아이디얼 노름 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 수론]]에서 '''아이디얼 노름'''({{llang|en|ideal norm}})은 임의의 [[분수 아이디얼]]에 대하여 정의되는, [[체 노름]]의 일반화이다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[데데킨트 정역]] <math>R</math>
* <math>R</math>의 [[분수체]] <math>K=\operatorname{Frac}R</math>의 [[유한 확대|유한]] [[분해 가능 확대]] <math>L/K</math>
그렇다면, [[크룰-아키즈키 정리]]에 의하여 <math>R</math>의 <math>L</math> 속의 [[정수적 폐포]] <math>R\subseteq S\subseteq K</math> 역시 [[데데킨트 정역]]을 이룬다.

그렇다면, '''상대 아이디얼 노름'''({{llang|en|relative ideal norm}})은 다음과 같은 꼴의 [[모노이드 준동형]]이다.
:<math>\operatorname N_{S/R}\colon\operatorname{FracIdeal}(S)\to\operatorname{FracIdeal}(R)</math>
여기서 <math>\operatorname{FracIdeal}(-)</math>은 ([[영 아이디얼]]을 포함하는) 모든 [[분수 아이디얼]]들로 구성된 곱셈 [[모노이드]]이다.
이는 상대 아이디얼 노름이 만족시키는 성질들로부터 공리적으로 정의할 수 있으며, [[체 노름]]을 사용하여 구체적으로도 정의할 수 있다.

=== 공리적 정의 ===
'''상대 아이디얼 노름''' <math>\operatorname N_{S/R}\colon\operatorname{FracIdeal}(S)\to\operatorname{FracIdeal}(R)</math>은 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 [[모노이드 준동형]]이다.<ref name="Serre"/>{{rp|Proposition 1.5.14}}
* <math>\operatorname N_{S/R}((0)_S)=(0)_R</math>. 여기서 <math>(0)</math>은 [[영 아이디얼]]이다.
* 임의의 [[영 아이디얼]]이 아닌 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak q\subseteq S</math> 및 <math>\mathfrak p\subseteq R</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak q\mid\mathfrak p</math>라면,
*:<math>\operatorname N_{S/R}(\mathfrak q)=\mathfrak p^{[S/\mathfrak q:R/\mathfrak p]}</math>
여기서 <math>[S/\mathfrak q:R/\mathfrak p]</math>는 (덧셈군으로서) [[부분군의 지표]]를 뜻한다.
여기서 <math>\mathfrak q\mid\mathfrak p</math>라는 것은 [[분기화]]에 대하여 <math>\mathfrak q</math>가 <math>\mathfrak p</math> 위에 있다는 것을 뜻한다. 즉, <math>\mathfrak p</math>를 <math>S</math>에서 [[소인수 분해]]하면 <math>\mathfrak q</math>는 그 [[소인수]] 가운데 하나이다.

=== 체 노름을 통한 정의 ===
아이디얼 노름은 [[체 노름]]을 통해서도 정의할 수 있다.<ref name="Janusz">{{서적 인용
   |last=Janusz
   |first=Gerald J.
   |title=Algebraic number fields
   |edition=2
   |series=Graduate Studies in Mathematics
   |volume=7
   |publisher=American Mathematical Society
   |date=1996
   |isbn=0-8218-0429-4
   |mr=1362545 | 언어=en
}}</ref>{{rp|Proposition I.8.2}}<ref name="Swinnerton-Dyer">{{서적 인용|성=Swinnerton-Dyer|이름=Peter|제목=A brief guide to algebraic number theory|날짜=2001-02|총서=London Mathematical Society Student Texts|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52100423-7|doi=10.1017/CBO9781139173360|언어=en}}</ref>{{rp|25, §4}} [[분수 아이디얼]] <math>\mathfrak A\in\operatorname{FracIdeal}S</math>의 '''아이디얼 노름''' <math>\operatorname N_{S/R}(\mathfrak A)\in\operatorname{FracIdeal}R</math>은 다음과 같은 [[분수 아이디얼]]이다.
:<math>\operatorname N_{S/R}(\mathfrak A)=\{r_1\operatorname N_{L/K}(a_1)
+r_2\operatorname N_{L/K}(a_1)+\cdots+r_n\operatorname N_{L/K}(a_n)
\colon n\in\mathbb N,\;a_1,\dots,a_n\in\mathfrak A,\;r_1,\dots,r_n\in R\}\in\operatorname{FracIdeal}(R)</math>
즉, <math>\operatorname N_{L/K}</math> 아래 <math>\mathfrak A</math>의 [[상 (수학)|상]]으로 생성되는 [[분수 아이디얼]]이다. 여기서 <math>\operatorname N_{L/K}</math>는 [[체의 확대]] <math>L/K</math>에 대한 [[체 노름]]이다.

