아벨 극한 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''아벨 극한 정리'''(-極限定理, {{llang|en|Abel's limit theorem}})는 [[수렴 영역]]의 어떤 [[경계점]]에서 수렴하는 [[멱급수]]의 성질에 대한 정리이다.<ref name="Ahlfors">{{서적 인용|성=Ahlfors|이름=Lars Valerian|저자링크=라르스 알포르스|제목=Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable|url=https://archive.org/details/complexanalysis0000ahlf|언어=en|판=3|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|출판사=McGraw-Hill Book Company|위치=[[뉴욕]]|날짜=1979|isbn=978-1-259-06482-1|mr=0510197|zbl=0395.30001|id={{iaid|complexanalysisi0000ahlf_v7n1}}}}</ref>{{rp|41-42, §2.5}}
 
== 정의 ==
중심이 0인 [[실수]] [[멱급수]]
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\qquad(a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb R)</math>
의 [[수렴 반지름]]이 <math>0<r<\infty</math>이라고 하자. '''아벨 극한 정리'''에 따르면, 만약
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nr^n</math>
이 수렴한다면, 다음이 성립한다.<ref name="Knopp">{{서적 인용
|성=Knopp
|이름=Konrad
|번역자-성=Young
|번역자-이름=R. C. H.
|제목=Theory and Application of Infinite Series
|언어=en
|판=2
|출판사=Blackie & Son
|위치=Glasgow
|날짜=1954
}}</ref>{{rp|177, §20, Theorem 100}}
:<math>\lim_{x\to r^-}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty a_nr^n</math>
또한, 만약
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-r)^n</math>
이 수렴한다면, 다음이 성립한다.<ref name="Knopp" />{{rp|178, §20}}
:<math>\lim_{x\to(-r)^+}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty a_n(-r)^n</math>
 
== 증명 ==
편의상 <math>r=1</math>이고<ref name="wusj">{{서적 인용
|저자=伍胜健
|제목=数学分析. 第二册
|언어=zh
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2010-02
|isbn=978-7-301-15876-0
}}</ref>{{rp|220, §11.2}}
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
이 수렴한다고 가정하자. 이 경우 멱급수가 <math>[0,1]</math>에서 [[균등 수렴]]함을 보이는 것으로 족하다. 두 함수열 <math>(f_n,g_n\colon[0,1]\to\mathbb R)_{n=0}^\infty</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>f_n(x)=a_n\qquad(x\in[0,1],\;n\ge 0)</math>
:<math>g_n(x)=x^n\qquad(x\in[0,1],\;n\ge 0)</math>
그렇다면,
:<math>\sum_{n=0}^\infty f_n(x)</math>
는 <math>[0,1]</math>에서 균등 수렴하고, 임의의 <math>x\in[0,1]</math>에 대하여, <math>(g_n(x))_{n=0}^\infty</math>는 감소 수열이다. 또한, 임의의 <math>x\in[0,1]</math> 및 <math>n\ge 0</math>에 대하여,
:<math>|g_n(x)|\le 1</math>
이다. [[아벨 판정법]]에 의하여,
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math>
은 <math>[0,1]</math>에서 균등 수렴한다.
 
== 따름정리 ==
아벨 극한 정리에 따라, 만약 실수 멱급수가 수렴 구간의 오른쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 [[좌연속 함수]]이고, 왼쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 [[우연속 함수]]이다. 즉, 실수 멱급수는 전체 수렴 구간에서 [[연속 함수]]이다.<ref name="wusj" />{{rp|221, §11.2, 따름정리2}} 그러나, [[복소수]] 멱급수는 수렴 영역의 [[경계점]]에서 수렴하더라도, 이 경계점에서 연속 함수가 아닐 수 있다.

