아벨의 합 공식 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|아벨의 합 공식 (적분 기법)||적분 기법}}

'''아벨의 합 공식'''(Abel's summation formula, -合 公式)은 [[해석학 (수학)|해석학]]의 간단한 공식으로, [[노르웨이]] [[수학자]] [[닐스 헨리크 아벨]]의 이름이 붙어 있다. 주로 [[해석적 수론]]에서 급수를 적분으로 표현하는 용도로 사용된다.

== 공식화 ==
<math>a_n \,</math>를 [[실수]]나 [[복소수]] 항의 [[수열]]이라 하고 <math>\phi (x) \,</math>를 <math>\mathcal{C}^1 \,</math> 급의 [[함수]]라 하자. 그러면 다음 [[항등식]]이 성립한다.

:<math>\sum_{1\le n \le x} a_n \phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_1^x A(u)\phi'(u) \, \mathrm{d}u \,</math>

여기서,

:<math>A(x):= \sum_{0 < n \le x} a_n \,.</math>

이는 사실 단순한 계산을 통해 증명할 수 있는 [[리만-스틸체스 적분]]에 대한 [[부분적분]] 공식과 다름없는 식이다. 보다 일반적으로는 다음 식이 성립한다.

:<math>\sum_{x< n\le y} a_n\phi(n) = A(y)\phi(y) - A(x)\phi(x) -\int_x^y A(u)\phi'(u)\,\mathrm{d}u \,.</math>

== 사용례 ==
=== 오일러-마스케로니 상수 ===
만약 <math>a_n = 1 \,</math> 이고 <math>\phi (x) = \frac{1}{x} \,,</math> 이라면, 이상의 정의에 따라 <math>A (x) = \lfloor x \rfloor \,</math> 이고 다음이 성립한다.

:<math> \sum_1^x \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} + \int_1^x \frac{\lfloor u \rfloor}{u^2} \, \mathrm{d}u </math>

이러한 공식을 이용해 [[오일러-마스케로니 상수]]를 표현할 수 있다.

=== 리만 제타 함수의 표현 ===
만약 <math>a_n = 1 \,</math> 이고 <math>\phi (x) = \frac{1}{x^s} \,,</math> 이라면, <math>A (x) = \lfloor x \rfloor \,</math> 이고 다음이 성립한다.

:<math> \sum_1^\infty \frac{1}{n^s} = s\int_1^\infty \frac{\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}} \mathrm{d}u \,.</math>

이 공식은 <math>\Re(s) > 1 \,</math> 에 대해서 성립한다. 이 공식을 이용하면 제타함수 <math>\zeta(s) \,</math> 가 s = 1에서 [[유수 (복소해석학)|유수]] 1인 [[특이점 (해석학)|단순극]]을 갖는다는 디리클레의 정리를 증명할 수 있다.

=== 리만 제타 함수 ===
만약 <math>a_n = \mu (n) \,</math> 이 [[뫼비우스 함수]]이고 <math>\phi (x) = \frac{1}{x^s} \,,</math> 이라면, <math>A (x) = M(u) = \sum_{n \le x} \mu (x) \,</math>는 [[메르텐스 함수]]이고 다음이 성립한다.

:<math> \sum_1^\infty \frac{\mu(n)}{n^s} = s \int_1^\infty \frac{M(u)}{u^{1+s}} \mathrm{d}u \,.</math>

마찬가지로 이 공식은 <math>\Re(s) > 1 \,</math>에서 성립한다.

== 같이 보기 ==
* [[아벨 변환]]
* [[부분적분]]

== 참고 문헌 ==
* Apostol, Tom (1976), ''Introduction to Analytic Number Theory'', Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.

[[분류:수론 정리]]
[[분류:해석학 정리]]
[[분류:총합법]]