아르틴 환 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''아르틴 환'''(Artin環, {{llang|en|Artinian ring}})은 [[아이디얼]]들이 [[내림 사슬 조건]]을 만족하는 [[환 (수학)|환]]이다. 표면적으로는 [[뇌터 환]]의 반대 개념이지만, 사실 [[뇌터 환]]보다 훨씬 강한 개념이다. [[대수기하학]]적으로 아르틴 가환환의 스펙트럼은 0차원 [[뇌터 스킴|뇌터]] [[아핀 스킴]]에 해당한다.

== 정의  ==
=== 아르틴 가군 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 왼쪽·오른쪽 [[가군]] <math>M</math>의 부분 가군들의 [[격자 (순서론)|격자]] <math>\operatorname{Sub}(M)</math>가 [[내림 사슬 조건]]을 만족시킨다면, <math>M</math>이 왼쪽·오른쪽 '''아르틴 가군'''({{llang|en|Artinian module}})이라고 한다.

[[가환환]] 위의 가군의 경우, 좌우 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

=== 아르틴 환 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>가 스스로 위의 왼쪽·오른쪽 가군으로서 왼쪽·오른쪽 아르틴 가군을 이룬다면, <math>R</math>를 '''왼쪽·오른쪽 아르틴 환'''({{llang|en|left/right Artinian ring}})이라고 한다. 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환인 환을 '''아르틴 환'''이라고 한다. 환을 스스로의 가군으로 간주한다면, 부분 가군은 왼쪽·오른쪽 [[아이디얼]]이다. 따라서, 이는 왼쪽·오른쪽 아이디얼들의 [[격자 (순서론)|격자]]가 [[내림 사슬 조건]]을 만족시키는 것과 같다.

[[가환환]]의 경우 [[왼쪽 아이디얼]]과 [[오른쪽 아이디얼]]의 구분이 없으므로, 왼쪽 아르틴 환 · 오른쪽 아르틴 환 · 아르틴 환의 개념이 전부 일치한다.

== 성질 ==
=== 아르틴 가군 ===
환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>M</math> 및 부분 가군 <math>N\subseteq M</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈|출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|20, (1.20)}}
* <math>M</math>이 아르틴 가군이다.
* <math>N</math>과 <math>M/N</math> 둘 다 아르틴 가군이다.
(유사한 조건이 [[뇌터 가군]]에 대해서도 성립한다.)

왼쪽 아르틴 환 <math>R</math> 위의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[왼쪽 가군]]은 아르틴 가군이다.<ref name="Lam"/>{{rp|21, Proposition 1.21}} (유사한 조건이 [[뇌터 가군]]에 대해서도 성립한다.)

환 <math>R</math> 위의 왼쪽 가군 <math>M</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|20, (1.19)}}
* <math>M</math>은 [[뇌터 가군]]이자 아르틴 가군이다.
* <math>M</math>은 유한한 길이의 [[합성열]]을 갖는다. 즉, <math>M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_k=M</math>이 존재하며, <math>M_i/M_{i-1}</math>은 모두 [[단순 가군]]이다.
특히, [[유한 집합]]인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

=== 아르틴 환 ===
모든 [[유한환]]은 아르틴 환이다.

'''홉킨스-레비츠키 정리'''({{llang|en|Hopkins–Levitzki theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* 모든 왼쪽 아르틴 환은 [[왼쪽 뇌터 환]]이다.
* 모든 오른쪽 아르틴 환은 [[오른쪽 뇌터 환]]이다.
* 모든 (양쪽) 아르틴 환은 (양쪽) [[뇌터 환]]이다.
그러나 이는 [[가군]]에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 뇌터 가군이 아닌 아르틴 가군이 존재한다.

'''아르틴-웨더번 정리'''({{llang|en|Artin–Wedderburn theorem}})에 따르면, 임의의 환에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 왼쪽 아르틴 [[단순환]]이다.
* 오른쪽 아르틴 [[단순환]]이다.
* [[나눗셈환]] 위의 [[행렬환]]이다.

=== 아르틴 가환환 ===
[[가환환]] <math>R</math>에 대하여, 다음 조건들은 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>는 아르틴 환이다.
* <math>R</math>는 유한개의 가환 아르틴 [[국소환]]들의 곱이다.<ref name="AM">{{서적 인용 | last=Atiyah | first=Michael Francis | authorlink=마이클 아티야 | 공저자=Ian G. Macdonald | title=Introduction to commutative algebra | publisher=Westview Press | isbn=978-0-201-40751-8 | 날짜=1969|언어=en}}</ref>{{rp|90, Theorem 8.7}}
* <math>R</math>는 [[뇌터 환]]이며, [[크룰 차원]]이 0이다.<ref name="AM"/>{{rp|90, Theorem 8.5}}
* <math>R</math>는 뇌터 환이며, <math>\operatorname{Spec}R</math>는 유한 개의 점을 가지는 [[이산 공간]]이다.<ref name="AM"/>{{rp|92, Exercise 8.2ii}}
* <math>R</math>는 [[뇌터 환]]이며, <math>\operatorname{Spec}R</math>는 [[이산 공간]]이다.<ref name="AM"/>{{rp|92, Exercise 8.2iii}}
즉, [[대수기하학]]에서 아르틴 조건은 유한 [[이산 공간]]에 해당하는 조건이다.