=== 절대 아이디얼 노름 ===
[[대수적 수체]] <math>L/\mathbb Q</math>이 주어졌을 때, <math>K=\mathbb Q</math>, <math>S=\mathcal O_L</math>, <math>R=\mathbb Z</math>로 놓으면 위 조건이 성립한다. 이 경우, (<math>\mathbb Z</math>는 [[주 아이디얼 정역]]이므로) <math>\operatorname{FracIdeal}(\mathbb Z)</math>은 음이 아닌 [[유리수]]의 곱셈 모노이드 <math>\mathbb Q_{\ge0}</math>로 여길 수 있다. 따라서 아이디얼 노름은 [[모노이드 준동형]]
:<math>\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}\colon\operatorname{FracIdeal}(\mathcal O_L)\to\mathbb Q_{\ge0}</math>
을 정의하며, '''절대 아이디얼 노름'''이라고 한다.

절대 아이디얼 노름은 다음과 같이 직접적으로 정의할 수 있다. [[대수적 수체]] <math>L/\mathbb Q</math>의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_L</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a</math>의 '''절대 아이디얼 노름'''은 다음과 같다.<ref name="Neukirch">{{서적 인용|성=Neukirch|이름=Jürgen|저자링크=위르겐 노이키르히|기타=Norbert Schappacher 역|날짜=1999|제목=Algebraic number theory|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|issn=0072-7830|권=322|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-65399-8|zbl=0956.11021|mr=1697859|doi=10.1007/978-3-662-03983-0|언어=en}}</ref>{{rp|34, §I.6}}
:<math>\operatorname N_L(\mathfrak a)=\begin{cases}
|\mathcal O_L/\mathfrak a|\\
0&\mathfrak a=(0)
\end{cases}
</math>
즉, 만약 <math>\mathfrak a</math>가 [[영 아이디얼]]이 아니라면 [[몫환]] <math>\mathcal O_L/\mathfrak a</math>의 [[집합의 크기]]이다. 이는 곱셈 연산을 보존하므로, 다음과 같은 [[모노이드 준동형]]을 이룬다.
:<math>\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}\colon\operatorname{Ideal}(\mathcal O_L)\to\mathbb N</math>
:<math>\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}(\mathfrak a\mathfrak b)=\operatorname N_L(\mathfrak a)\operatorname N_K(\mathfrak b)</math>
:<math>\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}(\mathcal O_L)=1</math>
여기서 <math>\operatorname{Ideal}(\mathcal O_L)</math>은 <math>\mathcal O_L</math>의 아이디얼들의 곱셈 [[모노이드]]이며, <math>\mathbb N</math>은 [[자연수]](음이 아닌 정수)들의 곱셈 [[모노이드]]이다.

보다 일반적으로, <math>\mathcal O_L</math>-아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 <math>\mathcal O_L</math>-[[분수 아이디얼]]로 다음과 같이 일반화할 수 있다.
:<math>\operatorname N_L(\mathfrak a/b)=\operatorname N_L(\operatorname a)/\operatorname N_L((b))\qquad\left(\mathfrak a/b\in\operatorname{FracIdeal}(\mathcal O_L),\;b\in\mathcal O_L\right)</math>
(여기서 <math>(b)</math>는 <math>b</math>로 생성되는 [[주 아이디얼]]이다.) 이는 다음과 같은 [[모노이드 준동형]]을 이룬다.
:<math>\operatorname N_L\colon\operatorname{FracIdeal}(\mathcal O_L)\to\mathbb Q_{\ge0}</math>
여기서
* <math>\operatorname{FracIdeal}(\mathcal O_L)</math>은 (영 분수 아이디얼을 포함하는) <math>\mathcal O_L</math>의 [[분수 아이디얼]]들의 곱셈 [[모노이드]]이다.
* <math>\mathbb Q_{\ge0}</math>는 음이 아닌 [[유리수]]들의 곱셈 [[모노이드]]이다.

