아르틴 상호 법칙 문서 원본 보기

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[[유체론]]에서 '''아르틴 상호 법칙'''(Artin相互法則, {{llang|en|Artin reciprocity law}})은 [[이차 상호 법칙]]을 [[대역체]]의 임의의 유한 [[아벨 확대]]로 일반화하는 정리이다.

== 정의 ==
<math>K</math>가 [[대수적 수체]]이며, <math>L/K</math>가 유한 [[아벨 확대]]라고 하자.

<math>K</math>의 정수환 <math>\mathcal O_K</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\subset\mathcal O_K</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak p</math>가 <math>L/K</math>에서 분기({{llang|en|ramified}})되지 않는 소수라면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 [[프로베니우스 자기 동형 사상]]
:<math>\left(\frac{L/K}{\mathfrak p}\right)\in\operatorname{Gal}(L/K)</math>
가 존재한다. <math>\mathfrak p</math> 위의, <math>\mathcal O_L</math>의 모든 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak P</math>에 대하여,
:<math>\left(\frac{L/K}{\mathfrak p}\right)(\mathfrak P)=\mathfrak P</math>
:<math>\left(\frac{L/K}{\mathfrak p}\right)(\alpha)\equiv\alpha^{N_{L/K}(\mathfrak p)}\pmod\mathfrak P</math>
<math>S</math>가 <math>L/K</math>에서 분기되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, <math>S</math>에 대하여 서로소인 [[분수 아이디얼]]들의 [[아벨 군]] <math>I^S_K</math>에서 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(L/K)</math>으로 가는 다음과 같은 [[군 준동형]]이 존재하며, 이를 '''아르틴 사상'''({{llang|en|Artin map}})이라고 한다.
:<math>\left(\frac{L/K}{\cdot}\right)\colon I^S_K\to\operatorname{Gal}(L/K)</math>
:<math>\prod_{i=1}^m\mathfrak p_i^{n_i}\mapsto\prod_{i=1}^m\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}_i}\right)^{n_i}</math>

'''아르틴 상호 법칙'''은 아르틴 사상의 [[핵 (수학)|핵]]이 무엇인지를 제시한다. 구체적으로, 어떤 [[모듈러스 (수론)|모듈러스]] <math>\mathfrak c</math>에 대하여, [[군 준동형]]
:<math>I^S_K\to\operatorname{Gal}(L/K)</math>
의 핵은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>i(K_{\mathfrak m,1})\operatorname N_{L/K}(I^{\mathfrak m}_L)</math>
여기서 <math>K_{\mathfrak m,1}</math>은 <math>\mathfrak m</math>에 대한 [[반직선 유군|반직선]]이며, <math>\operatorname N_{L/K}</math>는 [[체 노름]]이다. 이러한 조건을 만족시키는 [[모듈러스 (수론)|모듈러스]]를 <math>L/K</math>의 '''정의 모듈러스'''({{llang|en|defining modulus}})라고 하며, 정의 모듈러스 가운데 가장 작은 것을 <math>L/K</math>의 '''인도자'''(引導者, {{llang|en|conductor}})라고 한다.

== 예 ==
=== 이차 수체 ===
[[이차 수체]] <math>L=\mathbb Q[\sqrt m]</math>을 생각하자 (<math>m</math>은 [[제곱 인수가 없는 정수]]). 그렇다면 <math>K/\mathbb Q</math>에서 분기되는 소수들은 다음과 같다.
* 만약 <math>m\equiv1\pmod4</math>인 경우, <math>p\mid m</math>인 소수 <math>p</math>. 이 경우, [[수체의 판별식|판별식]]은 <math>\Delta=m</math>이다.
* 만약 <math>m\not\equiv1\pmod4</math>인 경우, <math>p\mid m</math>인 홀수 소수 <math>p</math> 및 2. 이 경우, [[수체의 판별식|판별식]]은 <math>\Delta=4m</math>이다.
이 경우, 갈루아 군은
:<math>\operatorname{Gal}(\mathbb Q[\sqrt m]/\mathbb Q)=\{+1,-1\}</math>
이다. 이 경우, 아르틴 사상은 <math>m</math>의 인수가 아닌 소수에 대하여 정의된 [[르장드르 기호]]이다.
:<math>\left(\frac m\cdot\right)\colon p\mapsto\left(\frac\Delta p\right)</math>

