아딘크라 (물리학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[물리학]]에서 '''아딘크라'''({{llang|en|adinkra}})는 [[초대칭]] [[대수]]의 표현을 나타내는 일종의 [[그래프]]이다.<ref name="Zhang">{{저널 인용|arxiv=1111.6055|이름=Yan X.|성=Zhang|날짜=2011|제목=Adinkras for mathematicians|bibcode=2011arXiv1111.6055Z|언어=en}}</ref><ref name="FG"/>

== 정의 ==
[[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, '''<math>n</math>차원 아딘크라'''({{llang|en|<math>n</math>-dimensional adinkra}})는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>\Gamma</math>는 유한 [[연결 공간|연결]] <math>n</math>차 [[정규 그래프]]이다. (특히, 같은 양끝을 갖는 변은 존재하지 않으며, 서로 다른 두 [[꼭짓점]] 사이의 변의 수는 1개 또는 0개이다.)
* <math>\Gamma</math> 위에는 두 개의 색의 [[그래프 색칠]]이 주어져 있다. 꼭짓점의 색을 <math>\{\mathsf B,\mathsf F\}</math>라고 하자. (이는 [[보손]]과 [[페르미온]]의 머릿글자이다.) 특히, <math>\Gamma</math>는 [[이분 그래프]]이어야 한다.
* 또한, <math>\Gamma</math>의 각 꼭짓점에는 정수가 주어져 있다. 이를 꼭짓점의 '''계수'''({{llang|en|rank}})라고 하자.
* <math>\Gamma</math> 위에는 <math>\{1,2,\dots,n\}</math>에 대한 [[변 색칠]]이 주어져 있다.
* 또한, <math>\Gamma</math>의 각 변에는 부호 <math>\{+,-\}</math>가 붙어 있다. (그러나 같은 부호의 변들이 맞닿을 수 있어, 이는 [[변 색칠]]을 이루지 않을 수 있다.)
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
*
* 각 변의 양끝은 서로 다른 색의 [[꼭짓점]]이며, 그 계수의 차는 1이다.
* 각 꼭짓점에 닿은  <math>n</math>개의 변에 붙은 색들은 모두 서로 다르다.
* 임의의 두 정수 <math>1\le i<j\le n</math>에 대하여, <math>i</math> 또는 <math>j</math>가 붙은 변들의 집합은 서로 교차하지 않는, 길이 4의 [[순환 (그래프 이론)|순환]]들의 [[분리 합집합]]을 이룬다. 또한, 이러한 길이 4의 [[순환 (그래프 이론)|순환]] 속에서, 부호가 <math>-</math>인 변의 수는 [[홀수와 짝수|홀수]] 개(즉, 1개 또는 3개)이다.

=== 아딘크라의 동형 ===
두 <math>n</math>차원 아딘크라 <math>\Gamma</math>, <math>\Gamma'</math>가 주어졌다고 하자. 또한, 각 <math>\sigma\in\{\mathsf B,\mathsf F\}</math> 및 각 계수 <math>h\in\mathbb Z</math>에 대하여, <math>\Gamma</math> 속의 <math>(\sigma,h)</math>-꼭짓점의 수는 <math>\Gamma'</math> 속의 <math>(\sigma,h)</math>-꼭짓점의 수와 같다고 하자. 또한, 이러한 꼭짓점의 집합을 <math>\operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma)</math> 및 <math>\operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma')</math>로 표기하자.

이 두 아딘크라 사이의  '''C-동형'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.<ref name="Zhang"/>{{rp|§7.2}}
* 각 <math>\sigma\in\{\mathsf B,\mathsf F\}</math> 및 각 계수 <math>h\in\mathbb Z</math>에 대하여, [[전단사 함수]] <math>f\operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma,\sigma,h)\to\operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma')</math>
* 각 <math>v\in \operatorname V_{\sigma,h}(\Gamma,\sigma,h)</math>에 대하여, 부호 <math>s(v)\in\{\pm1\}</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* (색의 보존) 각 변 <math>(u,v)\in\operatorname E(\Gamma)</math>에 대하여, <math>(u,v)</math>의 색 <math>\in\{1,\dotsc,n\}</math>은 <math>(f(u),f(v))</math>의 색과 같다.
* (부호의 보존) 임의의 변 <math>(u,v)\in\operatorname E(\Gamma)</math>의 부호가 <math>\sigma\in\{\pm1\}</math>이라고 할 때, <math>(f(u),f(v))\in\operatorname E(\Gamma')</math>의 부호는 <math>s(u)s(v)\sigma</math>이다.

