아이디얼화 부분 모노이드 문서 원본 보기

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[[추상대수학]]에서, '''아이디얼화 부분 모노이드'''(ideal化部分monoid, {{llang|en|idealizer (submonoid)}})는 [[모노이드]]의 주어진 [[부분 집합]]의 원소의 왼쪽 및 오른쪽에 곱하여도 여전히 그 부분 집합에 속하도록 하는 모노이드 원소들로 구성된 [[부분 모노이드]]이다.

== 정의 ==
[[모노이드]] <math>M</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq M</math>의 '''아이디얼화 부분 모노이드''' <math>\operatorname I_M(S)</math>는 다음과 같은 [[부분 집합]]이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1501.01835|제목=On commutative monoid congruences|이름=Attila|성=Nagy|저널=Pure Mathematics and Applications|권=13|날짜=2002|호=3|쪽=389–392|언어=en}}</ref>
:<math>\operatorname I_M(S)=\{m\in M\colon mS\cup Sm\subseteq S\}</math>
이는 <math>M</math>의 [[부분 모노이드]]를 이룬다. 마찬가지로, 다음과 같은 두 부분 집합 역시 [[부분 모노이드]]를 이룬다.
:<math>\operatorname{LI}_M(S)=\{m\in M\colon mS\subseteq S\}</math>
:<math>\operatorname{RI}_M(S)=\{m\in M\colon Sm\subseteq S\}</math>
물론,
:<math>\operatorname I_M(S)=\operatorname{LI}_M(S)\cap\operatorname{RI}_M(S)</math>
이다.

[[가환 모노이드]]의 경우, 물론 왼쪽 · 오른쪽을 구별할 필요가 없다.

== 성질 ==
=== 군 ===
[[군 (수학)|군]]의 부분 집합의 경우, 일반적으로 <math>\operatorname I_G(S)</math> 및 <math>\operatorname{LI}_G(S)</math> 및 <math>\operatorname{RI}_G(S)</math> 가운데 어느 것도 [[부분군]]을 이룰 필요는 없으며, 다음이 성립한다.
:<math>\left(\operatorname{LI}_G(S)\right)^{-1}=\operatorname{RI}_G(S)</math>

[[유한군]] <math>G</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq G</math>의 경우, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname I_G(S)=\{g\in G\colon gS=S=Sg\}</math>
:<math>\operatorname{LI}_G(S)=\{g\in G\colon gS=S\}</math>
:<math>\operatorname{RI}_G(S)=\{g\in G\colon Sg=S\}</math>
이에 따라, [[유한군]]의 경우 이들은 각각 [[부분군]]을 이룬다. 즉, 이 경우 <math>\operatorname{LI}_G(S)</math>와 <math>\operatorname{RI}_G(S)</math>는 (일종의) <math>S</math>의 [[대칭]]들을 나타낸다.

=== 환 ===
환 <math>R</math>의 부분 덧셈 [[아벨 군]] <math>A\subseteq R</math>가 주어졌다고 하자. 이 경우, <math>A</math>의 아이디얼화 부분 모노이드 <math>\operatorname I_R(A)</math>는 <math>A</math>를 포함하는 최소의 [[양쪽 아이디얼]]이다. 마찬가지로, <math>\operatorname{LI}_R(A)</math>는 <math>A</math>를 포함하는 최소의 [[왼쪽 아이디얼]]이며, <math>\operatorname{RI}_R(A)</math>는 <math>A</math>를 포함하는 최소의 [[오른쪽 아이디얼]]이다.

만약 <math>A</math>가 추가로 <math>R</math>의 [[부분환]]을 이룬다면 (특히, 1을 포함한다면), <math>\operatorname I_R(A)</math> 역시 <math>R</math>의 [[부분환]]을 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[중심화 부분 모노이드]]
* [[정규화 부분군]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:반군론]]
[[분류:추상대수학]]
[[분류:환론]]