]]이며, 분모는 [[체 노름]]의 [[절댓값]]이다.)

== 예 ==
일반적으로 아이디얼 유군은 매우 복잡한 패턴을 보이며, 많은 경우 계산하기 힘들다. 계산된 아이디얼 유군 또는 유수들의 예를 다음 표에 수록하였다.
:{| class="wikitable"
|-
! 수체 !! 유군 !! 유수
|-
| <math>\mathbb Q</math> || 1 || 1
|-
| <math>\mathbb Q[\sqrt{-d}]</math>, <math>d=1,2,3,7,11,19,43,67,163</math> || 1 || 1
|-
| <math>\mathbb Q[\sqrt{-5}]</math> || <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math> || 2
|-
| <math>\mathbb Q[\sqrt d]</math>, <math>d=2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17,\dots</math> {{OEIS|A003172}} || 1 || 1
|-
| <math>\mathbb Q(\zeta_n)</math>, <math>n=1,\dots,21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84</math> {{OEIS|A005848}} || 1 || 1
|-
| <math>\mathbb Q(\zeta_{23})</math> || <math>\mathbb Z/3\mathbb Z</math> || 3
|-
| <math>\mathbb Q(\zeta_{29})</math><ref name="Gerth">{{저널 인용|제목=The ideal class groups of two cyclotomic fields|doi=10.1090/S0002-9939-1980-0553367-5|이름=Frank|성=Gerth|저널=Proceedings of the American Mathematical Society|권=78|날짜=1980|쪽=321–322 |mr=553367 |언어=en}}</ref> || <math>(\mathbb Z/2\mathbb Z)^3</math>|| 8
|-
| <math>\mathbb Q(\zeta_{31})</math> || || 9
|-
| <math>\mathbb Q(\zeta_{68})</math><ref name="Gerth"/> || <math>\mathbb Z/8\mathbb Z</math> || 8
|-
| <math>\mathbb Q[x]/(x^3-x^2-2x+1)</math> || 1 || 1
|-
| <math>\mathbb Q[x]/(x^3-3x-1)</math> || 1 || 1
|-
| <math>\mathbb Q[x]/(x^3-x^2-3x+1)</math> || 1 || 1
|}

아이디얼 유군이 자명한 허수 [[이차 수체]]의 수는 유한하다. <math>\mathbb Q[\sqrt{-d}]</math>에서 가능한 <math>d</math>는 총 9개이며, 다음과 같다.
:''d'' = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 {{OEIS|A003173}}
이 수들을 [[헤그너 수]]라고 한다. 이들은 [[카를 프리드리히 가우스]]가 처음 나열하였고, [[쿠르트 헤그너]](Kurt Heegner)가 이 목록이 전부라는 것을 증명하였다.

실수 [[이차 수체]] <math>\mathbb Q[\sqrt d]</math> 가운데 유수가 1인 경우는 더 많으며, 다음과 같다.<ref name="Neukirch">{{서적 인용|성=Neukirch|이름=Jürgen|저자링크=위르겐 노이키르히|기타=Norbert Schappacher 역|날짜=1999|제목=Algebraic number theory|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|issn=0072-7830|권=322|출판사=Springer|isbn=978-3-540-65399-8|zbl=0956.11021|mr=1697859|doi=10.1007/978-3-662-03983-0|언어=en}}</ref>{{rp|37}}
:''d'' = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, … {{OEIS|A003172}}

아이디얼 유군이 자명한 [[원분체]]의 수는 유한하다. <math>\mathbb Q[\zeta_n]</math>이 유한한 경우는 다음과 같다.
:''n'' = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 {{OEIS|A005848}}
여기서 만약 <math>n\equiv2\pmod4</math>라면 <math>\mathbb Q[\zeta_n]=\mathbb Q[\zeta_{n/2}]</math>이므로, 이러한 경우는 생략하였다.

소수 계수의 [[원분체]] <math>\mathbb Q[\zeta_p]</math>의 유수는 {{OEIS|A005848}}에 의하여 주어진다.

== 같이 보기 ==
* [[유수 공식]]
* [[이델 유군]]
* [[아이디얼]]
* [[주 아이디얼 정역]]
* [[대수적 K이론]]
* [[갈루아 이론]]
* [[페르마의 마지막 정리]]
* [[피카르 군]]: [[대수기하학]]에 나타나는 유군의 일반화

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Divisor class group}}
* {{매스월드|id=IdealClass|title=Ideal class}}
* {{매스월드|id=ClassGroup|title=Class group}}
* {{매스월드|id=ClassNumber|title=Class number}}
* {{nlab|id=ideal class group|title=Ideal class group}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 수론]]
[[분류:아이디얼]]