이 데이터는 성분이 <math>\{0,-1,+1\}</math>에 속하는 [[가역 행렬]]로 나타낼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 복소수 [[가역 행렬]]을 허용하면 아딘크라의 '''동형'''의 개념을 얻는다. 그러나 이 개념은 아딘크라의 [[그래프]] 자체를 그래프 동형이 아닌 다른 그래프로 변환할 수 있다.<ref name="Zhang"/>{{rp|§7.2}}

아딘크라의 '''크로모토폴로지'''({{llang|en|chromotopology}})는 아딘크라의 정의에서
* 꼭짓점에 칠해진 색깔 <math>\{\mathsf B,\mathsf F\}</math>
* 변에 주어진 부호 <math>\{\pm\}</math>
* 꼭짓점의 계수 (및 [[부분 순서]])
를 잊고, 대신
* [[그래프]] 구조
* 변의 색깔 <Math>\{1,\dotsc,n\}</math>
만을 남긴 구조이다.

== 성질 ==
=== 초대칭 표현과의 관계 ===
생성원 <Math>(H,Q_1,\dotsc,Q_n)</math>을 갖는 [[초대칭]] 대수
:<math>\{Q_i,Q_j\}=2\delta_{ij}H</math>
:<math>[Q_i,H]=0</math>
를 생각하자. 이는 [[리 초대수]] <math>\mathfrak{po}(1|n)</math>을 이룬다. 여기서, [[해밀토니언 연산자]]의 단위는 [시간]<sup>&minus;1</sup>이며, 따라서 초대칭 연산자 <math>Q_i</math>의 단위는 [시간]<sup>&minus;½</sup>이다.

이 경우, 아딘크라 <math>\Gamma</math>가 주어졌을 때,
:<math>V=\bigoplus_{v\in\operatorname V(\Gamma)}V_v</math>
:<math>V_v\cong\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C)</math>
를 생각하자. 이 [[복소수 벡터 공간]] 위에 다음과 같은 <math>\mathfrak{po}(1|n)</math>의 표현을 생각하자.
:<math>H=\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}</math>
:변
::<math>\underset u\bullet \;\overset{i,\sigma}{-\!\!\!-\!\!\!-}\; \underset v\bullet</math>
::<math>\operatorname{rank}u=\operatorname{rank}v-1=h</math>
::<math>i\in\{1,\dotsc,n\}</math>
::<math>\sigma\in\{\pm1\}</math>
:에 대하여, 만약 <math>u</math>가 [[보손]]이며 <math>v</math>가 [[페르미온]]이라면,
::<math>Q_i\phi_u=\sigma \phi_v\qquad(\phi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C))</math>
::<math>Q_i\phi_v=\sigma \mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_u\qquad(\phi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C))</math>
:만약 <math>u</math>가 [[페르미온]]이며 <math>v</math>가 [[보손]]이라면,
::<math>Q_i\psi_u=\sigma\mathrm i\psi_v\qquad(\psi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C))</math>
::<math>Q_i\psi_v=\sigma\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\psi_u\qquad(\psi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb C))</math>
이를 '''아딘크라 <math>\Gamma</math>에 대응하는 초대칭 표현'''이라고 한다.

