아베수 문서 원본 보기

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[[광학]]이나 [[렌즈 설계]]에서 '''아베수'''({{Llang|en|Abbe number}})는 물질의 [[분산 (광학)|분산]](파장에 따른 [[굴절률]] 변화)을 가늠하는 척도로, ''V'' 값이 높을수록 낮은 분산을 나타낸다. 이 척도는 이것을 정의한 [[에른스트 아베]](1840–1905년)의 이름을 따 나중에 붙여졌다.
[[파일:Abbe_number_calculation.svg|오른쪽|섬네일|300x300픽셀|SF11(플린트 유리), BK7(붕규산 크라운 유리), 석영유리의 파장의 따른 굴절률과 SF11의 두가지 아베수 계산값.]]
어떤 물질의 아베수<ref>{{서적 인용|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-57769-7|제목=The Properties of Optical Glass|연도=1998|총서=Schott Series on Glass and Glass Ceramics|출판사=Schott Glass|언어=영어|doi=10.1007/978-3-642-57769-7|isbn=978-3-642-63349-2}}</ref> <math> V_\mathsf d </math>는

: <math> V_\mathsf d \equiv \frac{ n_\mathsf d - 1 }{\ n_\mathsf F - n_\mathsf C\ }</math>,

로 정의된다. <math>n_\mathsf C</math>, <math>n_\mathsf d</math>, <math>n_\mathsf F</math>는 각각 [[프라운호퍼선]]의 C(656.3[[나노미터|nm]]), d(587.56nm), F(486.1nm)에 해당되는 스펙트럼 선의 파장에서의 굴절률이다. 이렇게 정의된 아베수는 [[가시광선]]에서만 적용이 가능하고, 다른 영역대에서는 다른 스펙트럼 선을 사용해야 한다. 가시광 영역 밖에서 "V 수"({{Llang|en|V number}})라는 용어가 더 자주 쓰인다. 아베수의 더 일반적인 식은

: <math> V \equiv \frac{ n_\mathsf{center} - 1 }{ n_\mathsf{short} - n_\mathsf{long} }</math> 

로 정의하고, 여기서 <math> n_\mathsf{short} </math>은 물질의 단파장의 굴절률을, <math> n_\mathsf{long}</math>은 물질의 장파장 굴절률을, <math> n_\mathsf{center}</math>은 두 파장 사이의 파장의 굴절률을 의미한다.

아베수는 [[유리]]나 다른 광학재질의 [[색도]]를 나타내는 용어로 쓰인다. 예를 들어, 높은 분산을 가진 [[플린트 유리]]는 낮은 분산을 가지는 [[크라운 유리]]에 비해 낮은 아베수 <math>V < 55</math>를 가진다. <math>V_\mathsf d</math> 값은 아주 높은 밀도의 플린트 유리는 25아래를, [[폴리카보네이트]] 플라스틱은 34정도를, 일반적인 크라운 유리는 65이상을, 몇몇 형석 크라운 유리나 인산염 크라운 유리는 75에서 85의 값을 가진다.
[[파일:Eyesensitivity.svg|섬네일|그림에서 보이듯이, 사람 눈의 파장대 민감도 곡선의 대부분은 아베수의 기준이 되는 486.1nm(파랑색)과 656.3nm(빨간색) 안에 있다.]]
아베수의 [[역수]]는 인간의 눈에 가장 민감한 파장대에서는 분산(파장에 따른 굴절률의 변화)에 근사하게 비례하기 때문에, 아베수는 [[색지움 렌즈]] 설계에 사용된다.(그림 참조) 다른 파장대, 혹은 좀 더 정밀한 색도 보정이 필요할 때(예: [[아포크로마트 렌즈]] 설계)는 아베수보다는 분산식(<math> D = \frac{d n(\lambda )}{d \lambda }</math>)을 사용한다.