== 예 ==
아벨 극한 정리는 급수를 적분으로 변환시켜 구할 때 종종 이용된다. 이는 [[아벨의 합 공식 (적분 기법)|아벨의 합 공식]]이 [[이상 적분]]을 변수를 포함하는 이상 적분의 극한으로 변환시켜 구하는 것과 비슷하다. 예를 들어, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{3n+1}=1-\frac 14+\frac 17-\cdots</math>
를 계산해 보자. (이 급수는 [[교대급수 판정법]]에 의하여 수렴한다.) 다음과 같은 함수 <math>f\colon[0,1]\to\mathbb R</math>를 정의하자.
:<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{3n+1}}{3n+1}\qquad(x\in[0,1])</math>
그렇다면, 아벨 극한 정리에 의하여 <math>f</math>는 연속 함수이다. 임의의 <math>x\in[0,1)</math>에 대하여
:<math>f'(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{3n}=\frac 1{1+x^3}</math>
이므로, 임의의 <math>x\in[0,1)</math>에 대하여
:<math>f(x)=f(0)+\int_0^xf'(x)\mathrm dx=\frac 16\ln\frac{(x+1)^2}{x^2-x+1}+\frac 1{\sqrt 3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt 3}+\frac\pi{6\sqrt 3}</math>
이다. 따라서,
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{3n+1}=f(1)=\lim_{x\to 1^-}f(x)=\frac 13\ln 2+\frac\pi{3\sqrt 3}</math>
이다.

== 일반화 ==
=== 경계점에서 무한대로 발산하는 경우 ===
중심이 0이고 모든 계수가 음이 아닌 실수인 멱급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\qquad(a_0,a_1,a_2,\dots\ge 0)</math>
의 수렴 반지름이 <math>0<r<\infty</math>이고,
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nr^n=\infty</math>
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Knopp" />{{rp|178, §20}}
:<math>\lim_{x\to r^-}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\infty</math>
 
=== 경계점에서 수렴하지 않는 경우 ===
중심이 0인 실수 멱급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\qquad(a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb R)</math>
의 [[수렴 반지름]]이 <math>0<r<\infty</math>라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Knopp" />{{rp|189, Exercise 70}}
:<math>\liminf_{n\to\infty}\sum_{k=0}^na_kr^k\le\limsup_{x\to r^-}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\le\limsup_{n\to\infty}\sum_{k=0}^na_kr^k</math>

=== 복소수의 경우 ===
중심이 0인 [[복소수]] 멱급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\qquad(a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb C)</math>
의 수렴 반지름이 <math>0<r<\infty</math>이고, <math>|\zeta|=r</math>인 어떤 <math>\zeta\in\mathbb C</math>에 대하여
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n\zeta^n</math>
이 수렴한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{t\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n(t\zeta)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n\zeta^n</math>
보다 일반적으로, [[곡선]] <math>\gamma\colon[0,1]\to\operatorname{ball}_{\mathbb C}(0,r)\cup\{\zeta\}</math>가 다음을 만족시킨다고 하자. (여기서 <math>\operatorname{ball}</math>은 [[열린 공]]이다.)
* <math>\gamma(1)=\zeta</math>
* <math>\sup_{t\in[0,1)}\frac{|\zeta-\gamma(t)|}{|\zeta|-|\gamma(t)|}<\infty</math>
그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Ahlfors"/>{{rp|41, §2.5, Theorem 3}}
:<math>\lim_{t\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n\gamma(t)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n\zeta^n</math>
 
== 역사 ==
[[독일]]의 수학자 [[카를 프리드리히 가우스]]가 처음 제시하였다. 그러나 가우스가 제시한 증명은 증명되지 않은 결론을 사용하는 오류를 포함한다. [[노르웨이]]의 수학자 [[닐스 헨리크 아벨]]의 이름을 땄다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
|저자1=김락중
|저자2=박종안
|저자3=이춘호
|저자4=최규흥
|제목=해석학 입문
|판=3
|출판사=경문사
|날짜=2007
|isbn=978-8-96-105054-8
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Abel theorem}}
* {{매스월드|id=AbelsConvergenceTheorem|title=Abel's convergence theorem}}
 
[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:복소해석학 정리]]
[[분류:급수]]
[[분류:총합법]]
[[분류:닐스 헨리크 아벨]]