[[정역]] <math>R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 아르틴 환이다.
* [[체 (수학)|체]]이다.

뇌터 [[국소환]] <math>(R,\mathfrak m)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="AM"/>{{rp|90, Proposition 8.6}}
* 아르틴 환이다.
* <math>\mathfrak m^n=0</math>인 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>이 존재한다.

아르틴 가환환에 대하여, 다음이 성립한다.
* 모든 [[소 아이디얼]]이 [[극대 아이디얼]]이다.<ref name="AM"/>{{rp|89, Proposition 8.1}}
* 유한 개의 [[소 아이디얼]]을 갖는다.<ref name="AM"/>{{rp|89, Proposition 8.3}}
* [[영근기]] <math>\sqrt 0</math>가 [[제이컵슨 근기]]({{llang|en|Jacobson radical}})와 같다.<ref name="AM"/>{{rp|89, Corollary 8.2}}

== 예 ==
=== 아르틴 벡터 공간 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 가군([[벡터 공간]])의 경우 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 아르틴 가군이다.
* [[뇌터 가군]]이다.
* 유한 차원 [[벡터 공간]]이다.

=== 아르틴 아벨 군 ===
[[아벨 군]]은 [[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 가군이므로, 아르틴 아벨 군을 생각할 수 있다. 이 경우, 다음 포함 관계가 성립한다.
:아벨 [[유한군]] ⊊ 아르틴 아벨 군 ⊊ [[꼬임군]]
여기서 [[꼬임군]] <math>G</math>는 임의의 원소 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>ng=0</math>인 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>가 존재하는 아벨 군이다.

=== 오른쪽 아르틴 환이 아닌 왼쪽 아르틴 환 ===
무한 차수의 [[체의 확대]]
:<math>L/K</math>
:<math>\dim_KL\ge\aleph_0</math>
가 주어졌다고 하자. (예를 들어, <math>L/K=\mathbb R/\mathbb Q</math>를 잡을 수 있다.) 그렇다면 [[삼각환]]
:<math>\begin{pmatrix}L&L\\0&K\end{pmatrix}=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\colon a,b\in L,\;c\in K\right\}</math>
를 생각하자. 이는 왼쪽 아르틴 환이자 왼쪽 [[뇌터 환]]이지만, 오른쪽 아르틴 환이나 오른쪽 뇌터 환이 아니다.<ref name="Lam"/>{{rp|22, Corollary 1.24}}

=== 아르틴 환이 아닌 0차원 국소환 ===
체 <math>K</math>에 대한 가한 무한 [[다항식환]] <math>K[x_1,x_2,\dots]</math>의 [[몫환]]
:<math>K[x_1,x_2,\dots,x_n,\dots]/(x_1,x_2^2,\dots,x_n^n,\dots)</math>
을 생각하자.<ref name="AM"/>{{rp|91}} 이는 하나의 [[소 아이디얼]]만을 갖는 0차원 [[국소환]]이지만, 뇌터 환이 아니며 따라서 아르틴 환도 아니다.

=== 아르틴 환이 아닌 0차원 가환 축소환 ===
체들의 집합 <math>\{K_i\}_{i\in I}</math>를 생각하자. 그렇다면, 이들의 [[직접곱]]
:<math>\prod_{i\in I}K_i</math>
은 항상 [[크룰 차원]]이 0차원인 [[축소환]]이다. 그렇다면 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\prod_{i\in I}K_i</math>는 아르틴 환이다.
* <math>\prod_{i\in I}K_i</math>는 뇌터 환이다.
* <math>I</math>는 유한 집합이다.
즉, 무한 개의 체들의 직접곱은 0차원 가환 [[축소환]]이지만 아르틴 환이 아니다.

=== 뇌터 가군이 아닌 아르틴 가군 ===
[[프뤼퍼 군]]
:<math>\mathbb Z(p^\infty)\cong\mathbb Z[1/p]/\mathbb Z</math>
을 생각하자. 이는 [[아벨 군]]이므로, [[정수환]] 위의 가군으로 생각할 수 있다. 이는 아르틴 가군이지만, [[뇌터 가군]]이 아니다. 예를 들어, [[부분군]]의 오름 사슬
:<math>\langle 1/p\rangle\subseteq\langle 1/p^2\rangle\subseteq\cdots</math>
은 [[최대 원소]]를 갖지 않는다.

== 역사 ==
[[에밀 아르틴]]의 이름을 따 지어졌다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Artinian ring}}
* {{eom|title=Artinian module}}
* {{매스월드|id=ArtinianRing|title=Artinian ring}}
* {{매스월드|id=ArtinianModule|title=Artinian module}}

== 같이 보기 ==
* [[뇌터 환]]
* [[크룰 차원]]

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]
[[분류:가환대수학]]