=== 원분체 ===
[[원분체]] <math>L=\mathbb Q[\zeta_m]</math>을 생각하자 (<math>m</math>은 소수이거나 4의 배수). 그렇다면 갈루아 군은
:<math>\operatorname{Gal}(\mathbb Q[\zeta_m]/\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/(m))^\times</math>
이다. 여기서 <math>(\mathbb Z/(m))^\times</math>은 <math>\mathbb Z/(m)</math>의 [[가역원군]]이다. 구체적으로, <math>a\in(\mathbb Z/(m))^\times</math>은 갈루아 군의 원소 <math>\zeta_\mapsto\zeta_m^a</math>에 대응된다.

이 경우, <math>m</math>의 인수가 아닌 소수 <math>p</math>에 대하여, 아르틴 사상은
:<math>(\bmod m)\colon p\mapsto (p\bmod m)\in(\mathbb Z/(m))^\times</math>
이다.

== 역사 ==
[[에밀 아르틴]]이 1924년~1930년 동안 3편의 논문에서 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Emil|성=Artin|저자링크=에밀 아르틴|제목=Über eine neue Art von ''L''-Reihen|저널=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg|권=3|호=1|날짜=1924|쪽=89–108|doi=10.1007/BF02954618|issn=0025-5858|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Emil|성=Artin|저자링크=에밀 아르틴|제목=Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes|저널=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg|권=5|호=1|날짜=1927|쪽=353–363|doi=10.1007/BF02952531|issn=0025-5858|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Emil|성=Artin|저자링크=에밀 아르틴|제목=Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes|저널=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg|권=7|호=1|날짜=1930|doi=10.1007/BF02941159|쪽=46–51|issn=0025-5858|언어=de}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[아르틴 L-함수]]
* [[모듈러스 (수론)| 모듈러스]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Artin | first=Emil | authorlink=에밀 아르틴|공저자=[[존 테이트|John Tate]] | 제목= Class field theory | isbn=978-0-201-51011-9 | 날짜=1990 | publisher=Addison-Wesley|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Childress|이름=Nancy|제목=Class field theory|총서=Universitext|issn=0172-5939|날짜=2008|isbn= 978-0-387-72489-8|doi=10.1007/978-0-387-72490-4|zbl=1165.11001|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Artin reciprocity law and Mersenne primes|이름=H.W., Jr.|성=Lenstra|공저자=P. Stevenhagen|url=http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2000-01-1-044.pdf|저널=Nieuw Archief voor Wiskunde (serie 5)|권=1|호=1|날짜=2000-03|쪽=44–54|언어=en}}
* {{서적 인용|장=On the History of the Artin Reciprocity Law in Abelian Extensions of Algebraic Number Fields: How Artin was Led to his Reciprocity Law|이름=Günther|성=Frei|제목=The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, 2002|날짜=2004|쪽=267–294|isbn=978-3-642-62350-9|doi=10.1007/978-3-642-18908-1_8|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=ArtinReciprocity|title=Artin reciprocity}}
* {{매스월드|id=ArtinMap|title=Artin map}}
* {{매스월드|id=ArtinSymbol|title=Artin symbol}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Artin+reciprocity+law|제목=Artin reciprocity law|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/06/22/the-artin-reciprocity-law/|제목=The Artin reciprocity law|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|이름=Akhil|성= Mathew|날짜=2010-06-22|언어=en}}

[[분류:유체론]]