== 아베 다이어그램 ==
[[파일:Abbe-diagram_2.svg|오른쪽|섬네일|380x380픽셀|'유리 베일'이라고 알려진 아베 다이어그램. 아베수를 가로축으로, 굴절률을 세로축으로 놓고 서로 다른 유리(빨간 점)를 나눠 그린 표이다. 유리의 위치과 성분을 반영하기 위해 쇼트 사(Schott Glass)의 숫자분류코드를 사용하였다.]]
[[파일:SpiderGraph_Abbe_Number-en.svg|섬네일|250x250픽셀|기본 [[유리]]에 특정한 물질의 추가에 따른 아베수 영향<ref>{{웹 인용|url=http://glassproperties.com/abbe_number/|제목=Abbe number calculation of glasses|성=Fluegel|이름=Alexander|날짜=2007-12-07|웹사이트=Statistical Calculation and Development of Glass Properties (glassproperties.com)|확인날짜=2022-01-16}}</ref>]]
'유리 베일'이라고도 불리는 '''아베 다이어그램'''은 재질의 아베수 <math>\ V_\mathsf d\ </math>와 굴절률 <math>\ n_\mathsf d </math>를 그래프로 만들어서 만들어진다. 그래프 상의 점으로 표현된 유리들에 번호를 매기고 분류할 수 있다. 유리의 번호는 [[쇼트 AG]] 카탈로그에서 사용하는 숫자나 6자리 유리코드(glass code)를 사용하여 표현할 수 있다.

굴절률의 평균을 따르는 유리의 아베수는 [[색지움 렌즈]]의 1차 [[색수차]]를 고려할 때 부품의 [[굴절력]]을 계산하기 위해 사용된다. 색지움 이중렌즈를 설계할 때 세우는 방정식에서 아베 다이어그램에 그려진 이 두 파라미터가 들어간다.

수소나 나트륨선으로 테스트하는 것은 번잡스럽고 어렵기 때문에, 아베수의 정의는 다른 것으로 대체하는 편이다.([[국제 표준화 기구|ISO]] 7944)<ref>{{보고서 인용 |저자=Darryl Meister |날짜=2010-4-12 |제목=Understanding reference wavelengths |종류=메모 |출판사=Carl Zeiss Vision |웹사이트=opticampus.opti.vision |url=http://opticampus.opti.vision/files/memo_on_reference_wavelengths.pdf |보존url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://opticampus.opti.vision/files/memo_on_reference_wavelengths.pdf |보존날짜=2022-10-09 |url-status=live |확인날짜=2013-03-13}}</ref> 대표적으로, [[프라운호퍼선]]에서 수소선 F와 C 사이의 굴절률 변화를 측정하는 표준적인 정의 대신에, [[카드뮴]]선 F', C'을 사용하고, 그 사이의 측정하는 선을 프라운호퍼선에서 e로 표기되는 [[수은]]선으로 사용하여

: <math> V_\mathsf e = \frac{ n_\mathsf e - 1 }{\ n_\mathsf{F'} - n_\mathsf{C'}\ }</math>

으로 정의하기도 한다. 이렇게 정의하면 카드뮴선의 푸른색과 빨간색을 나타내는 파장 480.0nm, 643.8nm에서의 굴절률과 초록색 수은선의 파장 546.073nm에서의 굴절률을 얻을 수 있고, 이것은 C, F, e선보다 더 쉽게 얻어낼 수 있으면서 더 가깝다. 다른 정의 역시 비슷하게 선택할 수 있다. 아래에 표에 나와있는 표준 파장을 참고하여 <math>n</math>에 첨자를 넣어 쉽게 정할 수 있다.<ref>{{서적 인용 |저자1=L.D. Pye |저자2=V.D. Frechette |저자3=N.J. Kreidl |날짜=1977 |제목=Borate Glasses |출판사=Plenum Press |위치=뉴욕}}</ref>

