아쉬테카르 변수 문서 원본 보기

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[[일반 상대성이론|일반 상대성 이론]]의 [[ADM 형식|ADM 공식화]]에서 시공간은 공간 단면과 시간 축으로 나뉘어진다. 기본 변수는 공간 단면 위의 유도 계량 <math>q_{ab} (x)</math>과 계량의 켤레 운동량 <math>K^{ab} (x)</math>으로 여겨진다. 이는 [[곡률|외재적 곡률]]과 관련이 있으며 유도된 계량이 시간에 따라 어떻게 진화하는지에 대한 척도이다.<ref>''Gravitation'' by Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, published by W. H. Freeman and company. New York.</ref> 이들은 계량 [[정준좌표|표준 좌표]]이다.<ref name=":0">{{저널 인용|제목=Quantum Holonomy Theory|저널=Fortschritte der Physik|성=J. Aastrup|성2=J. M. Grimstrup|연도=2015|권=64|호=10|쪽=783|arxiv=1504.07100|bibcode=2016ForPh..64..783A|doi=10.1002/prop.201600073}}</ref>

1986년에 [[압하이 아쉬테카르]]는 [[특수 유니터리 군|SU(2)]] [[게이지 이론|게이지 장]] 및 보완 변수 측면에서 계량 표준 변수를 3차원 공간 단면에 재작성하는 특이한 방법을 나타내는 새로운 표준 변수 집합인 '''아쉬테카르''' '''변수'''를 도입했다.<ref>{{저널 인용|제목=New variables for classical and quantum gravity|저널=Physical Review Letters|성=Ashtekar|이름=A|연도=1986|권=57|호=18|쪽=2244–2247|bibcode=1986PhRvL..57.2244A|doi=10.1103/physrevlett.57.2244|pmid=10033673}}</ref>

== 개요 ==
아쉬테카르 변수는 정식 일반 상대성 이론의 연결 표현이라고 불리는 것을 제공하며, 이는 양자 일반 상대성 이론의 루프 표현<ref>{{저널 인용|제목=Knot Theory and Quantum Gravity|저널=Physical Review Letters|성=Rovelli|이름=C.|성2=Smolin|이름2=L.|연도=1988|권=61|호=10|쪽=1155–1158|bibcode=1988PhRvL..61.1155R|doi=10.1103/physrevlett.61.1155|pmid=10038716}}</ref>과 차례로 [[루프 양자중력|루프 양자 중력]] 및 [[Quantum holonomy|양자 홀로노미]] 이론으로 이어졌다.<ref name=":0" />

세 개의 직교 벡터 장 <math>E^a_i</math>, <math>i = 1,2,3</math>을 도입한다. 즉,

: <math>\delta_{ij} = q_{ab} E_i^a E_j^b</math>.

<math>E_i^a</math>는 트라이어드 또는 ''드라이바인'' (독일어 직역: "세 다리")이라고 한다. 이제 두 가지 유형의 첨자가 있다: 곡선 공간에서 일반 첨자처럼 동작하는 "공간" 첨자 <math>a,b,c</math>와 평평한 공간의 첨자처럼 동작하는 "내부" 첨자 <math>i,j,k</math>(내부 첨자를 올리고 내리는 해당 "계량"은 단순히 <math>\delta_{ij}</math>이다). 쌍대 드라이바인 <math>E^i_a</math>을<ref name=":0" />

: <math>E^i_a = q_{ab} E^b_i</math>

과 같이 정의한다. 그러면 두 개의 직교 관계가 있다: 첫 번째는

: <math>\delta^{ij} = q^{ab} E^i_a E^j_b</math>

여기서 <math>q^{ab}</math>는 계량 <math>q_{ab}</math>의 역행렬이다.  (이것은 드라이바인으로 표현한 쌍대 드라이바인에 대한 공식을 <math>q^{ab} E^i_a E^j_b</math>에 대입하고 드라이바인들의 직교성을 사용해서 얻어진다.)<ref name=":0" />

그리고 두 번째로

: <math>E_i^a E^i_b = \delta_b^a</math>.