=== 아라켈로프 인자의 아이디얼 노름 ===
[[대수적 수체]] <math>L</math>의 무한 또는 유한 [[자리 (수론)|자리]] <math>\mathfrak q\mid\mathfrak p</math> (<math>\mathfrak p\in\{2,3,5,7,\dots,\infty\}</math>)에 대하여 다음을 정의하자.
* <math>\kappa(\mathfrak q)</math>는 값매김환 <math>\mathcal O_{L_{\mathfrak q}}</math>의 [[잉여류체]]이다. (만약 <math>\mathfrak q</math>가 무한 위치라면 <math>\mathcal O_{L_{\mathfrak q}}=L_{\mathfrak q}</math>이다.) 마찬가지로 <math>\kappa(\mathfrak p)</math>는 [[값매김환]] <math>\mathcal O_{K_{\mathcal p}}</math>의 잉여류체이다.
* <math>f_{\mathfrak p}=[\kappa(\mathfrak q):\kappa(\mathfrak p)]</math>는 [[분기화]] <math>S/R</math>에 대한 <math>\mathfrak q</math>의 관성 차수이다.

그렇다면 다음을 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname N(\mathfrak q)=\begin{cases}
\mathfrak q^{\nu(\mathfrak q)}&\mathfrak q\nmid\infty\\
\mathrm e^{\nu(\mathfrak q)}&\mathfrak q\mid\infty
\end{cases}</math>
그렇다면 임의의 [[아라켈로프 인자]]
:<math>\mathfrak A=\prod_{\mathfrak q}\mathfrak q^{\nu(\mathfrak q)}
\qquad\nu(\mathfrak q)\in\begin{cases}
\mathbb Z&\mathfrak q\nmid\infty\\
\mathbb R&\mathfrak q\mid\infty
\end{cases}
</math>
의 '''아이디얼 노름'''은 다음과 같다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|186, Definition III.1.5}}
:<math>\operatorname N(\mathfrak A)=\prod_{\mathfrak q}\operatorname N(\mathfrak q)^{\nu(\mathfrak q)}\in\mathbb R^+</math>

이는 [[아라켈로프 인자]]들의 아벨 군에서 양의 실수의 곱셈군 <math>\mathbb R^+</math>으로 가는 [[군 준동형]]을 정의한다.

=== 이델 노름 ===
보다 일반적으로, 두 [[대역체]] 사이의 [[체의 확대|확대]] <math>L/K</math>가 주어졌을 때, 그 [[이델 군]] 사이의 다음과 같은 '''상대 이델 노름'''({{llang|en|relative idèle norm}})이 존재한다.
:<math>\operatorname N_{L/K}\colon\mathbb A_L^\times\to\mathbb A_K^\times</math>
:<math>\operatorname N_{L/K}\colon(a_{\mathfrak q})_{\mathfrak q\in\operatorname{Places} L}\mapsto
\prod_{\mathfrak q\mid\mathfrak p}\operatorname N_{L_{\mathfrak q}/K_{\mathfrak p}}(a_{\mathfrak q})</math>
여기서
* <math>\textstyle\prod_{\mathfrak q\mid\mathfrak p}</math>는 <math>K</math>의 모든 [[자리 (수론)|자리]] <math>\mathfrak p</math> 및 <math>\mathfrak p</math>가 [[분기화]]하는 모든 <math>L</math>의 [[자리 (수론)|자리]] <math>\mathfrak q</math>들에 대한 곱이다.
* <math>\operatorname N_{L_{\mathfrak q}/K_{\mathfrak p}}</math>는 완비체의 확대 <math>L_{\mathfrak q}/K_{\mathfrak p}</math>에 대한 [[체 노름]]이다.
이는 [[연속 함수]]이며 [[군 준동형]]을 이룬다. <math>a\in L^\times</math>에 의하여 정의되는 [[주 이델]] <math>(a)\in\mathbb A_L^\times</math>의 [[상 (수학)|상]]은 <math>K</math>의 [[주 이델]]이므로, 이는 [[이델 유군]] 사이의 연속 [[군 준동형]]
:<math>C_L\to C_K</math>
을 정의한다.

