아르키메데스 성질 문서 원본 보기

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[[추상대수학]]에서 '''아르키메데스 성질'''(Ἀρχιμήδης性質, {{llang|en|Archimedean property}})이란 고대 그리스 수학자 [[아르키메데스]]의 이름을 딴 성질로서, 어떤 [[군 (수학)|군]], [[체 (수학)|체]] 또는 다른 [[대수 구조]]에서 성립하는 성질을 가리킨다. 간단하게 말하면, 대수적 집합 내에 [[무한대|무한히 크거나]], [[무한소|무한히 작은]] 원소가 없는 것을 의미한다.

== 정의 ==
=== 아르키메데스 전순서군 ===
[[전순서]]를 가지는 군 G의 양의 원소 ''x'', ''y''가 있을 때, 모든 자연수 ''n''에 대하여 ''nx''가 ''y''보다 작을 경우, ''x''는 ''y''에 대하여 [[무한소]]라고 한다. 즉, 모든 자연수 ''n''에 대해 다음의 부등식이 항상 만족하는 경우이다.

: <math> \underbrace{x+\cdots+x}_{n\text{ terms}} < y. </math>

이러한 조건을 만족하는 양의 원소 ''x'', ''y'' 가 존재하지 않을 때, 군 G는 '''아르키메데스 성질'''을 가진다고 한다. 다시 말해서, 아무리 작은 원소라 하더라도 그것을 유한번 더해서 어떤 크기의 원소보다도 커질 수 있다면 아르키메데스 성질을 가지고 있다고 볼 수 있다.

=== 아르키메데스 노름 체 ===
[[값매김환]]과 [[노름 공간]]의 이론을 적용해서 정의할 수도 있다. ''F''가 절댓값 함수를 가진다고 하자. 절댓값 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.
* F의 원소 0에 대하여 실수 0에 대응한다.
* F의 0이 아닌 원소 x에 대하여 양의 실수 <math>|x|</math>에 대응한다.
* <math>|xy|=|x| |y|</math>.
* <math>|x+y| \le |x|+|y|</math>.
이러한 체 ''F''에서 0이 아닌 모든 원소 x에 대하여 다음을 만족하는 [[자연수]] ''n''이 존재하면
: <math>|\underbrace{x+\cdots+x}_{n\text{ terms}}| > 1. \, </math>
''F''가 '''아르키메데스 성질'''을 가진다고 할 수 있다.

이와 유사하게, [[노름 공간]]에서 0이 아닌 모든 벡터 x에 대하여, ''n''이 충분히 크면 ''n''차례 더해서 1보다 더 큰 노름을 가지게 만들수 있다면 [[아르키메데스 성질]]을 가진다고 할 수 있다. 절댓값을 가지는 체 또는 노름 공간은 아르키메데스 성질을 가지거나, [[초거리 부등식]]
:<math>|x+y| \le \max(|x|,|y|)</math>
이 성립한다.

[[초거리 부등식]]을 만족시키는 체 또는 [[노름 공간]]은 '''비아르키메데스 성질'''을 가진다고 한다.<ref name=monna1>Monna, A. F., Over een lineare P-adisches ruimte, Indag. Math., 46 (1943), 74&ndash;84.</ref>

== 예 ==
정수의 집합 <math>\mathbb Z</math>는 덧셈에 대하여 표준적인 [[아벨 군]] 구조를 가지며, 또한 표준적인 [[전순서]]를 갖는다. 이 구조에 대하여, 정수의 집합은 아르키메데스 성질을 만족시킨다.

[[유리수체]] <math>\mathbb Q</math> 역시 전순서 아벨 군으로서 아르키메데스 성질을 만족시킨다. 즉, 임의의 자연수 <math>a,b\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>na \ge b</math>를 만족하는 <math>n \in \mathbb N</math>이 존재한다.<ref>David M. Burton, Elementary Number Theory(7th edition), McGraw-Hill, 2009, 2.</ref> 마찬가지로, [[실수체]] <math>\mathbb R</math> 역시 아르키메데스 성질을 만족시킨다.

[[초실수]]체 <math>{}^*\mathbb R</math>는 아르키메데스 체가 아니다. [[유한체]]의 경우, [[전순서]]를 줄 수 없으므로 아르키메데스 순서체로 만들 수 없다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Archimedean axiom}}
* {{eom|title=Archimedean ring}}
* {{eom|title=Archimedean semi-group}}
* {{eom|title=Archimedean group}}
* {{eom|title=Archimedean class}}

{{전거 통제}}

[[분류:체론]]
[[분류:아르키메데스]]