(이것은 <math>E^i_c</math>로 축약한 <math>\delta_{ij} = q_{ab} E_j^b E_i^a</math>과 <math>E_a^j</math>의 [[일차 독립 집합|선형 독립성]]을 사용하여 얻어진다.). 그러면 첫 번째 직교성 관계(<math>E_i^a E^i_b = \delta_b^a</math> )를 이용해<ref name=":0" />

: <math>q^{ab} = \sum_{i,j=1}^{3} \delta_{ij} E_i^a E_j^b = \sum_{i=1}^{3} E_i^a E_i^b,</math>

를 보이는 것은 쉽다. 이렇게 드라이바인들의 관점에서 역 계량에 대한 공식을 얻었다. 드라이바인들은 계량의 "제곱근"으로 생각할 수 있다. 실제로 고려되는 것은

: <math>(\mathrm{det} (q)) q^{ab} = \sum_{i=1}^{3} \tilde{E}_i^a \tilde{E}_i^b</math>

이고 대신 밀도화 된 드라이바인 <math>\tilde{E}_i^a</math>을 포함한다.(밀도화는 <math display="inline">\tilde{E}_i^a = \sqrt{\det (q)} E_i^a</math>를 의미한다.) 하나는 <math>\tilde{E}_i^a</math>로부터 계량에 해당 행렬식에 의해 주어진 인수를 곱한 값이다. <math>\tilde{E}_i^a</math>와 <math>E_i^a</math>가 재배열된 동일한 정보를 포함한다는 것은 분명하다. 이제 <math>\tilde{E}_i^a</math>의 선택은 유일하지 않으며 실제로 내부 첨자 <math>i</math>와 관련하여 공간에서 (역) 계량을 변경하지 않고 국소적 [[회전]]을 수행할 수 있다. 이것이 <math>SU (2)</math> 게이지 불변성의 기원이다. 이제 내부 첨자가 있는 개체에 대해 작업을 수행하려는 경우 적절한 도함수를 도입해야 한다. 예를 들어 <math>V_i^b</math>에 대한 공변 도함수는<ref name=":0" />

: <math>D_a V_i^b = \partial_a V_i^b - \Gamma_{a \;\; i}^{\;\; j} V_j^b + \Gamma^b_{ac} V_i^c</math>

여기서 <math>\Gamma^b_{ac}</math>는 일반적인 [[레비치비타 접속]]이며 <math>\Gamma_{a \;\; i}^{\;\; j}</math>는 소위 [[스핀 접속]]이다. 짜임새 변수를<ref name=":0" />

: <math>A_a^i = \Gamma_a^i + \beta K_a^i</math>

라고 하자. 여기서, <math>\Gamma_a^i = \Gamma_{ajk} \epsilon^{jki}</math>, <math display="inline">K_a^i = K_{ab} \tilde{E}^{bi} / \sqrt{\det (q)}</math>. 밀도화 된 드라이바인은 포아송 괄호 관계<ref name=":0" />

: <math>\{ \tilde{E}_i^a (x), A^j_b (y) \} = 8\pi G_{\mathrm{Newton}} \beta \delta^a_b \delta^j_i \delta^3 (x - y)</math> .

를 만족한다는 점에서 이 3차원 <math>SU(2)</math> 게이지 장(또는 접속) <math>A^j_b</math>의 켤레 운동량 변수이다. 상수 <math>\beta</math>는 [[중력 상수|뉴턴 상수]] <math>G_{\mathrm{Newton}}</math>를 재규격화하는 인자인 이미르지 매개변수이다. 밀도화 된 드라이바인은 위에서 논의한 계량을 재구성하는 데 사용될 수 있으며 접속은 외재적 곡률을 재구성하는 데 사용될 수 있다. 아쉬테카르 변수는 <math>\beta = -i</math>를 선택하는 데 해당한다. 그러면 <math>A_a^i</math>는 키랄 스핀 접속이라고 한다. 이러한 스핀 접속을 선택한 이유는 아쉬테카르가 정준 일반 상대성 이론의 가장 까다로운 방정식, 즉 [[LQG의 해밀턴 제약|루프 양자 중력의 해밀토니안 제약 조건]]을 훨씬 단순화할 수 있었기 때문이다. 이 선택으로 인해 두 번째 강력한 항이 사라지고 나머지 항은 그의 새로운 변수에서 다항식이 되었다. 이것은 정식 양자 중력 프로그램에 대한 새로운 희망을 불러일으켰다.<ref>See the book ''Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity'' for more details on this and the subsequent development. First published in 1991. World Scientific Publishing Co. Pte. LtD.</ref> 그러나 그것은 특정한 어려움을 제시했다. 아쉬테카르 변수는 해밀토니안을 단순화하는 장점이 있지만 변수가 복소수가 되는 문제가 있다.<ref>See part III chapter 5 of ''Gauge Fields, Knots and Gravity'', John Baez, Javier P. Muniain. First published 1994. World scientific Publishing Co. Pte. LtD.</ref> 이론을 양자화할 때 복소 일반 상대성이론이 아닌 실수 일반 상대성이론을 복구하는 것은 어려운 작업이다. 또한 아쉬테카르가 작업한 해밀토니안 제약 조건은 원래 해밀토니안이 아니라 밀도화 된 버전 <math display="inline">\tilde{H} = \sqrt{\det (q)} H</math>이었다. 이를 양자 연산자로 승격하는 데 심각한 어려움이 있었다. 아쉬테카르 공식화의 일반화를 실수 접속에 사용할 수 있었던 사람은 [[Thomas Thiemann|토마스 티만]]이었다.( <math>\beta</math>가 실수 값을 취함) 그리고 특히 1996년에 두 번째 항과 함께 원래 해밀토니안을 단순화하는 방법을 고안했다. 그는 또한 이 해밀턴 제약을 루프 표현 내에서 잘 정의된 양자 연산자로 승격시킬 수 있었다.<ref>{{저널 인용|제목=Anomaly-free formulation of non-perturbative, four-dimensional Lorentzian quantum gravity|url=https://archive.org/details/sim_physics-letters-b_1996-07-11_380_3-4/page/n20|저널=Physics Letters B|성=Thiemann|이름=T.|연도=1996|권=380|호=3-4|출판사=Elsevier BV|쪽=257–264|arxiv=gr-qc/9606088|doi=10.1016/0370-2693(96)00532-1|issn=0370-2693}}</ref><ref>For an account of these developments see [[John Baez]]'s homepage entry, [https://math.ucr.edu/home/baez/hamiltonian/hamiltonian.html ''The Hamiltonian Constraint in the Loop Representation of Quantum Gravity''].</ref><ref name=":0" />

