아르프 불변량 문서 원본 보기

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[[파일:10 Türk Lirası reverse.jpg|thumb|right|2009년에 발행된, 10 [[튀르키예 리라]] [[지폐]]에는 [[자히트 아르프]]의 초상화와 아르프 불변량의 정의가 등장한다.]]
[[이차 형식]] 이론에서, '''아르프 불변량'''(Arf不變量, {{llang|en|Arf invariant}})는 [[체의 표수|표수 2]]의 [[체 (수학)|체]] 위의 이차 형식을 분류하는 불변량이다.

== 정의 ==
=== <math>\mathbb F_2</math>의 경우의 정의 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 유한 차원 <math>\mathbb F_2</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>
* <math>V</math> 위의 [[비퇴화 이차 형식]] <math>Q\colon V\to K</math>
그렇다면, 항상
:<math>|\{v\in V\colon Q(v) = 0\}| \ne |\{v\in V\colon Q(v) = 1\}|</math>
임을 보일 수 있다.

<math>Q</math>의 '''아르프 불변량'''은 다음과 같다.
:<math>
\operatorname{Arf}(Q) = 
\begin{cases}
0 & |\{v\in V\colon Q(v) = 0\}| > |\{v\in V\colon Q(v) = 1\}| \\
1 & |\{v\in V\colon Q(v) = 0\}| < |\{v\in V\colon Q(v) = 1\}| \\
\end{cases}\in\mathbb F_2
</math>

=== 일반적 정의 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[체의 표수|표수 2]]의 체 <math>K</math>
* 유한 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>
* <math>V</math> 위의 [[이차 형식]] <math>Q\colon V\to K</math>
그렇다면, <math>Q</math>를 다음과 같은 꼴로 나타내는 <math>V</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>(x_1,x_2,\dotsc,x_n)</math>가 존재함을 보일 수 있다.
:<math>Q = 
\sum_{i = 1}^{\lfloor n/2\rfloor }
a_i x_{2i}^
+ x_{2i} x_{2i+1}
+ b_i x_{2i+1}^2
</math>
:<math>a_1,\dots,a_{\lfloor n/2\rfloor},b_1,\dots,b_{\lfloor n/2\rfloor}\in K</math>
특히, 만약 <math>V</math>가 [[비특이 이차 형식]]이라면 <math>n</math>은 항상 [[짝수]]이다.

그렇다면, 다음과 같은 값을 생각하자.
:<math>\sum_{i=0}^{\lfloor n/2\rfloor} a_ib_i </math>
이 값은 선택한 기저 <math>(x_1,\dotsc,x_n)</math>에 의존하지만, 다른 기저 <math>(x'_1,\dotsc,x'_n)</math>를 선택하였을 경우
:<math>\sum_{i=0}^{\lfloor n/2\rfloor}
(a_ib_i - a'_ib'_i)
\in\{a^2+a\colon a\in K\}
 </math>
가 된다. 또한, 이 집합은  <math>K</math>의 덧셈 부분군을 이룬다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>a,b\in K</math>에 대하여,
:<math>(a^2+a)+(b^2+b) = (a+b)^2 + (a+b) - 2ab =(a+b)^2 + (a+b)</math>
이다.
</div></div>
이에 따라, 덧셈 [[아벨 군]] <math>(K,+)/\{a^2+a\colon a\in K\}</math> 속에서 취한 이 합은 <math>Q</math>의 불변량이다. 이를 <math>Q</math>의 '''아르프 불변량'''이라고 한다.

특히, 만약 <math>K=\mathbb F_2</math>일 경우 <math>\{a^2+a\colon a\in\mathbb F_2\} = \{0\}</math>이므로, 아르프 불변량은 <math>\mathbb F_2</math>의 원소가 된다.

== 성질 ==
<math>K</math>가 [[체의 표수|표수 2]]의 [[완전체]]라고 하자. 그렇다면, <math>K</math> 위의 유한 차원 [[비특이 이차 형식]]의 동형류들은 항상 그 차원과 아르프 불변량에 대하여 완전히 결정된다. (그러나 이는 [[완전체]]가 아닌 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)

== 역사 ==
[[자히트 아르프]]가 1941년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Arf|이름=Cahit|저자링크=자히트 아르프|날짜=1941|제목=Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2 (Teil Ⅰ)|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권= 183|쪽=148–167 | doi=10.1515/crll.1941.183.148 | issn=0075-4102 | zbl=0025.01403 | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0183%7CLOG_0014 | 언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용 | 제목= On the Arf invariant in historical perspective | 이름=Falko | 성=Lorenz | 이름2=Peter | 성2=Roquette | 저널= Mathematische Semesterberichte | 권=57 | 호=1|쪽=73–102 | issn=0720-728X | 날짜=2010-04 | zbl = 1201.01015 |doi=10.1007/s00591-011-0085-y|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | 제목= On the Arf invariant in historical perspective, part 2 | 이름=Falko | 성=Lorenz | 이름2=Peter | 성2=Roquette | 저널= Mathematische Semesterberichte | 권=58 | 호=2 |쪽=125–136 | doi=10.1007/s00591-011-0085-y | issn=0720-728X | 날짜=2011-10 | zbl= 1244.11032 | 언어=en}}</ref>

== 응용 ==
아르프 불변량은 [[매듭 이론]] 및 <math>4k+2</math>의 꼴의 차원의 [[매끄러운 다양체]]의 분류에 등장한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Arf-invariant}}
* {{매스월드|id=ArfInvariant|title=Arf invariant}}
*  {{nlab|id=Arf invariant}}
* {{웹 인용|url=https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~roquette/arf3-withpicture.pdf | 이름=Falko | 성=Lorenz | 이름2=Peter | 성2=Roquette |  제목= Cahit Arf and his invariant  | 날짜=2011-06-17 | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:이차 형식]]