아딘크라와 이 아딘크라에 대응하는 [[초대칭]] 표현 ([[초다중항]]) 사이의 관계는 다음과 같다.
:{| class=wikitable
! 아딘크라 || [[초다중항]]
|-
| <math>\mathsf B</math>가 붙은 꼭짓점 || 보손 장
|-
| <math>\mathsf F</math>가 붙은 꼭짓점 || 페르미온 장
|-
| 변 || [[초대칭]]의 작용
|-
| 변에 붙은 숫자 <math>\in\{1,\dotsc,n\}</math> || 작용하는 초대칭 연산자 <math>Q_1,\dotsc,Q_n</math>
|-
| 변에 붙은 부호 <math>\in\{+,-\}</math> || 초대칭 연산자가 작용했을 때 붙는 부호 (<math>Q_i\colon \phi\mapsto \pm\psi</math>)
|-
| 꼭짓점의 계수 || 장의 단위 ([시간]<sup>&minus;''k''/2</sup>에서의 ''k'')
|}
이와 같이 <math>n</math>차원 아딘크라로 표시될 수 있는 <math>\mathfrak{po}(1|n)</math>의 표현을 '''아딘크라 표현'''(adinkra表現, {{llang|en|adinkraic representation}})이라고 한다.

=== 리만 곡면 ===
모든 크로모토폴로지에는 표준적으로 어떤 [[리만 곡면]]을 대응시킬 수 있으며, 이 대응은 [[데생당팡]]을 사용한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1311.3736|제목=Geometry of ''N''-extended 1-dimensional supersymmetry algebras|이름1=Charles|성1=Doran|이름2=Kevin|성2=Iga|이름3=Greg|성3=Landweber|이름4=Stefan|성4=Méndez-Diez|bibcode=2013arXiv1311.3736D|날짜=2013|언어=en}}</ref>

구체적으로, <math>N</math>차원 아딘크라와, 이 <Math>N</math>개 변 색깔들의 [[전순서]]가 주어졌다고 하자. (후자를 '''무지개'''({{llang|en|rainbow}})라고 하기도 한다.) 그렇다면,
* 아딘크라의 [[그래프]]에, 무지개의 정보를 추가하면, [[띠그래프]]를 이룬다.
* [[띠그래프]]의 각 변에 길이 1을 부여하면, 이는 계량 띠그래프이다.
* 계량 띠그래프에는 항상 [[벨리 사상]] 및 <Math>\bar{\mathbb Q}</math>-[[대수 곡선]] ([[리만 곡면]])을 대응시킬 수 있다.
* 또한, 이 데이터에는 마찬가지로 [[데생당팡]]이 대응된다.

이에 따라, 아딘크라의 구조는 다음과 같은 데이터에 대응된다.
{| class=wikitable
|-
! 아딘크라 || 기하학
|-
| 크로모토폴로지 (그래프 + [[변 색칠]]) + 변의 색 위의 [[전순서]] || [[리만 곡면]] 및 [[리만 구]] 위의 [[분지 피복]]
|-
| 변에 붙은 부호 <math>\pm</math>(의 동치류) || [[리만 곡면]] 위의 [[스핀 구조]]
|-
| 꼭짓점의 계수 || 리만 곡면 위의 [[인자 (대수기하학)|인자]]
|}

== 분류 ==
(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 크로모토폴로지의 분류는 다음과 같다.

<math>\mathbb F_2</math>-[[벡터 공간]] <math>\mathbb F_2^n</math> 속의 [[선형 부호]] <math>C\subseteq \mathbb F_2^n</math>가운데, 만약 모든 원소 <math>c\in C</math>에 대하여 <math>4\mid\operatorname{d_H}(c,0)</math>라면, <math>C</math>를 '''겹짝 선형 부호'''({{llang|en|doubly even linear code}})라고 한다. (여기서 <math>\operatorname{d_H}</math>는 [[해밍 거리]]이다.)

(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 <math>n</math>차원 크로모토폴로지는 <math>\mathbb F_2^n/C</math>의 꼴의 그래프로 나타내어진다.<ref name="Zhang"/>{{rp|Theorem 4.5}} 여기서 <math>\mathbb F_2^n</math>은 초입방체 크로모토폴로지이며, <math>C</math>는 겹짝 선형 부호이다.