리 스몰린 & 테드 제이콥슨, 조셉 사무엘은 일반 상대성 이론의 테트라드 팔라티니 작용 원리의 자기 쌍대 공식화를 고려하여 이론의 [[라그랑지언]] 공식화가 실제로 존재한다는 것을 독립적으로 발견했다.<ref>{{저널 인용|제목=A Lagrangian basis for Ashtekar's formulation of canonical gravity|저널=Pramana - Journal of Physics|성=Samuel|이름=J.|url=https://www.ias.ac.in/describe/article/pram/028/04/0000-0000|날짜=April 1987|권=28|호=4|출판사=Indian National Science Academy|쪽=L429-L432}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=The left-handed spin connection as a variable for canonical gravity|url=https://archive.org/details/sim_physics-letters-b_1987-09-24_196b_1/page/n47|저널=Physics Letters B|성=Jacobson|이름=Ted|성2=Smolin|이름2=Lee|연도=1987|권=196|호=1|출판사=Elsevier BV|쪽=39–42|doi=10.1016/0370-2693(87)91672-8|issn=0370-2693}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Covariant action for Ashtekar's form of canonical gravity|저널=Classical and Quantum Gravity|성=Jacobson|이름=T|성2=Smolin|이름2=L|날짜=1988-04-01|권=5|호=4|출판사=IOP Publishing|쪽=583–594|doi=10.1088/0264-9381/5/4/006|issn=0264-9381}}</ref> 이러한 증명은 스피너의 관점에서 주어졌다. 새로운 변수의 순전한 텐서 증명은 골드버그<ref>{{저널 인용|제목=Triad approach to the Hamiltonian of general relativity|저널=Physical Review D|성=Goldberg|이름=J. N.|날짜=1988-04-15|권=37|호=8|출판사=American Physical Society (APS)|쪽=2116–2120|doi=10.1103/physrevd.37.2116|issn=0556-2821}}</ref>, 테트라드에 대해서는 Henneaux et al가 하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Derivation of Ashtekar variables from tetrad gravity|저널=Physical Review D|성=Henneaux|이름=M.|성2=Nelson|이름2=J. E.|날짜=1989-01-15|권=39|호=2|출판사=American Physical Society (APS)|쪽=434–437|doi=10.1103/physrevd.39.434|issn=0556-2821|성3=Schomblond|이름3=C.}}</ref><ref name=":0" />

== 추가 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=New Variables for Classical and Quantum Gravity|저널=Physical Review Letters|성=Ashtekar|이름=Abhay|연도=1986|권=57|호=18|쪽=2244&ndash;2247|bibcode=1986PhRvL..57.2244A|doi=10.1103/PhysRevLett.57.2244|pmid=10033673}}

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:루프 양자 중력]]