마찬가지로, 다음과 같은, 양의 실수 값의 '''절대 이델 노름'''({{llang|en|absolute idèle norm}})이 존재한다.
:<math>\operatorname N_K\colon\mathbb A_K^\times\to\mathbb R^+</math>
:<math>\operatorname N_K\colon(a_{\mathfrak q})_{\mathfrak q\in\operatorname{Places}K}\mapsto\prod_{\mathfrak p}|a|_{\mathfrak p}</math>
이는 [[연속 함수]]이며 [[군 준동형]]을 이룬다. <math>a\in K^\times</math>에 의하여 생성되는 [[주 이델]] <math>(a)\in\mathbb A_K^\times</math>의 절대 이델 노름은 항상 1이다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|185, Proposition III.1.3}} 따라서 이는 [[이델 유군]]을 정의역으로 하는 연속 [[군 준동형]]
:<math>C_K\to\mathbb R^+</math>
을 정의한다.

== 성질 ==
=== 체 노름과의 관계 ===
임의의 [[대수적 수체]]의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_L</math>에서, [[주 아이디얼]]의 절대 아이디얼 노름은 [[체 노름]] <math>\operatorname N_{K/\mathbb Q}</math>의 [[절댓값]]이다. 보다 일반적으로, <math>L=\operatorname{Frac}\mathcal O_L</math>의 임의의 원소의 [[주 분수 아이디얼]] <math>(a\mathcal O_L)</math>의 절대 아이디얼 노름은 [[체 노름]]의 [[절댓값]]이다.
:<math>\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}(a\mathcal O_L)=|\operatorname N_{K/\mathbb Q}(a)|\qquad(a\in K)</math>
그러나 아이디얼 노름은 [[체 노름]]과 달리 부호를 기억하지 않는다.

=== 복소수 자리의 수 ===
임의의 [[대수적 수체]] <math>L/\mathbb Q</math>에 대하여, <math>L</math>의 복소수 [[자리 (수론)|자리]]의 수(즉, [[환 준동형]] 집합 <math>\hom_{\operatorname{CRing}}(L,\mathbb C)</math>의 [[집합의 크기|크기]]의 절반. 이는 [[복소켤레]]에 의하여 이는 항상 정수이다)를 <math>s_{\mathbb C}(L)</math>라고 하자. 그렇다면, 임의의 ([[영 아이디얼]]이 아닌) 아이디얼 <math>\mathfrak a\subseteq\mathcal O_L</math>에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|35, Lemma I.6.2}}
:<math>\left (\frac\pi2\right)^{s_{\mathbb C}(L)}\le\frac{\sqrt{\left|\Delta_L\right|}\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}(\mathfrak a)}{\min_{a\in\mathfrak a\setminus\{0\}}|\operatorname N_{L/\mathbb Q}(a)|}</math>
여기서 <math>\Delta_L</math>은 [[수체의 판별식]]을 뜻한다. 따라서, 이를 통하여 [[대수적 수체]]의 복소수 자리의 수의 [[상계 (수학)|상계]]를 얻을 수 있다.

== 역사 ==
일반적인 [[데데킨트 정역]]에 대한 아이디얼 노름은 [[장피에르 세르]]가 정의하였다.<ref name="Serre">{{서적 인용
   |last=Serre
   |first=Jean-Pierre | 저자링크=장피에르 세르
   |title=Local fields
   |series=Graduate Texts in Mathematics
   |volume=67
   |others=Marvin Jay Greenberg 역
   |publisher=Springer-Verlag
   |date=1979
   |isbn=0-387-90424-7
   |mr=554237 | 언어=en
}}</ref>{{rp|Proposition 1.5.14}}

== 같이 보기 ==
* [[체 노름]]
* [[데데킨트 제타 함수]]
== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 수론]]
[[분류:가환대수학]]
[[분류:아이디얼]]