아벨 변환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[수학]]에서 '''아벨 변환'''(-變換, {{llang|en|Abel transformation}}) 또는 '''아벨 보조정리'''(-補助定理, {{llang|en|Abel's lemma}}) 또는 '''아벨 부분합 공식'''(-部分合公式, {{llang|en|Abel's partial summation formula}}) 또는 '''부분 합산'''(部分合算, {{llang|en|summation by parts}})은 두 [[수열]]의 곱의 합을 다른 두 수열의 곱의 합으로 바꾸는 방법이다. [[부분 적분]]의 이산적 형태다.

== 정의 ==
'''아벨 변환'''에 따르면, 임의의 [[자연수]] <math>n\ge0</math> 및 두 묶음의 [[복소수]] <math>a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb C</math> 및 <math>b_0,b_1,\dots,b_n\in\mathbb C</math>에 대하여,
:<math>A_i=a_0+a_1+\cdots+a_i\qquad(i=0,1,\dots,n)</math>
라고 하였을 때, 다음 공식이 성립한다.<ref name="김락중">{{서적 인용
|저자1=김락중
|저자2=박종안
|저자3=이춘호
|저자4=최규흥
|제목=해석학 입문
|판=3
|출판사=경문사
|날짜=2007
|isbn=978-8-96-105054-8
}}</ref>{{rp|180}}
:<math>\sum_{i=0}^na_ib_i=A_nb_n+\sum_{i=0}^{n-1}A_i(b_i-b_{i+1})</math>
보다 일반적으로, [[가환환]] <math>K</math> 및 <math>K</math>-[[가군]] <math>V</math>, <math>W</math>, <math>M</math> 및 <math>K</math>-[[쌍선형 변환]] <math>\phi\colon V\otimes W\to M</math>이 주어졌을 때, 임의의 [[자연수]] <math>n\ge0</math> 및 두 묶음의 가군 원소 <math>a_0,a_1,\dots,a_n\in V</math> 및 <math>b_0,b_1,\dots,b_n\in W</math> 및
:<math>A_i=a_0+a_1+\cdots+a_i\in V\qquad(i=0,1,\dots,n)</math>
에 대하여, 다음 공식이 성립한다.
:<math>\sum_{i=0}^n\phi(a_i,b_i)=\phi(A_n,b_n)+\sum_{i=0}^{n-1}\phi(A_i,b_i-b_{i+1})</math>
이는 단순히 식을 전개하고 재배열하여 증명할 수 있다.

== 응용 ==
아벨 변환을 사용하여, 급수의 수렴과 관련된 여러 명제들을 증명할 수 있다. 그 중 일부는 다음과 같다.
* [[교대급수 판정법]]
* [[디리클레 판정법]]
* [[아벨 판정법]]
* [[크로네커 보조정리]]

== 예 ==
=== 등차수열의 합 ===
처음 <math>n</math>개의 양의 정수의 합
:<math>\sum_{k=1}^nk=1+2+\cdots+n</math>
을 구하자.
:<math>a_n=1</math>
:<math>b_n=k</math>
라고 하자. 그렇다면 첫 번째 수열의 부분합은
:<math>A_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\underbrace{1+1+\cdots+1}_n=n</math>
이다. 따라서, 등차수열의 합에 아벨 변환을 가하면 다음을 얻는다.
:<math>\begin{align}
\sum_{k=1}^nk
&=\sum_{k=1}^n(1\cdot k)\\
&=n\cdot n+\sum_{k=1}^{n-1}k(k-(k+1))\\
&=n^2-\sum_{k=1}^{n-1}k\\
&=n^2-\left(\sum_{k=1}^nk-n\right)\\
&=n^2+n-\sum_{k=1}^nk
\end{align}
</math>
우변의 급수를 이항하고 양변을 2로 나누면, 처음 <math>n</math>개의 양의 정수의 합
:<math>\sum_{k=1}^nk=\frac{n^2+n}2</math>
을 얻는다.

=== 제곱수의 합 ===
제곱수의 합
:<math>\sum_{k=1}^nk^2=1+4+\cdots+n^2</math>
을 생각하자.
:<math>a_n=b_n=n</math>
라고 하였을 때, 등차수열의 합의 공식에 따라
:<math>A_n=a_1+\cdots+a_n=1+2+\cdots+n=\frac{n^2+n}2</math>
이다. 아벨 변환을 가한 결과는 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
\sum_{k=1}^nk^2
&=\frac{n^2+n}2\cdot n+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k^2+k}2\cdot(k-(k+1))\\
&=\frac{n^3+n^2}2-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k^2+k}2\\
&=\frac{n^3+n^2}2-\sum_{k=1}^n\frac{k^2+k}2+\frac{n^2+n}2\\
&=\frac{n^3+n^2}2-\frac12\sum_{k=1}^nk^2-\frac12\sum_{k=1}^nk+\frac{n^2+n}2\\
&=\frac{n^3+n^2}2-\frac12\sum_{k=1}^nk^2-\frac{n^2+n}4+\frac{n^2+n}2\\
&=\frac{2n^3+3n^2+n}4-\frac12\sum_{k=1}^nk^2
\end{align}
</math>
이다. 따라서, 제곱수의 합은
:<math>\sum_{k=1}^nk^2=\frac{2n^3+3n^2+n}6</math>
이다.

마찬가지로, 임의의 거듭제곱수의 합을 아벨 변환을 통하여 귀납적으로 구할 수 있다.

=== 교대급수 ===
[[교대급수]]
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}n</math>
는 [[교대급수 판정법]]에 따라 수렴한다. 이 교대급수의 [[부분합]]에 대하여 아벨 변환을 직접 적용해 보자.
:<math>a_n=(-1)^{n-1}</math>
:<math>b_n=\frac1n\qquad(n\in\mathbb Z^+)</math>
로 놓자. 그렇다면
:<math>A_n=a_1+\cdots+a_n=\begin{cases}
1&n=1,3,5,\dots\\
0&n=2,4,6,\dots
\end{cases}
</math>
이다. 따라서 아벨 변환을 적용한 결과는 다음과 같다 (<math>\lfloor x\rfloor</math>는 [[바닥 함수]]).
:<math>\begin{align}
\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}k
&=A_n\cdot\frac1n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\\
&=A_n\cdot\frac1n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k\cdot\frac1{k(k+1)}
\end{align}
</math>
여기에 극한 <math>n\to\infty</math>를 취하면 다음을 얻는다.
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}k=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n(2n-1)}</math>
새로운 급수는 [[비교 판정법]]에 의하여 수렴하므로, 교대급수 역시 수렴한다.

== 역사 ==
[[닐스 헨리크 아벨]]의 이름이 붙어 있다.

== 같이 보기 ==
* [[아벨 극한 정리]]
* [[아벨의 합 공식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Abel transformation}}
* {{매스월드|id=SummationbyParts|제목=Summation by parts}}
* {{플래닛매스|urlname=SummationByParts|제목=Summation by parts}}
* {{proofwiki|id=Abel's Lemma|제목=Abel's lemma}}

[[분류:총합법]]
[[분류:미적분학]]
[[분류:보조정리]]