{| class="wikitable"
!{{수학 변수|λ}}<br />(nm)
![[프라운호퍼선|프라운호퍼]]
[[프라운호퍼선|기호]]
!광원
!빛깔
|-
|365.01
| align="center" |i
|&#x2003; [[수은|Hg]] &#x2003;
|[[자외선|자외선 A]]
|-
|404.66
| align="center" |h
|&#x2003; [[수은|Hg]]
|보라
|-
|435.84
| align="center" |g
|&#x2003; [[수은|Hg]]
|파랑
|-
|479.99
| align="center" |F′
|&#x2003; [[카드뮴|Cd]]
|파랑
|-
|486.13
| align="center" |F
|&#x2003; [[수소|H]]
|파랑
|-
|546.07
| align="center" |e
|&#x2003; [[수은|Hg]]
|초록
|-
|587.56
| align="center" |d
|&#x2003; [[헬륨|He]]
|노랑
|-
|589.3
| align="center" |D
|&#x2003; [[나트륨|Na]]
|노랑
|-
|643.85
| align="center" |C′
|&#x2003; [[카드뮴|Cd]]
|빨강
|-
|656.27
| align="center" |C
|&#x2003; [[수소|H]]
|빨강
|-
|706.52
| align="center" |r
|&#x2003; [[헬륨|He]]
|빨강
|-
|768.2
| align="center" |A′
|&#x2003; [[칼륨|K]]
|[[적외선|적외선 A]]
|-
|852.11
| align="center" |s
|&#x2003; [[세슘|Cs]]
|[[적외선|적외선 A]]
|-
|1013.98
| align="center" |t
|&#x2003; [[수은|Hg]] &#x2003;
|[[적외선|적외선 A]]
|}

== 유도 ==
얇은 렌즈의 두께를 d라 하고 얇은 렌즈 방정식과 렌즈제작자식을 사용하자.{{출처|날짜=2024년 3월}}

: <math> P = \frac{ 1 }{\ f ~} = (n - 1) \Biggl[ \frac{ 1 }{\ R_1\ } - \frac{ 1 }{\ R_2\ } + \frac{\ (n-1)\ d ~}{\ n\ R_1 R_2\ } \Biggr] \approx (n - 1) \left( \frac{ 1 }{\ R_1\ } - \frac{ 1 }{\ R_2\ } \right)</math>

여기서 <math> d \ll \sqrt{\ R_1 R_2\ }</math>이다.

두 파장 <math>\lambda_\mathsf{short}</math>와 <math>\lambda_\mathsf{long}</math>사이의 [[굴절력]] <math>P</math>의 변화는 다음과 같이 주어진다.

: <math> \Delta P = P_\mathsf{short} - P_\mathsf{\ \!long} = (n_\mathsf s - n_\mathsf \ell) \left( \frac{ 1 }{\ R_1\ } - \frac{ 1 }{\ R_2\ } \right)</math>

여기서 <math>\ n_\mathsf s\ </math>와 <math>\ n_\mathsf \ell\ </math>은 각각 짧은 파장과 긴 파장의 굴절률이고, <math>\ n_\mathsf c</math>는 두 파장의 중앙값 파장의 굴절률이라고 하자.

굴절력의 차이는 중앙값 파장에서의 굴절력과 관계한 식으로 표현할 수 있다.

: <math>\ P_\mathsf c\ = (n_\mathsf c - 1) \left( \frac{ 1 }{\ R_1\ } - \frac{ 1 }{\ R_2\ } \right)</math>;

<math>\ n_\mathsf c - 1\ </math>을 사용하여 잘 정리하면

: <math> \Delta P = \left( n_\mathsf s - n_\mathsf\ell \right) \left( \frac{\ n_\mathsf c - 1\ }{ n_\mathsf c - 1 } \right) \left( \frac{ 1 }{\ R_1\ } - \frac{ 1 }{\ R_2\ } \right)= \left( \frac{\ \ n_\mathsf s - n_\mathsf\ell\ }{ n_\mathsf c - 1 } \right) P_\mathsf c = \frac{\ P_\mathsf c\ }{ V_\mathsf c } </math>

이고, 굴절률의 변화는 아베수 <math>\ V_\mathsf c</math>에 반비례하여

: <math> \frac{\ \Delta P\ }{ P_\mathsf c } = \frac{ 1 }{\ V_\mathsf c\ }</math>

로 나타난다.

== 같이 보기 ==
* [[아베프리즘]]
* [[아베굴절계]]
* [[코시 방정식]]
* [[셀마이어 방정식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [https://web.archive.org/web/20151011033820/http://www.lacroixoptical.com/sites/default/files/content/LaCroix%20Dynamic%20Material%20Selection%20Data%20Tool%20vJanuary%202015.xlsm Abbe graph and data for 356 glasses from Ohara, Hoya, and Schott]

[[분류:무차원 수]]