== 예 ==
=== 간단한 예 ===
2차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.
 　　Ｂ
  ¹／　<span style="color: red">＼</span>²
 Ｆ　　　Ｆ
  ₂＼　／₁
 　　Ｂ
여기서 변에 붙은 부호는 검은 색 또는 붉은 색으로 표시하였으며, 꼭짓점의 계수는 그림에서의 높이로 표시된다 (즉, 그림을 [[하세 도표]]로 생각한다).

이는 초다중항
:<math>(\phi,\psi,\chi,A)</math>
:<math>Q_1\phi=\psi</math>
:<math>Q_2\phi=\chi</math>
:<math>Q_1\chi=-Q_2\psi=A</math>
:<math>Q_1\psi=Q_2\chi=H\phi</math>
:<math>Q_1A=H\chi</math>
:<math>Q_2A=-H\psi</math>
을 나타낸다.

1차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.
 Ｆ
 <span style="color: red">｜</span><span style="font-size: smaller;>1</span>
 Ｂ

이는 초다중항
:<math>(\phi,\psi)</math>
:<math>Q_1\phi=-\psi</math>
:<math>Q_1\psi=-H\phi</math>
를 나타낸다.

=== 초입방체 크로모토폴로지 ===
보다 일반적으로, 임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>n</math>차원 [[초입방체]]의 꼭짓점과 변으로 이루어진 [[그래프]]를 생각하자. 그 꼭짓들의 집합을 [[유한체]] <math>\mathbb F_2</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>\mathbb F_2^n</math>으로 생각할 수 있다.

이 경우, 각 변에 색
:<math>c\left((s_1,s_2,\dotsc,s_{i-1},0,s_{i+1},\dotsc,s_n),
(s_1,s_2,\dotsc,s_{i-1},1,s_{i+1},\dotsc,s_n)\right)=i</math>
를 부여하자. 그렇다면, 이는 크로모토폴로지를 이룬다. 이를 '''[[초입방체]] 크로모토폴로지'''(超立方體chromotopology, {{llang|en|hypercube chromotopology}})라고 한다.<ref name="Zhang"/>{{rp|§4}}

=== 초입방체가 아닌 크로모토폴로지 ===
초입방체가 아닌 가장 간단한 연결 크로모토폴로지는 4차원이며, 다음과 같은 이진 [[선형 부호]]에 대응한다.
:<math>\{(0,0,0,0),(1,1,1,1)\}\subseteq \mathbb F_2^{\oplus 4}</math>
즉, 다음과 같은 꼴이다.<ref name="Zhang"/>{{rp|Figure 5}} (편의상 변의 색칠을 생략하였다.)
<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;">
 _ F, G, H _
/    / \    \
B   C   D   E
 \   \ /    /
  `-  A  -´
</pre>
즉, 여기서 F, G, H는 각각 B, C, D, E와 모두 변으로 연결돼 있지만, F와 G와 H 사이에는 변이 존재하지 않는다.

== 역사 ==
[[파일:Adinkra Rattray.JPG|thumb|right|[[아샨티족]]의 아딘크라 문양]]
2004년에 마이클 폭스({{llang|en|Michael Faux}})와 실베스터 제임스 게이츠 2세({{llang|en|Sylvester James Gates, Jr.}})가 초대칭 양자장론을 분석하기 위하여 도입하였다.<ref name="FG">{{저널 인용|제목=Adinkras: a graphical technology for supersymmetric representation theory|arxiv=hep-th/0408004|이름=Michael|성=Faux|이름2=Sylvester James, Jr.|성2=Gates|doi=10.1103/PhysRevD.71.065002|저널=Physical Review D|권=71|날짜=2005|쪽=065002|bibcode=2005PhRvD..71f5002F|언어=en}}</ref> “아딘크라”라는 단어는 [[아샨티족]]의 문화에서 사용되는 일종의 문양인 아딘크라({{llang|ak|adinkra}})에서 유래하였다.

== 같이 보기 ==
* [[파인만 도형]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=adinkra|title=Adinkra}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2007/08/adinkras.html|제목=Adinkras|이름=Urs|성=Schreiber|웹사이트=The ''n''-Category Café|날짜=2007-08-07|언어=en}}

[[분류:초대칭]]
[[분류:그래프]]